“得法”更要“明理”，追求有逻辑的作图——从中考答卷谈尺规作图教学

张万梅

（广东省中山市黄圃镇中学）

笔者曾参与2018年中考数学阅卷工作，负责的题目涉及基本的尺规作图，每看到作图出错的试卷都引发笔者思考：这个学生是怎么作的图？为什么他这样做？近几年，广东省中考试卷中每年都有涉及到尺规作图的题，尽管都是分值为2～3分的基本作图，但是作为唯一一个可以考查学生的动手能力的知识点，尺规作图在数学教学中、在培养学生数学核心素养上，绝不仅仅是“2～3分”的地位.接下来，笔者试图从中考答卷上寻找学生可能出现的实质问题，并通过明晰尺规作图的要求，结合实例对尺规作图的教学提出自己的建议.

一、试题再现与答题分析

1.试题再现

题目（2018年广东卷第19题）如图1，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°.

图1

（1）试用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为点E，交AD于点F.（不要求写作法，保留作图痕迹.）

（2）略.

2.答题分析

对于第（1）小题，除去白卷后主要出现如图2～图6所示的错误作法.

图2

图3

图4

图5

图6

图2中没有作图痕迹，可能是利用刻度尺找到线段AB的中点，然后再利用尺子的直角过中点作垂线；也可能是用尺规作图的，但圆规中铅笔的痕迹太淡，以致看不到作图痕迹.

图3是只在线段AB的一侧用圆规画了一个垂直平分线上的点，再利用尺子作过这点的垂线.根据“两点确定一条直线”，可知这个作图是错误的.

图4是分别以点A和点B在线段AB两侧画弧时，取的半径长度不一致，很明显，这样作图的学生没有明白尺规作线段垂直平分线的依据，而且不理解垂直平分线的性质及其逆定理.

图5是没有看清楚题目，作了线段AD的垂直平分线.

图6是最后作出来的EF是线段，没有过弧的两个交点连成直线，或者连了又擦掉了，应该是没有理解好“线段的垂直平分线是一条直线”.

笔者是第一次见如图7所示的作图，但在改卷过程中，发现不只三五个学生这样作图.这样作图的作法和合理性是什么？有以下两种可能性：可能是先用刻度尺找出中点E，再用圆规以点E为圆心，以小于AE长为半径在线段AB上画弧，再分别以这两个交点为圆心，取相同半径在线段两侧分别画弧；也可能是先分别以点A，B为圆心，以大于AE、小于AB长为半径在AB上画弧，再如第一种情况那样继续画弧.如果是第一种可能，作法肯定是错误的；如果是第二种可能，是可以推理出作图依据的.但为什么会出现这样复杂的作法？是有教师这样教学，还是学生将“作线段的垂直平分线”和“过一点作已知直线的垂线”弄混了呢？

图7

二、明晰尺规作图的要求

1.尺规作图

尺规作图，指用没有刻度的直尺和圆规作图.与用刻度尺、量角器等工具作图相比，尺规作图显得更加客观、精准，因为量取和读数都会存在一定误差.观察尺规作图所得的几何图形，我们可以将一些结论由特殊引向一般，并归纳出几何的一般性结论.在初中数学中，尺规作图被分为两类：一类是基本作图，另一类是利用基本作图进行作图.它们都是初中生必须掌握的基本技能.

2.课程标准要求

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对尺规作图的要求如下.

（1）能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.

（2）会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形.

（3）会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形.

（4）在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法.

3.能力分析

在尺规作图的过程中，直尺的功能是作连接两点之间的线段，或过两点画直线和射线；圆规的功能是用于画圆或弧，或者截取一条线段等于已知线段.这种只限于用尺规作出符合一定条件的几何图形的要求，需要学生具有较强的数学思维能力和操作能力.

《标准》对尺规作图的教学提出如下要求：了解作图的道理，保留作图的痕迹.就像证明要做到言必有据一样，作图也要做到有根有据，这种要求有助于发展学生的理性精神.尺规作图是基于演绎推理的一种作图方法，每种基本作图都可以用几何推理验证其正确性，所以尺规作图教学实为训练学生的逻辑思维.

在第二类“利用基本作图进行作图”中，尺规作图与图形的判定、性质的证明有着本质的联系.例如，已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边，可以作出（确定）一个三角形，这与判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”“ASA”在本质上是一致的.“过不在同一直线上的三点作圆”需要用到线段的垂直平分线的性质证明得到的是圆心和半径；“作圆的内接正方形”需要知道正方形的对角线是直径，以及线段的垂直平分线的定义或性质，从而得到正确的画法，等等.这些作法的正确性都是需要经过一定的推理得出的.

因此，尺规作图教学是训练学生逻辑推理的一个重要内容.

三、尺规作图的教学建议

1.在探究过程中由推理而“明理得法”

《标准》提出了“作图不仅要知法，还要明理”的要求.“知法”保证了作图技能的应用性，而“明理”则提升了“法”的理论高度.在教学中，教师要让学生知道作图的合理性，这对“法”的网络化和综合应用都非常有利.为此，在尺规作图的教学中，我们要从“法”和“理”两个维度引导学生展开追问，力求让得“法”与“明理”同步.

如图8～图11为用尺规作一个角的平分线、过一点作已知直线的垂线、作线段的垂直平分线，这三种基本作图的方法有所不同，但本质上是没有区别的.因为作图过程都是构造等腰三角形，依据都是等腰三角形的性质.在前两种基本作图方法中，都借助了全等三角形的判定和性质.而在学习人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级上册“12.3角的平分线的性质”中对角平分线的尺规作图作法证明后，学习“13.1.2线段的垂直平分线”中对过一点作已知直线的垂线的方法的探究就会非常顺畅，因为直角就相当于作平角的角平分线.当然，若点在直线外，那道理就和作线段的垂直平分线一样，用线段的垂直平分线的判定来解释，即到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，加上“两点确定一条直线”.教材安排的这几个内容很相近，学生的思维发展在探究中可以获得知识和经验的积累.

图8

图9

图10

图11

从前面的分析可知，出现如图7所示的作法可能是因为学生没有理解作图的本质，将问题复杂化了.事实上，在线段的垂直平分线的尺规作图中，可以先画出草图，结合线段的垂直平分线的性质得到尺规作图的思路，然后用直尺和圆规严格作图.如图11，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在线段的一侧画弧，然后以不同的长为半径在另一侧画弧.同时，要让学生明白作图依据：因为PA=PB，QA=QB，所以点P，Q一定在线段AB的垂直平分线上，连接直线PQ，则PQ为线段AB的垂直平分线.这种方式，更有利于学生明白尺规作线段垂直平分线的依据.而后教师说明，为了方便操作，两侧可以取相同的长度为半径画弧（如图10）.

所以，在尺规作图的作法探究中，教师可以让学生根据已知画出草图，根据草图分析画法，利用尺规规范作图，而后再证明，这就经历了由合情推理到演绎推理的思维过程，也是由几何直观到几何推理的过程.

2.在实际应用中因演绎推理而“熟法”

在教材八年级上册“12.2三角形全等的判定”一节的探究活动中，也需要尺规作图，作图与推理既交替又同时进行.例如，已知一个三角形，利用尺规“作一条线段等于已知线段”，作出与已知三角形三边分别相等的三角形.通过如此作图探究，就得到了判定三角形全等的一个基本事实——SSS.根据“SSS”又得到了用尺规作一个角等于已知角的方法，进而由“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”两个基本作图进行其他作图，探究得出“SAS”的可行性和“SSA”的不可行性.包括后面对“HL”的探究，同样是利用基本尺规作图后进行演绎推理得到的其他作图.在教材八年级下册“17.1勾股定理”一节中，在数轴上画出表示无理数的点，是对勾股定理的应用，也用到了“作一条线段等于已知线段”.在解决几何问题中，作辅助线也是用到这个基本作图.

例如，在选址问题上，就基本离不开尺规作图.

如图12，现要在道路AB，AC的交叉区域内建一个市场P，使得市场到两条道路的距离相等，两个村庄M，N到这个市场的距离也相等，试找出点P，并说明理由.

图12

如图13，点A，B，C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管长度相同，水泵站应建在何处？试画出示意图，并说明理由．

图13

图14

如图14，有三条公路相交于三点，要建一个加油站，使这个加油站到三条公路的距离都相等，试作出这个加油站的位置P.

以上三个应用都是线段的垂直平分线和角平分线的尺规作图，它们的性质就是作图依据.

四、结束语

总之，尺规作图是一种过程，是培养学生的几何直观、推理等能力的重要途径.教学中，教师要让学生利用几何原理解释作图步骤，在培养学生操作能力的同时，达到训练学生理性思维的目的；要让学生在探究过程中由推理而“明理得法”，在实际应用中因演绎推理而“熟法”.学生思考、作图和证明的过程，正是《标准》所提倡的“经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，这一操作和推理活动，既有利于学生积累数学活动经验，又有利于培养学生合情推理和演绎推理的能力.教学过程中，教师要把握作图本质，让学生经历过程、感悟思想，达到思维的深度参与.这样一种有推理的思维过程，有逻辑的作图，正是培养学生数学核心素养的重要时机，值得深入研究.