短波模型的Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族的刘维尔相关性

康婷,郭旭,郭明月,时振华

(西北大学数学学院,陕西 西安 710127)

1 引言

水波的研究是自然科学研究的一个热点问题,科学家提出许多数学模型用来描述浅水波的传播,对于这些数学模型已经有许多重要的结果[1-6].本文研究可积的短波模型的Novikov方程族和Sawada-Kotera方程族之间的刘维尔相关性.这两个方程族分别源于短波模型的Novikov方程[7]

和Sawada-Kotera方程[8-9]

在几何上,Sawada-Kotera方程来自仿射几何中的可积平面曲线流[10].Sawada-Kotera方程是一种典型的五阶可积方程[8],它的可积性可以从几个不同的角度来验证,例如:对应 3×3的等谱问题,具有双哈密顿结构和多孤子解等.通过对包含二次非线性项和三次非线性项的Camassa-Holm型方程进行对称分类[11],Novikov发现具有三次非线性项的偏微分方程mt+u2mx+3uuxm=0,m=u−uxx.随后,文献[12]证明Novikov方程具有Lax对和双哈密顿结构,并且通过一个互反变换将其与负的Sawada-Kotera方程联系起来.在此基础上,文献[12]对 Novikov方程族和Sawada-Kotera方程族进行详细的研究.之后,文献[7]提出短波模型的Novikov方程(1)是三阶可积方程.并且,Li在2018年通过等谱问题之间的互反变换将短波模型的Novikov方程与负的Sawada-Kotera方程联系起来.参考文献[13-16],本文将研究短波模型的Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族中每一对方程和每一对哈密顿守恒律之间的刘维尔对应关系.

本文的提纲如下:在第2节中,介绍短波模型的Novikov与Sawada-Kotera方程等谱问题之间的刘维尔变换;在第3节中,利用刘维尔变换发现两个方程族中方程的一一对应关系;在第4节中,建立方程族哈密顿守恒律之间的一一对应关系.

2 短波模型的Novikov与Sawada-Kotera方程谱问题之间的刘维尔变换

在本节中,通过等谱问题之间的互反变换,得到短波模型的 Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族之间的刘维尔变换.刘维尔变换是由变量的变化来描述一个光谱问题与另一个光谱问题的关系[17-18],其中独立变量的变换是互反变换.如果变换不影响独立变量,则称为Miura变换.

短波模型的Novikov方程

3 短波模型的Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族之间的对应关系

本节考虑短波模型的Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族中每一对可积方程之间的对应关系.短波模型的Novikov方程(3)可以写成双哈密顿形式

是两个相容的哈密顿算子,对应的哈密顿泛函为

根据Magri理论[19-20],对于一个具有相容哈密顿算子K和J的可积双哈密顿系统,R=KJ−1为其允许的递推算子.将递推算子迭代作用在种子对称上即可生成该双哈密顿系统对应的拥有无穷多个可积方程的可积方程族,其中每一个方程都是以K和J为相容哈密顿算子的双哈密顿系统.具体地,对于短波模型的Novikov方程,将递推算子R=KJ−1迭代作用到种子对称mt=mx,即可得相应可积方程族.其正族第l个方程的双哈密顿形式为

4 短波模型的Novikov方程族与Sawada-Kotera方程族哈密顿守恒律之间的对应关系

根据Magri理论,对于一个双哈密顿系统,由其允许的一对相容哈密顿算子,可以递推地构造双哈密顿系统允许的无穷多个守恒律.特别地,对于短波模型的Novikov方程族,哈密顿守恒律Hl满足递推公式

其中K和J是两个相容的哈密顿算子(13).另一方面,Sawada-Kotera方程族哈密顿守恒律l满足递推公式

引理4.1设Hl和l是分别由递推公式(27)和公式(28)确定的哈密顿泛函族.对任意整数l,其相应的变分导数满足关系

证明(i)l是非负整数