基于Matlab可视化的无界波动问题解析

张春玲 程灵巧 魏永亮 胡松

摘 要：针对海洋中的行进波所对应的数学物理方程——无界波动问题，借助于Matlab软件的可视化功能，分只有初速度和只有初位移两种典型情况，进行一维无界波动问题的可视化实验，以直观图形刻画行进波传播过程，并解析其对应的物理意义。

关键词：波动方程;Matlab;可视化;分离变量;海洋现象

中图分类号：P733.1

1 绪论

海洋波动被称为海洋的节拍，是海水运动的重要形式之一。海洋中存在各种形式、各种时空尺度的波动现象，而根据波形是否传播又可以分为行波和驻波[1]。在数学上，驻波对应与有限边界条件下的波动方程，并通过分离变量法来求解，其傅里叶解的形式为无穷级数，既无限多个正弦波或余弦波的叠加[2]。驻波的形成，通常是前进波传播到边界时发生反射，前进波与反射波相叠加而产生的。如果研究海域范围很大，而我们又仅关心较短时间内或者离边界较远的一段范围中的波的运动情况，此时，边界条件的影响可以不予考虑，此时的波动表现为行进波[3]。行波对应于无限边界条件的波动方程，通常用达朗贝尔解法求得。本文以一维无界波动问题的两种典型情况为例，利用Matlab软件实现无界波动问题的可视化[4-5]，进而接其物理意义。

2 只有初位移的无界波动问题解析

图1中的四个图形，自左到右，从上到下，分别对应于初始状态、第10秒、第15秒及第20秒的波形。由图可以看出，初试时刻，在驻波的存在区间[l5，4l5]内，中间位置点有正向最大位移，而在3l10，7l10点处为负向的最大位移，随着时间推移，左右行波分别向左、向右传播，这三处的能量逐渐衰减，振幅变小。时间过半，即过了初始波的半周期以后，波峰、波谷反向，中间位置表现为负向最大位移，3l10，7l10点处为正向的最大位移，但较之前的振幅有所减小，并伴随能量逐渐向左右两边传递。到第20秒时，由初试扰动引起的能量传到边界点。

3 只有初速度的无界波动问题解析

第0.6秒、第1.5秒、第4秒及第9秒的波形如图2所示。只有初速度的情况下，在研究范围内，初始波形为一条直线，随着时间的推移，初始速度C引发[0，l]上的波动，至0.6秒时，振幅达到最大，而后，波动向以速度a向左、向右传播，最大能量值一直保持不变（图第1.5、4秒），到第9秒波动能量传到左右边界。

4 结语

前进波和驻波是以波形运动形式分类的两种普遍海洋波动形式。其数学物理方程的求解通常通过达朗贝尔法得到，该公式分初速度和初位移两部分。由上文的实验结果可以看出，无论是只有初位移，还是只有初速度，行波的解都很明显地表现为两列波速、周期、波速均相同的波，由初始扰动点，向左、向右进行能量传播。通过Matlab软件，可以直观地再现行波传播过程，便于学生将数学理论解与实际海洋波动相联系。

參考文献：

[1]冯士筰，李凤歧，李少菁.海洋科学导论[M].1999.

[2]姜礼尚.数学物理方程讲义，第3版[M].2007.

[3]D.A.罗斯，b.A，罗斯，et al.海洋学导论[M].科学出版社，1984.

[4]彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].2004.

[5]郝玉华.一维弦振动方程的可视化处理[J].盐城工学院学报（自然科学版），2006（04）：16-19.

基金项目：上海海洋大学教学改革与研究项目（A1-2005-20-300348）

作者简介：张春玲（1981— ），女，汉族，山东人，博士，讲师，主要从事海洋数据分析研究。

通讯作者：胡松（1978— ），男，汉族，江西人，博士，教授，海洋科学学院副院长，研究方向：分管教学。