基于梯形分布的双方叫价拍卖博弈及均衡分析

■ 崔晓婕（甘肃有色冶金职业技术学院）

拍卖是一种典型的市场交易方式，集中市场竞争的特点使其能更有效地进行资源配置。拍卖有多种形式，一级密封拍卖和双方叫价拍卖是两种常见的拍卖方式。国内外学者们对这两种拍卖理论做了很多研究工作，已经取得了一些研究成果，但是他们的拍卖设计模型都是把卖者的偏好服从均匀分布作为一个基本的假设条件，其实这一假设忽略了一个重要事实，即如果投标人具有一定的知识和理性，在拍卖过程中会表现出明显的集中趋势。所以正态分布或偏态分布更符合拍卖者的偏好规律，文献[2]提出用三角形分布来模拟正态分布建立模型。本文则针对拍卖者的偏好规律，提出一种比三角形分布更符合实际的分布函数—梯形分布，这种分布函数体现了实际拍卖市场中拍卖者的偏好不仅具有集中趋势，还会在集中点保持一定的平衡。所以本文用梯形分布代替均匀分布来改进模型，最终所得均衡结果与现实的吻合性明显优于经典模型，对实际拍卖工作具有一定现实指导意义。

一、双方叫价拍卖模型

（一）经典双方叫价拍卖模型

在双方叫价拍卖中，潜在的卖者和买者同时开价，卖者提出要价，买者提出出价，然后拍卖商选择成交价格p清算市场；所有要价低于p卖者卖出，所有出价高于p的买者买入；在价格p下的总供给等于总需求。首先看以下肖特金和萨缪尔逊建立的一个简单的双方叫价拍卖模型，在该模型中有一个买者和卖者交易单一不可分物品，卖方的成本为c，物品对买方的价值为v，且v∈[0,1]，c∈[0,1]。双方同时报价和，当时成交且交易价格否则无交易发生。这样，在交易的情况下，卖者的效用是，买者的效用是若交易不发生，他们的效用均为0。在此交易机制下，如果信息是完全的，物品对卖方的成本c和对买方的价值v为共同知识，这就成了一个纳什需求博弈问题，当v＞c时，该完全信息博弈有连续的纯战略帕累托有效均衡：卖者和买者开出相同的价格每一方得到正的剩余。

下面我们看不完全信息的情况，即c和v各为私人信息，但双方的估值分布是共同知识。那么战略组合是一个贝叶斯均衡，如果下列条件成立：

因为v在[0,1]上均匀分布，因此我们有

代入（1）式后，最优化的一阶条件为：

同理我们可以得到买者的最优化一阶条件：

解两个一阶条件得均衡战略为：

（二）基于梯形分布的双方叫价拍卖模型

若一个随机变量的密度函数可以表示为：

则称该随机变量在区间[0,1]上服从梯形分布。（密度函数图像如图1）

图1 梯形分布密度函数图

下面我们假设c和v都服从区间[0,1]上的梯形分布。

1.卖者最优

其次，由于

其中

所以

⑴若

由一阶条件得

由一阶条件得

由一阶条件得

2.买者最优

对于买者我们做同样的分析。

首先，因为

由一阶条件得

二、基于梯形分布的双方叫价拍卖模型的均衡分析

以下我们通过数值实例对两种分布下的双方叫价拍卖模型进行分析比较。假设

在此情况下，无论是改进的双方叫价模型还是经典的双方叫价模型买者的出价都高于卖者的要价，所以两个模型都能达到均衡，但是如果记为改进的双方叫价模型的买者与卖者的要价差，记为经典的双方叫价模型的买者与卖者的要价差，我们有则也就是说，在此情况下改进的双方叫价模型的买卖双方的报价差小于经典双方叫价模型的买卖双方的报价差，因此改进的模型与现实的吻合性更好，双方都得到了更为合理的均衡。

在此特殊情况下，经典的双方叫价模型不能成交，而且改进的双方叫价模型买者的出价都低于卖者的要价，因此也不能成交。但是同样有也就是说，在此情况下虽然两种模型都不能成交，将进入第二轮拍卖过程，但改进的双方叫价模型的买卖双方的报价差小于经典双方叫价模型的买卖双方的报价差，相比之下改进的双方叫价模型在第二轮拍卖中更容易成交。

在此种情况下，经典的双方叫价模型和改进的双方叫价模型买者的出价都低于卖者的要价，因此也不能成交，拍卖同样将进入第二轮拍卖过程。但注意到即在此情况下虽然两种模型都不能成交，但改进的双方叫价模型的买卖双方的报价差小于经典双方叫价模型的买卖双方的报价差，相比之下改进双方叫价模型在第二轮拍卖中更容易成交。

三、结论

若拍卖者的出价服从均匀分布，说明拍卖者的出价在区间[0,1]上随机取值，与现实拍卖情况不太符合。

若拍卖者的出价服从三角形分布，拍卖者的出价由低到高，在一定点处达到最大，集中趋势表现最为明显，随后即下降。而若拍卖者的出价服从梯形分布，拍卖者的出价由低到高，在一定点处集中趋势最明显，且保持一定水平后才下降，这在理论上更符合现实拍卖中的实际情形。

通过以上的算例讨论可以知道，当拍卖者出价服从梯形分布时，相对于经典模型与三角形分布的均衡结果，我们证实梯形分布的假设与现实中拍卖情况的吻合性更好。