函数概念教学研究

顾思敏 廖运章

[摘   要]函数概念是高中数学的核心概念之一.以“对应”为主线展开函数概念教学，能促进学生理解函数概念，掌握函数本质.

[关键词]函数;概念;对应

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）32-0001-02

一、问题的提出

函数作为贯穿高中数学课程的一条主线，其重要性毋庸置疑.函数概念是函数的核心内容，是进一步学习函数的重要基础，但由于其本身的抽象性，被公认为是最难教的概念之一.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）的基本理念之一是“把握数学本质，启发思考，改进教学”.教学函数概念时，必须创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握函数概念的本质.

“对应”是函数概念始终保持不变的属性.对应指的是对给定的集合[A]和[B]，如果存在一个关系[f]，对于集合[A]的任意一个元素[a]，根据关系[f]，得到集合[B]中的一个（或多个）元素[b]，那么称这个关系[f]为从[A]到[B]的一个对应.“非空数集”和“单值对应”都不是函数概念始终保持不变的属性.中学数学中的函数是单值函数，且为了降低中学生的学习困难，将函数限定在数集上，其本质仍然是对应.

本文以“对应”为主线，设计函数概念的教学过程，让数学概念的教学回归到数学本质教学中去.

二、教学设计

（一）教学说明

学生在初中已经学过函数定义以及一些简单的函数，对函数有基本的了解.初中函数是“变量说”定义，高中是“对应说”定义，两者的描述方式不同，但本质相同.初中描述的两个变量之间的对应关系，高中强调的是两个数集间元素的对应关系，并用抽象的符号[f]表示.高中函数概念的核心是对应关系，在教学中要围绕“对应”关系展开.

（二）教学目标

新课标要求在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念的作用.了解构成函数的要素，能求简单的定义域.此外，掌握函数的本质，并学会利用函数本质去判断两函数是否相同.

（三）教学过程

根据教材的编排特點，结合教学目标，将本节课的教学流程设计如下.

1. 实际问题驱动，抽象出函数的概念

问题1： 函数在初中已经学过，大家还能回想起初中的函数定义吗？能举几个函数的例子吗？

设计意图：通过回顾初中函数概念，为接下来学习函数概念做好铺垫.此外，让学生自己举例，教师可从中了解学生对函数的理解情况.

问题2： 刚刚同学们列举了一些函数，能讲讲你们是如何判断它们是函数的吗？

设计意图：从学生的判断理由中，教师可以发现学生对函数本质的掌握情况.若学生的理由不恰当，教师可以根据学生对函数的错误理解，适时列举出相应的例子让学生思考，纠正错误，让学生清楚函数的本质——对应，只有当“每一个[x]值都有唯一确定的[y]值与其对应”时，它才是函数.

问题3： 一枚炮弹发射后，经26秒后落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，且炮弹距地面高度[h]（单位：m）随时间[t]（单位：s）的变化规律是[h=130t-5t2].当炮弹飞行时间为[3 s]时，炮弹距地面高度[h]为多少？[6 s]，[9 s]呢？炮弹距地面的高度[h]是时间[t]的函数吗？

问题4： 近几十年来，大气层中臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题，图1中的曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况.当臭氧层空洞面积[S=15]时，时间[t]为多少？此时，臭氧层空洞面积[S]是时间[t]的函数吗？

设计意图：当[S=15]时，有3个时间[t]与其对应.此时，通过设置第2问，让学生知道当[y]是[x]的函数时，可以有多个[x]对应同一个[y].

问题5： 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.令时间为[t]，恩格尔系数为[k]，当恩格尔系数[k=49.9]时，时间[t]为多少？此时，系数[k]是时间[t]的函数吗？反过来，时间[t]是系数[k]的函数吗？

设计意图：当[k=49.9]时，[t]为1994和1995.通过例2学生知道可以多对一.通过反问，让学生进一步理解函数本质.当[y]是[x]的函数时，同一个[x]不可以对应多个[y].这时教师强调函数关系中数值之间的对应可以“一对一”“多对一”，但不可以“一对多”.

问题6： 刚刚我们在判断两个变量[x]与[y]之间是否构成函数时，我们根据的是每一个[x]值是否有唯一确定的[y]值与其对应.这时，两变量之间有什么关系呢？

设计意图：目的是引出“对应关系”，在上述问题中，变量之间形成一种对应的关系，它们是这样对应：对于[x]的每一个值，按照某种确定的对应关系，[y]都有唯一确定的值与其对应.

问题7： 初中函数概念是从变量角度来描述的，但是随着数学的发展，数学家对函数概念的理解不断深入，函数概念已经不仅仅只能从变量的观点出发.在本章我们学习了集合，是否可以用集合与对应关系的语言来描述这三个函数，将自变量与因变量的取值范围用集合来表示？

设计意图：通过让学生自己用集合与对应关系的语言来描述函数，让学生了解到不同角度的函数概念，两者只是描述方式不同，本质并无区别.

问题8： 刚刚我们用集合与对应关系的语言来描述上述函数，它们之间有什么共同点和不同点？

设计意图：通过分析、归纳概括出它们之间的共同属性，进而抽象出函数概念.

2. 视觉化呈现，理解“对应是函数概念始终保持不变的属性”

一般地，设[A]，[B]为非空的数集，如果按照某种确定的对应关系[f]，使对于集合[A]中的任意一个数[x]，在集合[B]中都有唯一确定的数[f（x）]和它对应，那么就称[f：A→B]为从集合[A]到集合[B]的一个函数.记作[y=f（x）b ，x∈A].其中，[x]叫作自变量，[x]的取值范围[A]叫作函数的定义域.与[x]的值相对应的[y]值叫作函数值，函数值集合[{f（x）x∈A}]叫作函数的值域.显然，值域是集合[B]的子集.

“对应关系[f] ”是数集[A]与数集[B]中元素之间的一种关系，根据对应关系[f]，对于任意一个[x∈A]，都有唯一确定的取值[f（x）∈B]和它对应.对应关系[f]强调的是对应的结果，而不是对应的过程，即对应的建立方式是多种多样的，可以是解析式、图像与表格，甚至解析式也不是唯一的.由于对应关系的表现形式多种多样，统一用符号[f]只是表示对应关系，也可以是[g]、[h]等.函数定义可由图2表示.

设计意图：高中函数定义之所以被公认为教学难点，其中一部分原因是函数定义中大量的非本质属性的概念和符号，使学生对函数概念的形成产生困难.因此，为了凸显出函数的本质——对应，用图2来简单表示函数定义，促进学生理解函数概念，掌握函数本质.

3. 把握函数相等，巩固函数概念

由函数的定义及图2可得，定义域、对应关系和值域构成一个函数，称其为函数的三要素.其中值域由定义域和对应关系确定.因此，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.其中“对应关系完全一致”指的是：相同的[x]值对应相同的[y]值.

4.举例

设计意图：“函数相等”是根据函数三要素来定义的，而函数三要素是函数定义的概括、浓缩，通过“判断两个函数是否相等”能够促进学生对函数概念的理解.由“函數相等”定义可知，定义域和对应关系是决定两个函数是否相等的关键因素.定义域不同，两个函数一定不相等，学生对于这一点掌握得较好.需要重点掌握的是对应关系，不少学生存在经验性的解析式认知，把解析式等同于对应关系.解析式相同，对应关系一定相同，但是解析式不同，对应关系也可能相同.运用函数相等，让学生进一步认识到对应关系强调的是对应的结果，而不是对应的过程.不管两个函数的表达形式如何，只要数值间的对应是相同的，那么这两个函数的对应关系就相同.

5. 设计说明

本文紧紧围绕函数的本质“对应”展开教学.首先回顾初中函数概念，并通过让学生在判断函数的过程中，一步一步地让学生知道中学函数的本质——对应，以及对应的类型是“一对一”“多对一”，但不可以“一对多”或“多对多”;接着让学生用集合与对应关系的语言来描述函数，初步接触高中函数概念的描述方法，分析归纳出函数概念的共同属性，形成完整的函数概念;然后借助图2来表达抽象的函数定义，以帮助学生理解函数描述的是数集间元素的对应关系.

最后，在“函数相等”中，进一步体现函数的本质，让学生清楚函数的本质是解题的关键，与函数的表示方法无关.由此让学生理解“对应”才是函数概念始终保持不变的属性.

（责任编辑 黄桂坚）