聚焦反比例函数,探究综合性问题

2020-01-18 02:27沈习辉
数学教学通讯·初中版 2020年11期
关键词:反比例函数几何性质

沈习辉

[摘  要] 中考对反比例函数内容的考查常以综合题的形式进行,因此深入探究反比例函数的知识及常见综合形式十分必要. 文章结合2020年江苏省中考反比例函数综合题开展问题解析、方法探究,以期对读者有所帮助.

[关键词] 反比例函数;图像;性质;几何;面积

反比例函数是初中数学的重要内容,其知识内容同数与式、方程、不等式、几何图形、三角函数等联系紧密,是初高中知识的重要衔接部分. 中考对其的考查形式较为灵活,除了注重基础知识外,还常与关联知识相综合,需要学生联系知识考点,全方位审视问题.

■ 与一次函数综合,考查函数性质

反比例函数是初中函数的重要組成部分. 在初中阶段,需要掌握一次函数、反比例函数、二次函数的性质与图像. 反比例函数与一次函数的综合题在中考中最为常见,解析问题时需要把握两种函数的性质,以图像交点为突破口构建解析方程,分析图像的位置关系.

例1(2020年泰州市中考数学卷第16题)如图1,点P在反比例函数y=■的图像上,且横坐标为1,过点P作两条坐标轴的平行线,与反比例函数y=■ (k<0)的图像相交于A,B两点,则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为______.

解析 因为点P在反比例函数y=■的图像上,且横坐标为1,所以点P的坐标为(1,3). 根据题意过点P分别作x轴和y轴的平行线,连接AB,如图2. 由题意易得点A的坐标为■ ,3,点B的坐标为(1,k). 则直线AB与x轴所成锐角可放在Rt△ABP中,其正切值可表示为■=■=3,所以所求正切值为3.

■ 以几何动点为载体,考查函数

解析式

反比例函数与几何动点结合是中考的重要综合形式,常以反比例函数图像为背景,设定相关动点,以几何运动为载体构建模型,能全面考查反比例函数k的意义及解析式. 解析问题时,应化“动”为“静”,立足曲线相交,借助方程确定交点坐标.

例2  (2020年淮安市中考数学卷第16题)如图3,等腰三角形ABC的两个顶点A(-1,-4),B(-4,-1)均在反比例函数y=■(x<0)的图像上,AC=BC. 过点C作边AB的垂线交反比例函数y=■(x<0)的图像于点D,动点P从点D出发,沿射线CD方向运动3■个单位长度,到达反比例函数y=■(x>0)图像上一点,则k■的值为______.

解析  设AB与CD的交点为E. 分析可知△ABC为等腰三角形,CD为AB的垂直平分线,所以CD为反比例函数y=■(x<0)的对称轴. 所以直线CD的解析式为y=x. 由于点A的坐标为(-1,-4),其在y=■(x<0)的图像上,所以k■=4. 又直线CD与y=■(x<0)的交点为D,所以可解得点D的坐标为(-2,-2). 所以OD=2■. 点P从点D出发,沿射线CD运动3■个单位长度到达反比例函数y=■(x>0)的图像上,则OP=■. 所以点P的坐标为(1,1). 将其坐标代入y=■(x>0)中,解得k■的值为1.

■ 与不等式知识相联系,考查数

式图像转化

反比例函数具有数式的特点,可用于研究方程、不等式的数量关系. 深入理解函数与不等式、数式之间的关系,有助于建立整个数学体系. 中考对该部分的考查除了注重对函数与数式、不等式关系的研究外,还侧重考查数式图像之间的转化,如反比例函数、方程的解、数轴之间的转化.

例3  (2020年南京市中考数学卷第20题)已知反比例函数y=■的图像经过点(-2,-1).

(1)求k的值.

(2)完成下面的解答.

解不等式组:2-x>1①■>1②

解:解不等式①,得______.

根据函数y=■的图像,得不等式②的解集为______.

把不等式①和②的解集在数轴上(图4)表示出来.

从中可以找出两个不等式解集的公共部分,得不等式组的解集为__________.

解析?摇 (1)因为点(-2,-1)在反比例函数y=■的图像上,所以k=2.

(2)解不等式①,可得x<1. 由反比例函数y=■的图像可知不等式②的解集为0

■ 与几何最值相综合,考查面积

模型

反比例函数与几何联系紧密,中考常联系三角形考查面积,有时还会涉及几何最值,能同时考查二次函数的性质. 该类问题的突破需分三步进行:第一步,解析图像;第二步,构建面积模型;第三步,完成面积最值分析.

例4  (2020年连云港市中考数学卷第24题)如图6,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=■ (x>0)的图像经过点A4,■,点B在y轴的负半轴上,AB交x轴于点C,C为线段AB的中点.

(1)m=________,点C的坐标为________;

(2)若点D为线段AB上的一个动点,过点D作DE∥y轴,交反比例函数的图像于点E,求△ODE面积的最大值.

解析  (1)将4,■代入反比例函数y=■(x>0)中,可解得m=6. 由于点A和点B的横坐标分别为4和0,利用中点坐标公式可求得点C的横坐标为2,所以点C的坐标为(2,0).

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,代入点A和点C的坐标后可求得直线AB的解析式为y=■x-■. 由条件设点D的坐标为a,■a-■(0

■ 反思总结

中考对反比例函数内容的考查常以知识综合的形式进行,涉及一次函数、几何图形、动点运动、不等式组、图形面积、最值探究等知识,问题形式多样,充分把握对应知识的定理定义,逐步转化分析,构建条件与结论之间的关系是突破的关键. 对于一些命题形式较为抽象的问题,建议采用数形结合的分析方法,合理添加辅助线构建问题模型,通过直观的图像来降低思维难度.

在教学实践中,建议教师从与反比例函数相关联的知识入手,把握函数的数式特点、图形特点,准确定位函数的思想内涵,然后把握知识的联系点,引导学生全方位地解析反比例函数,探究综合性问题的解析思路,拓展学生的数学思维. 由于综合题所涉及的数学方法较多,所以教学中教师需注意总结常见问题的解法,如待定系数法、中点坐标公式法、点与直线的距离法、函数性质分析法等,帮助学生强化类型问题的解析方法,使学生形成反比例函数综合题的解题策略.

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