基于对称性的双叶螺旋桨修复方法

徐 白，孟令兵

(南京工业职业技术学院航空工程学院，江苏 南京 210023)

对于涡桨飞机、旋翼无人机而言，螺旋桨有着至关重要的作用。为了满足空气动力学的要求，螺旋桨叶片外形往往是薄且弯曲的自由曲面。螺旋桨叶片长期在高温、高压的环境下高速工作,极易出现损伤。破损的桨叶修复难度大、修理成本高，桨叶修复问题一直被航空领域所关注。在破损桨叶的修复过程中，由于桨叶外形的复杂性，桨叶曲面的技术参数往往很难通过正向的方式得到，需要利用逆向工程技术获取。

对桨叶修复的研究主要集中在桨叶型面点云的噪点去除、高曲率特征提取、尖锐特征提取等方面。国内研究者已经进行了很多研究。彭志光等[1]利用主成分分析法获得旋翼直径轴向，提出用一种改进的凸包算法提取叶片型面特征参数。Li Wenlong等[2]在双边滤波的基础上提出了一种双边自适应光顺方法，利用信息熵理论将点云根据密度加以划分，用以光顺桨叶型面点云。 Li Jinhua等[3]通过4D Shepard曲面分段提取桨叶破损区域点云，然后使用Bezier曲线重构破损边界点。Wang Hao等[4]提出用一种点云对齐算法摆正螺旋桨点云在坐标系中的位置，用拉伸的方法修复叶尖损伤部位。李启东等[5]提出了一种曲面特征保持的叶片点云精简方法。

国外研究者中，Mohaghegh 等[6]提出从原型设计的角度分析螺旋桨设计意图，用以修正几何造型上的缺陷。 Piya等[7]提出使用高斯映射的方法截取桨叶不同特征截面以重建桨叶模型，但是截取过程需要手工选择截面。Wilson等[8]应用Piya的桨叶重建方法和激光快速成型技术实现了螺旋桨的再制造。

已有的桨叶修复方法主要是从提取其特征截面入手对缺损部位进行处理。当缺损部位位于桨叶前后缘时，由于曲率较大，无法精准地完成修复任务。鉴于此，本文提出一种基于对称性的桨叶修复方法，无需提取桨叶特征截面即可实现桨叶修复。

1 桨叶直径的轴向定位

主成分分析法(PCA)是一种统计学上的方法，该方法一般用来处理多维数据，实现数据的降维，在维度降低的同时最大限度地减少高维数据的丢失。在计算过程中，原有数据会被转换为一组新的不相关且正交的数据集，一般把后者称为主成分。主成分分析法在图形图像处理中常被用来估算局部显著特征，例如法向和曲率等。

在运用逆向工程技术进行三维测量过程中，由于受到测量设备自身坐标系以及待测物摆放位置的影响，获取到的桨叶三维数据在坐标系中的位置不固定，往往无法满足测量者的要求，鉴于上述原因，本文使用主成分分析法对桨叶进行计算分析，从而固定旋翼直径的轴向。

对于一组有n个点组成的三维点云，其协方差矩阵Σ3×3可定义为：

(1)

对于双叶螺旋桨的三维点云数据，用主成分分析法的特性所求解的第一主成分即是桨叶的直径。桨叶的直径轴线为新坐标系的X轴，第二、三主成分分别为Y轴和Z轴，如图1所示。

图1 经主成分分析后的桨叶轴向

2 桨叶的对称性检测

2.1 对称性的检测方法

对称性是非常重要的一项结构特性，其广泛存在于多种物体当中，以满足对特定功能的要求。人们在计算机视觉、机器人、计算几何等领域对对称性检测开展了广泛的研究[9]。几何对称性可以分为内蕴对称和外蕴对称，前者基于曲面测地距，而后者一般基于空间欧式距离。

就对称性的检测方法而言，Krahe[10]使用重叠法对二维图像的旋转对称进行检测，该方法是将对称变换后的图像与原图像重叠后进行比较，若叠加区域较多则证明存在对称性。Mitra等[9]提出了一种基于选举的方法，当检测反射对称时，将图像上的任意两点组成点对，检测多个点对的中轴线，中轴线出现频次最高的则有可能是反射对称轴。Brooks[11]提出了一种广义带的方法，利用可变长度的母线在二维脊线上扫掠移动来检测对称性。本文针对双叶螺旋桨的外形特点，提出了一种基于平均偏差的反射对称检测方法。

2.2 桨叶投影与边界提取

对于螺旋桨而言，桨叶是绕旋转轴线的旋转对称体。若以旋转轴为三维直角坐标的Z轴，顺着Z轴方向将桨叶点云向XOY平面投影，则投影后的二维点云边界绕桨毂中心点旋转对称，如图2所示。除此之外，双叶螺旋桨还存在一种特殊的反射对称，即若以旋转轴为三维直角坐标的Z轴，桨叶直径轴向为X轴，将点云顺着Y轴方向投影到XOZ平面，则得到的二维投影点云满足反射对称的性质，如图3所示。

图2 桨叶轮廓的旋转对称性

图3 桨叶轮廓的反射对称性

运用主成分分析法对桨叶点云进行坐标变换，可以确定的是，第一主成分所确立的X轴近似代表了桨叶的直径轴向，而第二、三主成分所建立的Y和Z轴受桨叶外形影响较大，存在不确定性，因此新坐标系下的桨叶初始姿态也存在着不确定性。

为了确定旋翼旋转轴，本文将所有三维点云绕X轴方向旋转，并在旋转过程中沿Z轴方向向二维平面XOY投影，当投影点云出现如图3所示的反射对称性时，旋转轴与Z轴向平行，此时可较为容易地求出旋转轴轴线方程。

(2)

图4 点云分段

图5 局部对称检测区间

2.3 反射对称性的平均偏差法检测

结合前文的内容，检测桨叶投影点云反射对称性的流程如下：

Step1，运用主成分分析法确定三维桨叶点云的直径轴线作为新坐标系的X轴，第二、三主成分分别作为Y轴和Z轴；

Step2，将三维桨叶点云绕X轴旋转一定的角度θ，在旋转过程中将点云沿Z轴方向投影至XOY平面，提取点云边界O；

Step4，若平均偏差值e中的最小值emin小于阈值σ,则该平均偏差最小值emin所对应的二维点云轮廓存在反射对称性，否则不存在反射对称性。

平均偏差法是本文所提出的一种反射对称检测方法，该方法首先设定局部对称检测区间的长度为l，垂直于X轴的直线

x=c+n·μ

(3)

为局部对称检测区域内的中轴线，其中x为直线交于X轴的点的坐标；c为中轴线的初始位置；μ为局部对称检测区间在X轴上移动的步长；n为整数。局部对称检测区间如图5所示。

(4)

式中：m为集合Qleft中的元素个数。

图6 计算偏差值Δsi

3 缺损位置修复

对于桨叶点云缺损位置的检测与修补，本文使用了一种基于桨叶旋转对称性的方法。当确立二维反射对称轴为x=xr后，则其所对应的三维点云旋转对称轴，即旋翼旋转轴的直线方程为：

(5)

记点集A所有点绕式(5)所构成的旋翼旋转轴旋转180°后的旋转对称点集为A′，旋转过程如图7所示。

图7 绕桨毂旋转

图8 剔除重合点

4 实验验证

为验证本文的修复算法，以点云数目为120 358、旋翼直径为202.98 mm的无人机双叶螺旋桨作为实验对象，如图9所示，该桨叶存在两处较为明显的破损。

图9 带有两处孔洞的桨叶点云

设定阈值σ=0.08。当绕旋翼直径轴旋转至如图10(a)所示的反射对称位置时，此时所获得的最小平均偏差值emin=1.492，如图11(a)所示，不符合emin<σ的反射对称条件。当旋转至图10(b)所示的位置时，得到最小值emin=0.025，对应中轴线为x=-0.238，如图11(b)所示，此时emin<σ，满足反射对称条件。

图10 桨叶的姿态及投影轮廓

图11 平均偏差与中轴线位置的关系

图12 桨叶的修复

图13 修复前后的孔洞

5 结束语

针对双叶螺旋桨桨叶的缺损，本文提出了通过平均偏差法检测螺旋桨投影点云的反射对称性，再利用旋转对称性进行修复的方法，可有效实现缺损区域的高精度修补，克服了常规基于特征曲线修复方法在大曲率孔洞区域出现较高误差的不足。当然，本文方法也存在不足之处，若桨叶破损区域的另一侧旋转对称区域同样也存在缺损，则无法实现这两处缺损的修补，需要结合其他方法进一步完善。