剪张源约束的井中微地震震源机制反演方法

唐 杰 李 聪 刘英昌 陈学国

(①中国石油大学(华东)地球科学与技术学院，山东青岛 266580；②中国石化胜利油田分公司勘探开发研究院，山东东营 257015)

0 引言

本文首先介绍了基于剪张源约束的微地震震源机制反演的方法原理，然后通过理论模型记录测试、分析了应用效果。

1 井中微地震震源机制反演

传统地震震源机制反演通常使用 P 波和 S 波振幅，检波器布设于地表。在水力压裂微地震监测中，经常在井中设置检波器阵列，这种检波器分布具有非常有限的覆盖范围，对震源机制反演提出了挑战。

1.1 矩张量反演方法(MTI)

微地震震源机制可用矩张量的形式表示

(1)

式中：M为对称矩阵，满足Mij=Mji，其中独立元素有6个，Mij表示沿着±i方向大小相等并且在j方向相距无限小的力偶(i、j=1，2，3)；M0为地震矩幅度。

均匀各向同性介质中的波场满足[20-21]

(2)

忽略f，式(2)变为

d=Gm

式中：d为包含N个振幅的矢量；G为格林矩阵，表示震源与检波器间的振幅变化；m为地震矩矢量，包含矩张量的6个独立参数。这样通过

m=G-1d

反演矩张量，但求解过程中需要更多的观测数据，此时方程为超定方程，可用广义逆G-g代替G-1

m=G-gd=(GTG)-1GTd

(3)

由于实际数据中含有噪声，因此需要6个以上的振幅值正确求解m。反演可单独使用P波、S波振幅或者联合使用P波、S波振幅。

图1 分布于源到垂直井检波器的射线

1.2 剪张源约束反演方法(STI)

图2 混合剪切滑动和张裂的剪张源模型

为了实现井数较少情况下的反演，可以引入剪张源约束。图2为混合剪切滑动和张裂的剪张源模型，震源机制可以用走向角Φ、倾角δ、滑动角θ和张裂角α表征[24]，通过这些角度可以获得剪张源的源张量D[25]。对于各向同性介质矩张量与源张量间满足[26]

Mij=λDkkδij+2μDij

(4)

式中：λ和μ为拉梅系数； δij为克罗内克函数，当i=j时，δij=1，当i≠j时，δij=0，k=1、2、3。

图3为振幅沙滩球、P波辐射花样。由图可见：在走滑情况下，Φ=45°、δ=90°、θ=180°； 在倾滑情况下，Φ=45°、δ=90°、θ=90°；震源机制沙滩球和辐射花样随着张裂角α的变化而变化。

对微地震震源矩张量M采用特征值分解法分解为双力偶部分MDC、补偿线性矢量偶极成分MCLVD和各向同性部分MISO[27]

M=MISO+MCLVD+MDC

(5)

图4为MISO、MDC、MCLVD的P波辐射花样，可见极性和波瓣分布呈明显差异。

本文研究了矩张量反演(MTI)和剪张源约束反演(STI)。MTI采用线性反演方法； STI采用非线性反演方法，将矩张量限制为描述剪张源的矩张量，减少了反演参数，鲁棒性更强。文中的STI采用信赖域反演算法，通过给定一个“信赖域半径”直接确定位移，并以当前迭代点为中心形成一个信赖域，并在其中求得最优解，产生的新迭代点具有整体收敛性。通过迭代运算求解非线性优化问题，把最优化问题转化为一系列简单的局部寻优问题，从给定的初始解出发，通过逐步迭代、不断改进，直至获得满意的最优解。

图3 振幅沙滩球(上)、P波辐射花样(下)

图4 MISO(a)、MDC(b)、MCLVD(c)的 P波辐射花样

2 STI测试分析

2.1 模型分析

图5为模型观测系统、合成记录及沙滩球。由图可见，无论采用三井还是单井数据，通过STI都能获得较高精度的反演结果(图5g、图5h)。

2.2 基于无噪振幅数据的反演

首先利用精确介质模型和精确源位置进行无噪声振幅数据反演，并计算反演误差。由P波和S波振幅通过MTI和STI获得震源矩张量，反演分别采用单井(B3井)、双井(B3、B2井)和三井(B1、B2、B3井)数据。

图5 模型观测系统、合成记录及沙滩球

(a)震源点和观测井的位置； (b)包含水平层的模型，B1、B2和B3为垂直井，井中布置了检波器，VP上=4400m/s，VS上=2400m/s，VP下=4200m/s，VS下=2200m/s，红线为直达波路径，蓝线为反射波路径； (c)震源机制Hudson分布图，Φ=40°，δ=60°，θ=-30°，α=15°； (d)由格林函数合成的P波数据； (e)由格林函数合成的S波数据； (f)真实震源机制沙滩球； (g)单井STI反演沙滩球； (h)三井STI反演沙滩球

固定其他角度，改变张裂角，利用精确介质模型和精确源位置反演，反演时联合使用了P波和S波的振幅。研究表明，采用STI时，双井和三井都能获得较好的张裂角反演结果。图6为无噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井、双井、三井STI和MTI结果及MCLVD、MDC绝对误差。由图可见：单井MTI(图6a左)造成MDC(图6a右)和MCLVD(图6a中)的较大误差，STI(图6a左)的MCLVD(图6a中)和MDC(图6a右)在α较小时存在误差，其他角度反演效果较好；双井STI(图6b左)效果较好，而矩张量反演存在误差(图6b中、图6b右)；三井MTI和STI的反演效果较好(图6c)。

随机产生200个不同类型的震源机制，反演时联合使用了P波和S波振幅。图7为无噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，单井STI存在一定误差(图7a)，单井MTI结果不合理(图7b)，三井STI(图7c)和MTI(图7d)的结果较合理。由于STI采用非线性反演算法，当满足迭代终止条件时(如误差达到规定要求或达到最大迭代次数)终止迭代并给出结果，所以部分结果存在一定误差。

针对随机产生的200个震源机制，图8为无噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，三井P波STI存在略微误差，整体反演效果较好(图8a)，三井P波MTI的结果合理(图8b)，三井S波STI结果存在个别误差(图8c)，三井S波MTI的结果不合理(图8d)。因此，三井的P波STI、S波STI、P波MTI的效果较好，S波MTI无法获得合理的结果。

图6 无噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井(a)、双井(b)、三井(c)STI和MTI结果(左)及MCLVD(中)、MDC(右)绝对误差

图7 无噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布

图8 无噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布

2.3 基于含噪振幅数据的反演

图9为含噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井、双井、三井STI和MTI结果及MCLVD、MDC绝对误差。由图可见：双井和三井STI抗噪性较好，能获得较好的α反演结果(图9b左、图9c左)；当α较小时单井反演的MCLVD(图9a中)和MDC(图9a右)误差较大，其他角度反演结果较好。因此，含噪时单、双井和三井的MTI精度不高。

对观测数据添加不同的随机噪声进行100次反演时联合使用了P波和S波振幅，震源机制采用图5c。图10为含噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，单井STI结果较合理(图10a)，单井MTI结果不合理(图10b)，三井STI的结果接近单井STI(图10c)，三井MTI结果较合理，但分布较散(图10d)。因此，单井STI的效果较好，单井MTI的结果不合理，三井STI和MTI的效果较好。综上所述，STI抗噪性更好，反演结果分布更集中，MTI的结果相对较分散。

图11为含噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布。由图可见，三井P波STI(图11a)、S波STI(图11c)的结果接近真实源，P波MTI(图11b)的结果在真实源附近分散，反演结果较合理， 三井S波MTI的结果不合理(图11d)。因此，三井P波或S波STI的效果较好，S波MTI结果的误差较大，P波MTI的效果也较好，但是结果相对分散。

图9 含噪条件下联合使用P波和S波振幅的单井(a)、双井(b)、三井(c)STI和MTI结果(左)及MCLVD(中)、MDC(右)绝对误差

图10 含噪条件下联合使用P波和S波振幅的反演结果Hudson分布

图11 含噪条件下三井单独使用P波或S波振幅的反演结果Hudson分布

3 结论

本文研究了基于剪张源约束的微地震震源机制解反演原理，通过理论模型记录测试、分析了方法的应用效果。将矩张量限制为描述剪张源模式，采用非线性反演算法，相对矩张量模型空间参数较少，反演效果较好。

(1)无噪观测数据在不同张裂角的反演结果表明，矩张量和剪张源约束三井反演结果明显好于单井，在井数据较少时剪张源约束反演效果更好。

(2)含噪观测数据在不同张裂角的反演结果表明：矩张量和剪张源约束三井反演误差均小于单井；剪张源约束反演的抗噪性更好，在井数据较少时也可获得较好的反演效果。

(3)单井P波和S波联合振幅矩张量反演和三井S波矩张量振幅反演都会出现很大的误差， P波和S波联合振幅剪张源反演或单独P波、S波振幅剪张源反演都能获得较好的效果，即剪张源反演的振幅数据选择性更大。