反证法在高等数学中的应用和对学生创新能力的培养

孙春薇 王旭磊

摘 要：反证法是高等数学一种广泛应用的思考方法，本文举例说明了适用反证法的不同情形，帮助学生对其更好地理解、掌握和运用，进而分析了反证法在大学生创新能力、意识和思维的培养中所起的作用。

关键词：反证法;高等数学;创新

1 绪论

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一。”在数学的证题方法中，反证法和分析法、综合法一样，历史悠久，从古希腊传到现在[1]。

在高等数学中常常遇到这样一些命题，它们的结论很难直接证明，但结论的反面却容易否定，能够通过否定结论的反面来肯定结论的正确的方法，就是反证法[2]。事实上，高等数学中的许多定理是运用反证法证明的，例如，海涅定理的充分性，闭区间上连续函数的有界性定理、最大最小值定理都是运用反证法的典型[3]。此外，在学习过程中也经常要运用反证法来解题。

要推翻一个命题的结论，也可以只需举出一个反例。实用中，我们往往找命题中易于观察、判断、证明、计算的特殊情况作为反例，因为若对特殊情况命题不成立，那么它对一般情形当然也不成立，这就说明命题结论不真。

从以上例题可见，要正确使用反证法，要注意以下几点：

（1）否定结论前，先要弄清楚结论的反面，即结论的否定命题。这一步决定能否正确使用反证法。

（2）否定結论时，要注意题设中增加了一个新的条件，在证明过程中必须使用这个条件，否则无法引出矛盾。

（3）否定结论后，需要有根据地进行推导，设法引出矛盾，这是反证法的关键所在。这一步运用得当，往往能得到一个简练而确切的证明。

3 结语

高等数学教学的重要任务之一，就是培养学生的创造性思维，而反证法这种逆向思考的方法，是培养学生创新能力不可或缺的一种思维形式。所以我们在讲授反证法时，除了强调这是一种简明有效的数学方法，更要引导学生加强从正向思维转向逆向思维的转化，培养学生的创新能力、创新意识和创新思维。

参考文献：

[1]斐礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]吕通庆.数学分析中一些重要概念及其矛盾概念[M].北京：人民教育出版社，1979.

[3]几米多维奇，李荣涷译.数学分析习题集[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]朱匀华，周健伟，胡建勋.数学分析的思想方法[M].广州：中山大学出版社，2001.

基金项目：教育部产学研协同与人项目“基于能力导向的产学可做应用型学科课程体系建设研究”，青岛农业大学校级教学研究项目“创新创业教育与专业教育融合研究”

作者简介：孙春薇（1981— ），女，汉族，山东青岛人，硕士研究生，讲师，研究方向为生物统计;王旭磊（1979— ），男，汉族，山东青岛人，博士研究生，讲师，研究方向为信息系统管理。