基于一类抛物型方程的反问题

钱坤 镡锐霞

摘要：本文在最优化理论框架下对一类二阶抛物型方程的源项系数进行了反演。首先证明了最优控制问题控制泛函极小元的存在性，进而得到了最优解所满足的必要条件，最后讨论了最优解的全局唯一性和稳定性。

Abstract： In this paper， the source term coefficient of a class of second-order parabolic equation is inversed under the optimal control framework. First， the existence for the minimizer of the control functional is proved. Then the necessary condition for the minimizer of the control functional is discussed. Finally， the global uniqueness and stability of the optimal solution are proved.

关键词：抛物型方程;反问题;必要条件;唯一性

Key words： parabolic equation;inverse problem;necessary condition;uniqueness

中图分类号：O175.2                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）34-0200-03

0  引言

近年来，数学物理反问题已成为应用数学领域迅速发展的一门理论，尤其在医疗、勘探、图像处理、金融等领域当中的应用更加的突出。金融领域中的期权定价问题是反问题应用的重要体现，运用著名的Black-Scholes定价模型，借助于从期权市获得的观测数据，去重构原生资产价格的波动率。除此之外，典型的对流-扩散方程在环境污染中的地位不言而喻，它可以用来描述水体和大气中污染物的输移、扩散和降解，海水盐度和温度的扩散、流体的流动和传热等等。

与相应的正问题相比，反问题的处理更加的困难，关键在于其严重的不适定性[1-4]，因为在许多实际问题的处理当中，大量的数据都是通过外界手段测量得到，必然会存在误差，也正是因为这些微小的误差，问题的不适定性将会导致问题解的无限放大而失真，从而失去研究价值。如何处理这种不适定性也成为许多学者研究的重要课题。

对反问题不适定性的处理，目前主要的方法是Tikhonov正则化方法[5-7]，但Tikhonov正则化方法对问题的解要求要有较强的先验光滑性条件，由此得到的稳定解的同时，也会导致原问题解的过度光滑，因此，Tikhonov正则化方法并不是最优的。在文献[4]中作者利用最优化理论反演了一類二阶抛物型方程中的源项系数，并利用Landweber迭代法得到了稳定的数值模拟结果。文献[8]中，作者利用最优化理论处理了一类发展型方程的反问题。而文献[9]中作者在最优化理论基础上，利用全变差正则化方法研反演了一个二阶抛物型方程的源项系数。

本文讨论了一类二阶抛物型方程的源项系数反演问题，主要利用最优化理论，克服了问题的不适定性，进而得到了最优解的存在性和唯一性。问题的具体形式可陈述如下：

注记：

①本文利用最优化控制理论处理了一类一维抛物型方程，对于高维的情形也是适用的，尤其是二维情形下的抛物型方程。②本文主要从理论分析角度处理了方程，与其相关的数值模拟实验也有了初步结果。③文章多处出现常数，如无特殊说明，常数C在不同场合下表示不同的常数C。

参考文献：

[1]刘继军.不适定问题的正则化化方法及应用[M].北京：科学出版社，2005.

[2]吉洪诺夫，阿尔先宁.不适定问题的解法[M].北京：地质出版社，1979.

[3]韩波，李莉.非线性不适定问题的求解方法及其应用[M]. 北京：科学出版社，2011.

[4]Yang L， Deng Z C. Optimization method for the inverse problem of reconstructing the source term in a parabolic equation[J]. Mathematics and Computers in Simulation， 2009， 80（2）：314.

[5]Cheng J， Yamamoto M. One new strategy for a priorichoice of regularizing parameters in Tikhonov，s regularization[J]. Inverse Problem， 2000， 16（16）：L31.

[6]Egger H， Engl H W. Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing： convergence analysis and rates[J]. Inverse Problem， 2013，21（21）：1027.

[7]Deng Z C， Yu J N， Yang L. An inverse problem of determining the implied volatility in option pricing[J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications， 2008， 340（1）：16.

[8]钱坤，镡锐霞.基于一类抛物型方程的反问题[J].兰州交通大学学报，2014，33（3）：70.

[9]李照兴，张泰年，蔡成松.一个抛物型方程不适定问题的全变差正则化方法[J].兰州交通大学学报，2016，35（3）：142.