关于函数动点特殊三角形问题的探究

邓紫琳

[摘  要] 函数动点特殊三角形问题具有函数与几何的性质特点，解析问题时可从函数、几何两大视角进行切入. 文章深入剖析问题背景，以函数动点等腰直角三角形的探究为例，总结解题策略，开展教学反思.

[关键词] 动点;等腰直角三角形;函数;数形结合

■ 背景综述

近几年，中考数学压轴题逐步趋向动态研究. 以直角坐标系为背景，研究函数图像中因动点形成的特殊三角形是其中较为特殊的一类，问题融合了动点、函数、几何特性等内容，综合性强，备受命题人青睐.

函数图像中动点形成的特殊三角形类型较为众多，典型的有等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形，以及具有特殊关系的相似三角形、全等三角形等. 该类问题往往以直角坐标系为背景，函数与几何相融，图像灵活多变，动静结合，需要充分把握其中的几何特性，利用函数知识来构建解析思路.

以函数动点形成的等腰直角三角形为例，解析问题时需要把握其中的“等腰”“直角”，结合几何推理和代数运算进行问题转化. 从几何视角分析，可以进行等角推导、角度计算;从代数视角分析，可结合特殊角的三角函数、勾股定理的线段关系、斜率与角度关系进行突破. 往往该类问题的解析过程包含了丰富的思想方法，而灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、数学建模是解题关键. 本文以函数动点与等腰直角三角形为例进行探究.

■ 问题探究

1. 问题呈现

问题如图1，等腰直角三角板ABC位于平面直角坐标系的第二象限，且斜靠在两条坐标轴上，其中A（0，2），C（-1，0），抛物线y=ax2+ax-2经过点B.

（1）求点B的坐标.

（2）求抛物线的解析式.

（3）抛物线上是否存在一点P（点B除外），使得△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标;如果不存在，请说明理由.

2. 思路突破

上述为以直角坐标系为背景的函数动点特殊三角形问题，题干引入等腰直角三角板，需要充分利用其中的等腰和直角特性，联系函数上点的坐标特点来突破.

（1）已知点A和点C的坐标，求函數图像上点B的坐标，可过点B作x轴的垂线，设垂足为D，分析后可知△BCD≌△CAO. 由全等性质可得BD=OC=1，CD=OA=2，于是OD=3. 所以点B的坐标为（-3，1）.

（2）求抛物线的解析式，只需将点B的坐标代入其中即可. 代入后可得1=9a-3a-2，解得a=■，所以抛物线的解析式为y=■x2+■x-2.

（3）该问探究抛物线上是否存在异于点B的点P，使得△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形. 解析时需要把握其中的两大条件：一是点P位于抛物线上，二是△ACP为等腰直角三角形，且AC为直角边. 对于其中的条件二需分类处理：①AC为直角边，点C为直角顶点;②AC为直角边，点A为直角顶点. 另外，该问综合了函数与几何知识，解析突破的视角可以有所侧重，可从函数和几何两大视角进行突破. 下面便从这两个视角来解答该小问.

（方法一：函数视角）①如果AC为直角边，且点C为直角顶点. 设直线BC与抛物线的另一交点为P1，如图2. 结合点B和点C的坐标可求得直线BC的解析式为y=-■x-■，联立直线BC和抛物线的解析式后可求得P1（1，-1）. 过点P1作x轴的垂线，垂足为M，在Rt△MCP1中使用勾股定理，可得CP1=■=■，所以CP1=AC. 又易知∠ACP1=90°，所以此时△ACP1为等腰直角三角形，满足条件. ②如果AC为直角边，且点A为直角顶点. 过点A作BC的平行线，与抛物线的交点设为P2，如图2，则可得直线AP2的解析式为y=-■x+2，联立直线AP2和抛物线的解析式后可求得P2（2，1）. 过点P2作y轴的垂线，垂足为N，在Rt△ANP2中使用勾股定理，可得AP2=■=■，所以AP2=AC. 此时△ACP2为等腰直角三角形，满足条件. 综上可知，抛物线上存在满足条件的点P，且坐标为（1，-1），（2，1）.

（方法二：几何视角）①如果AC为直角边，且点C为直角顶点. 延长BC至点P1，使得P1C=BC，则所得的△ACP1为等腰直角三角形. 过点P1作x轴的垂线，垂足为M. 因为CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，所以△MP1C≌△DBC. 所以CM=CD=2，P1M=BD=1. 于是可确定点P1的坐标为（1，-1），此时点P1在抛物线上，满足条件. ②如果AC为直角边，且点A为直角顶点. 过点A作AP2⊥CA，且使AP2=AC（点P2在y轴右侧），则所得的△ACP2为等腰直角三角形. 再过点P2作y轴的垂线，设垂足为N，同理可证△AP2N≌△CAO，所以AN=OC=1，NP2=OA=2. 于是可确定点P2的坐标为（2，1），此时点P2在抛物线上，满足条件. 综上可知，抛物线上存在满足条件的点P，且坐标为（1，-1），（2，1）.

■ 总结归纳

上述问题结合等腰直角三角板，以其为基础构建了二次函数. 上述求解第（3）问时，从函数解析和几何推理两大视角进行了假设论证，总体上采用“假设→验证”的策略.

1. 思路构建

函数解析时通常的做法是延长线段，作平行线或垂线，利用直线与曲线相交来确定动点的位置，然后联立直线与曲线的方程确定动点坐标. 直线解析式的求解通常利用已知点的坐标，借助斜率与几何关系的关联来构建，一般的思路为“构形→函数定点→特性验证”. 几何推理法则侧重几何特性推导，直接构建相应的等腰直角三角形，利用相似、全等来求解相关的线段长，从而确定动点的坐标，后续只需确定动点是否位于曲线上即可，即一般思路为“构形→特性定点→函数验证”.

2. 解析步骤

函数与几何法是探究函数动点等腰直角三角形存在性问题的两大有效策略. 实际解析时可以综合使用，即利用数形结合的方法，利用几何特性，推导动点位置，借助函数解析确定动点坐标，该方式可有效排除干扰，减少讨论内容，具体步骤如下.

第一步——动点假设：假设图像中存在满足条件的动点.

第二步——设定分类：根据题干信息确定可能出现的情形.

第三步——动点定位：作图构形，利用直线、曲线的相交确定动点的大致位置.

第四步——确定坐标：采用数形结合的方式，综合函数与几何方法进行条件转化，求解动点坐标.

第五步——验证猜想：验证所求动点是否满足条件，可利用两种方法验证，即，一，满足几何特性的点是否位于直线与曲线上;二，位于直线或曲线上的点是否满足几何特性.

■ 教学反思

函数动点特殊三角形存在性问题有着极高的教学价值，有助于学生融合知识，提升能力，下面提出几点教学建议.

1. 归纳问题特点，探寻问题本质

涉及函数动点的特殊三角形问题是抛物线、直线、几何相结合的重要表现形式，该类问题往往借助动点来构建特殊的三角形，具有函数与几何相融的特点，其中点的坐标是串联两大知识模块的纽带. 在教学中，教师要引导学生深刻认识问题中函数与几何相融的本质，归纳特殊三角形的性质特点，总结两大知识联系紧密的性质、定理，如勾股定理、三角形相似性质、锐角三角函数知识等，帮助学生奠定该类问题求解的知识基础.

2. 总结问题解法，形成解题策略

上述所探究的问题属于函数与几何相结合的典型代表，其解析方法具有一定的研究价值，其中的函数解析与几何推理方法是常见的突破思路，实际上也是问题条件转化的基本策略. 教学中，可引导学生总结两种方法的解析特点，从函数与几何的联系点出发，总结解题思路，帮助学生形成数形結合解析思维. 实际教学中，可采用一题多解的方法设置典型例题，从不同的视角开展问题探索，使学生深刻认识问题，形成解题策略.

3. 渗透思想方法，提升数学思维

函数与几何综合题同样也是对数学思想的考查，因此，教学中需要合理渗透思想方法，使学生体验利用思想方法探究问题的过程. 如上述综合题教学中，需重点渗透数形结合思想、分类讨论思想、数学建模、化归与转化思想，通过数学建模降低思维难度、设定分类标准，综合转化思想来转化条件，构建解题思路. 教学过程中重视知识与方法相融，思想与思维激发，利用思想方法教学来拓展学生的视野，提升学生的思维.