建立平面直角坐标系，定量分析中考几何压轴题

黄宝玉

【摘要】近年來，各地不少中考几何压轴题，用传统方法进行定性分析，在有限时间内完成的难度很大，如果能有意识地通过建立平面直角坐标系进行分析、解答，往往更加简捷、巧妙.本文以2017年广州中考的一道几何压轴题为例，进行对比说明.

【关键词】平面直角坐标系;几何压轴题;定量分析

一直以来，围绕相似三角形、圆等内容命制的纯几何证明题，不断出现在各地的中考压轴题中.由于其常需添加辅助线、涉及的数学思想方法众多、覆盖的知识面广，因此，学生在有限的时间内，用传统几何方法定性分析，完成的难度很大.纵观历年中考试题，不少几何压轴题如能有意识地建立平面直角坐标系进行定量分析，往往能收到意想不到的效果，笔者现以广州市2017年中考数学第25题为例，简述该题的几何解题思路，并呈现建立坐标系定量运算的解题思路，凸显用建立坐标系法解决某些几何压轴题的优势.

一、基本公式

为了顺利运用建立坐标系法解几何压轴题，需提前补充如下公式：

两点间距离公式 若平面内两个点A，B的坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为|AE|=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

点到直线距离 设直线l的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线l的距离为|Ax0+By0+C|A2+B2.

两直线垂直斜率关系 若两直线都存在斜率y1=k1x+b1，y2=k2x+b，则k1·k2=-1.

中点公式 设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系内任意两点，则中点公式为x1+x22，y1+y22.

二、原题呈现及思路简述

（2017年广州数学中考第25题）如图1所示，AB是圆O的直径，AC=BC，AB=2，连接AC.

（1）求证：∠CAB=45°.

（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD.

① 试探究AE与AD之间的是数量关系，并证明你的结论.

② EBCD是否为定值？若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

思路简述：

（1）如图2所示，连接BC，因为AB是直径，所以∠ACB=90°，因为AC=BC，所以∠ACB=∠BCA=45°.

（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况：

① 当∠ABD为锐角时，如图3所示，作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得;

② 当∠ABD为钝角时，如图4所示，同理可得BF=12BD，即可以知道∠BDC=30°，分别求出∠BEC，∠ADB即可得.

（3）分D在C左侧（图3）和点D在点C右侧（图4）两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE，得ACBA=CDAE=12，即AE=2CD，结合EI=12BE，可得BE=2EI=2×22AE=2AE=2×2CD=2CD，从而得出结论.

评析：此题将相似、平行、圆、等腰直角三角形、含30度角的直角三角形等内容相结合，考查了分类讨论、转化等数学核心思想方法.不仅要想到添加数条辅助线，还要能想到∠DBF=30°这个关键点，但即使是学优生，要想在有限时间内找到这个关键点，也有很大困难.

三、建立坐标系法解题思路详细分析

评析：这样求解，我们发现问题的关键在于求出E点的坐标，则可求出AE，AD，EB，CD的长度，EBCD的值也易求出，而E点的坐标可看作是直线AC与直线BD的交点，只要建立方程组即可求出，这样求解，思路清晰、简洁.

四、教学思考

比较以上两种解法，可以发现用建立坐标系法解此类几何压轴题避免了添加辅助线之苦，解题思路更简捷、巧妙.当我们面对一道几何压轴题，感到“山重水复疑无路”时，可以尝试用建立坐标系法去应对，兴许你会感受到“柳暗花明又一村”之解题妙境.

“数缺形时少直觉、形少数时难入微”，著名数学家华罗庚的这句话深刻揭示了数形结合思想的重要性.沟通“数”与“形”的桥梁之一——平面直角坐标系，则是数形结合思想运用的典范.

如何巧妙建立坐标系，才能达到简化运算的目的呢？笔者认为，可以考虑以下几点：

第一，若图形具有对称性，可以利用其对称性来建立平面直角坐标系，例如，可以选择对称中心为原点，对称轴为坐标轴;第二，可以利用图形中2条互相垂直的直线作为平面直角坐标系的对称轴，此外，充分挖掘平面图形的特征，结合平面几何的性质或几何意义来减少坐标参数，也能简化解题过程.

无疑，用建立坐标系法解几何压轴题，思路清晰简洁、易于上手.而几何解法思考线路众多，逻辑性强，需要较高的解题技巧.但任何事物都是一分为二的，一味运用建立坐标系法.有时会由于计算量大、数量关系复杂，使得思维受阻，有时还会将简单问题复杂化，如上例第（1）小问，运用坐标系法反而显烦琐.因此，应注意将两者有机结合、灵活选用，才能化繁为简、大大提高学生解几何压轴题的能力.

【参考文献】

[1]张传法.建立空间直角坐标系，解立体几何题[J].数学通讯，2004（6）：15-16.

[2]沈岳夫.巧用“坐标法”，妙解几何综合题[J].数理化学习，2015（7）：21-22.

[3]王震伟.巧建坐标系，妙解几何题[J].中学数学教学参考，2015（26）：69-70.

[4]伍晓焰.2017年广州市中考数学年报[R].广州教育研究院，2017.