解析几何创新题型及解题策略

刘海涛

纵观近些年的高考题及各级各类模考题，解析几何一般稳定在“一选一填一解答”，分值约占总分的15%，主要考查直线、圆、圆锥曲线的基本知识，直线与曲线的位置关系，定值、定点、取值范围等知识，考查同学们分析问题、解决问题的能力及转化与化归的数学思想，随着高考由知识立意转向能力立意，在高考和模考中出现了一些反映创新思维与创新能力的新颖问题，本文对这些问题进行分类，追根溯源，探寻解题策略。

一，考查圆锥曲线基本几何性质问题

评注：求轨迹方程的常用方法有：①直接法：直接通过建立动点坐标x与y之间的关系，构成二次方程f（x，y） =0即可;②定义法：利用所学过的圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和（或差）为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件;③代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法，即利用动点P '（x'，y'）是定曲线f（x，y）=0上的动点，

评注：对于圆锥曲线的弦、弦的中点、弦所在的直线、弦的中垂线等问题，我们常用的解法为点差法，点差法就是在求解圆锥曲线并且题中交代直线与圆锥曲线相交被截得线段中点坐标的时候，将相交弦的两端点代入圆锥曲线方程，再作差，实现解题目标的方法。

四，考查最值（或范围）问题

评注：解析几何中的最值（或范围）问题常见解法有：①利用题设条件能沟通所求变量与曲线上点的坐标或曲线的特征参量之间的联系，则可建立不等式或不等式组求解;②对于直线和“完整”的曲线之间的位置关系，可借助一元二次方程的判别式来构造含参变量的不等式，从而求出参变量范围;而对于“非完整”的曲线（即给出的仅是曲线的一部分），则多采用数形结合的方法求解;③利用题中给出的某个已知变量的范围或利用曲线的范围或由已知条件求出某个变量的范围，然后找出这个变量与欲求的参变量之间的关系，从而得到参变量的不等式，求出参变量的范围。

五，考查定值问题

评注：解析几何中的定值问题探究的就是在变化过程中一个不变的量，这个量即为所求（或证明）的定值。这里的变化的量可能是直线的斜率、点的坐标、线段的比值等，所以解决定值问题的关键是根据题目条件，准确地引进参数表示直线的斜率、点的坐标、线段的比值等，根据等式恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

求解定值问题的一般步骤为：①选取变量，一般为点的坐标、直线的斜率等;②代换变量，把欲求解的定值表示为含有上述变量的式子，利用其他条件减少变量个数，变式化简;③解出定值，化解所得式子，得出常数（定值）。

评注：解决定点问题的关键就是建立直线系方程，要注意选用参数表达直线系方程，如果是双参数，还要注意这两个参数之间的相互关系。

求解定点问题的一般步骤为：①选取变量，定点问题中的定点，随着一个量（有时是两个量）的变化而保持固定，可选择这个量（或两个量）为變量;②代换列式，根据题目条件利用上述变量列出定点满足的方程;③解出定点，对上述所列方程求解得出定点坐标。

（责任编辑王福华）