状态依赖脉冲分数阶微分方程解的存在唯一性①

(安徽大学数学科学学院, 安徽 合肥 230601)

0 引 言

具状态依赖系统的脉冲时刻与系统状态有十分密切关系，因此具状态依赖脉冲微分方程成为微分方程研究领域的难点问题，已有的成果主要是关于方程解的存在唯一性及稳定性，详见参考文献[1～7]。受上述文献的启发，本文主要利用不动点方法研究状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程的非局部问题解的存在唯一性

(1)

1 预备知识

记C(J,R)={x:J→R,x连续}，其范数为‖x‖=sup{|x(t)|,t∈J}。

PC(J,R)={x:J→R:tk=τk(x(t)),

‖x‖=max{‖xk‖,k=1,2,…,m}，

其中xk=xk(t),t∈(tk,tk+1]。

定义2.1[8,9]对h∈L1([a,b],R+)，定义其分数阶积分

定义2.2[8,9]函数h在区间[a,b]上有

定义，定义其Caputo分数阶导数为

其中n=[α]+1，[α]为取整函数。

定义2.3[8,9]对任意函数h在区间

[a,b]上有定义，定义其Riemann- Liouville分数阶积分为

其中n=[α]+1，[α]为取整函数。

引理2.1[10]若β>0，a(t)是区间[0,T),T+上的非负局部可积函数，b(t)是区间[0,T),T+上的非负、非减有界连续函数，y(t)是区间[0,T),T+上的非负局部可积函数。若

y(t)a(t)+b(t)(t-s)β-1y(s)ds，

则

y(t)

(t-s)jβ-1a(s)ds,t∈[0,T)。

2 主要结论

作以下假设：

(H1)f:J×R→R连续，存在函数

使得

|f(t,u)|M(t)|u|+N(t),

|f(t,u)-f(t,v)|M(t)|u-v|,

其中q>1,p>1。此外，M(t)非减有界。

(H2)τk∈C1(R,R)，k=1,2,…,m，并且

0<τ1(x)<…<τm(x)=T，x∈R。

τk(Ik(x))τk(x)<τk+1(Ik(x))

(2)

|Ik(u)-Ik(v)|ck(t)|u-v|,

(3)

k=1,2,…,m，a,t∈J。

(H5)g∈C(R,R)，g(0)=0。若存在M>0，使得

|g(u)|M(|u|+1)

(4)

存在M′>0，使得

(5)

存在常数Lg:0

|g(u)-g(v)|Lg|u-v|

(6)

定理2.1 若条件(H1)和(H3)的(2)式及(H2),(H4),(H5)的(4)式均满足，则方程(1)存在至少一解。

证明：步骤一、考虑以下问题

(7)

定义F:C(J,R)→C(J,R)的算子为

(1) 算子F是全连续算子。在C(J,R)中取函数列xn→x，由(H1)，(H5)的(4)式，易得F的连续性。

(2)在C(J,R)中，算子F把有界集映成有界集。取C(J,R)中有界集

Br={x∈C(J,R):‖x‖r}，

由条件(H1)及赫尔德不等式得

|(Fx)(t)|

即‖Fx‖H，结论成立。

即算子F把有界集映成等度连续的。由Arezela-Ascoli定理知算子F是全连续的。

(4)考虑集合

K={x∈C(J,R):x=λFx,0<λ<1}

的有界性。

对任意x∈K，由条件(H1)，(H5)的(4)，类似于以上推导，有

|x(t)|

|x(t)|H，

即集合K有界。

由Schaefer不动点定理，算子F至少存在一个不动点，即方程(1)的解，记该解为x1(t)。 考虑函数

rk,1(t)=τk(x1(t))-t,t≥0,k=1,2,…,m

(8)

由条件(H2)得rk,1(0)≠0。若，rk,1(t)≠0，

t∈J，则x1(t)是方程(1)的解。类似于文献[1]，可得方程(1)的解

(9)

类似于定理2.1，利用压缩映射原理得

定理2.2 若条件(H1)，(H3)的(3)式，(H2)，(H4)，(H5)的(5)或(6)之一成立。当

则方程(1)存在唯一解。

3 结 语

利用不动点定理和不等式技巧得到状态依赖脉冲Caputo分数阶微分方程的非局部问题解的存在唯一性。放宽了文献[2]的假设条件(H2)，改进了文献[2]的相关结果。