σ-半素拟环Lie理想上的导子的研究

钟佩伶

(吉林师范大学数学学院, 吉林长春 130000)

0 引言

Bell和Kappe[1]证明了，若d为R上的导子，在R的非零右理想上作为同态或反同态，则d=0.在2003年，Asma和Shakir[2]将Bell和Kappe的结果推广到2-扭自由素环的Lie理想上，证明了：如果2-扭自由素环R上的导子d在R的非零平方封闭Lie理想U上作为同态或反同态，则有d=0或U⊆Z(R).在2007年Oukhtite[3]等人将Asma和 Shakir[2]的结果推广到σ-素环上，证明了：如果2-扭自由σ-素环R上的导子d(d与σ是可交换的)在R的非零σ-Lie理想U上作为同态或反同态，则有d=0或U⊆Z(R). 由于半素环比素环更具一般性，本文将Asma和 Shakir[2]的部分结果推广到半素拟环上，得到如下研究结果.

1 预备知识

设R为结合环.对任意的a，b∈R，若由aRb=0，必有a=0或b=0， 则称R为素环.如果环R为2-扭自由的，则对任意的a∈R，若2a=0，则必有a=0.设R是环，d:R→R是加性映射.若对任意的x，y∈R，满足：d(xy)=d(x)y+xd(y)，则称d是R上的导子.若映射σ:R→R满足：(1)σ(x)⊆R，x∈R;(2)σ(x+y)=σ(x)+σ(y)，x，y∈R;(3)σ(xy)=σ(x)σ(y)，x，y∈R，则称σ为R的自同构．设R是结合环，g:R→R是加性映射，θ，φ是R上的自同构. 若对任意的x，y∈R， 满足g(xy)=g(x)θ(y)+φ(x)g(y) ， 则称g为R上的(θ，φ)-导子. 设R是环，I⊂R是R的可加子群，若对任意的r∈R，a∈I均有ra∈I，ar∈I，则称I为R的理想.∀x，y，z∈R，有[x，y]=xy-yx； [xy，z]=x[y，z]+[x，z]y； [x，yz]=y[x，z]+[x，y]z.设N是非空集合，若满足:(i)(N，+)是一个群;(ii)(N，•)是一个子群;(iii)(n1+n2)•n3=n1•n3+n2•n3，∀n1，n2，n3∈N，则称N为拟环.设N是拟环.若xNy=0，x，y∈N，则称N为素拟环. 设N是拟环.若xNx=0，x∈N，则称N为半素拟环.设N是带有对合*的拟环.若xNx=xNσ(x)=0，x∈N，则称N为σ-半素拟环.设R为结合环，f:x→x*是R上的变换.若对任意的x∈R，(x*)*=x，(xy)*=y*x*，则称f为R上的对合.设R是带有对合*的环.对任意的a，b∈R，若由aRb=aRb*=0，必有a=0或b=0，则称R是*-素环，记为(R，*).设R是带有对合*的环.对任意的a∈R，若由aRa=aRa*=0，必有a=0，则称R是*-半素环.设R是环，U是R的可加子群.若对任意的u∈U，r∈R，均有[u，r]∈U，则称U为R的Lie理想.设R是带有对合*的环，U是R的Lie理想.若满足U*=U，则称R是φ:R→R的*-Lie理想.

2 主要结果

引理1[[3]引理1]: 设R是中心为Z(R)的2-扭自由σ-素环，U⊄Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若对任意的a，b∈R，满足aUb=0，则a=0或b=0．

将引理1推广到半素拟环上得到如下定理.

定理1:设R是中心为Z(R)的2-扭自由σ-半素拟环，U⊄Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若对任意的a∈R，满足aUa=aUσ(a)=0，则a=0．

证明 由已知，可得aua=auσ(a)=o， ∀a∈R，∀u∈U.

(1)

在(1)中，用[u，r]替换u，可得a[u，r]a=a[u，r]σ(a)=o， ∀a，r∈R，∀u∈U.

又可得a(ur-ru)a=a(ur-ru)σ(a)=o， ∀a，r∈R，∀u∈U.

又可得aura-arua=aurσ(a)-aruσ(a)=o， ∀a，r∈R，∀u∈U.

用ra来替换r，可得

auraa-araua=auraσ(a)-arauσ(a)=o， ∀a，r∈R，∀u∈U.

(2)

由(1)和(2)可得auraa=auraσ(a)=o， ∀a，r∈R，∀u∈U.

用u-1ra-1来替换r，可得aRa=aRσ(a)=o， ∀a∈R.

由R是σ-半素拟环，可得a=o.

证毕.

引理2[[3]引理2]:设R是中心为Z(R)的2-扭自由σ-素环，U⊄Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的导子(d与σ是可交换的)，且d(U)=0，则d=0.

将引理2推广到半素拟环上得到如下定理.

定理2：设R是中心为Z(R)的2-扭自由σ-半素拟环，U⊄Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的导子(d与σ是可交换的)，且d(U)=0，则d=0.

证明：由已知可得d(u)=0 ，∀u∈U.

(3)

用[u，r]来替换u，可得d([u，r])=0 ，∀u∈U，∀r∈R.

又可得d(ur-ru)=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得d(ur)-d(ru)=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得d(u)r+rd(u)-d(r)u-rd(u)=0，∀u∈U，∀r∈R.

由(3)可得ud(r)-d(r)u=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得 [u，d(r)]=0，∀u∈U，∀r∈R.

(4)

在(4)中用r2来替换r，可得[u，d(r)r+rd(r)]=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得 [u，d(r)r]+[u，rd(r)]=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得[u，d(r)]r+d(r)[u，r]+[u，r]d(r)+r[u，d(r)]=0，∀u∈U，∀r∈R.

由(4)可得d(r)[u，r]+[u，r]d(r)=0，∀u∈U，∀r∈R.

(5)

又由(4)可知[[u，r]，d(r)]=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得[u，r]d(r)-d(r)[u，r]=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得[u，r]d(r)=d(r)[u，r]，∀u∈U，∀r∈R.

(6)

又由(5)可得(6)可得 2[u，r]d(r)=0，∀u∈U，∀r∈R.

由R是2-扭自由的，可得[u，r]d(r)=0，∀u∈U，∀r∈R.

又可得Ud(r)=0，∀r∈R.

(7)

将(7)右乘d(r)可得d(r)Ud(r)=0，∀r∈R.

若r∈Sσ(R)，则有d(r)Uσ(d(r))

由定理1可得d(r)=0，∀r∈Sσ(R).

(8)

对于任意的x∈R，可得x+σ(x)∈Sσ(R)

(9)

由(8)和(9)可得d(x+σ(x))=0，∀x∈R.

又可得d(x)+d(σ(x))=0，∀x∈R.

由d与σ是可交换的，可得d(x)+σ(d(x))=0，∀x∈R.

又可得σ(d(x))=-d(x)，∀x∈R.

(10)

由(10)可得d(x)∈Sσ(R)，∀x∈R.

(11)

由(7)和(11)可得d(x)Uσ(d(x))=0，∀x∈R.

(12)

由(7).(12)和定理1，可得d(x)=0，∀x∈R.

所以d=0.证毕.

3 结语

本文研究了设R是中心为Z(R)的2-扭自由σ-半素拟环，U⊄Z(R)是R上的非零σ-Lie理想.若d是R上的导子(d与σ是可交换的)，且d(U)=0，则d=0.把σ-素环的相关结果推广到了σ-半素拟环上，对进一步研究σ-半素拟环的其他性质是很有帮助的.