有限覆盖定理证明实数完备性的其余等价定理

2020-03-02 08:55阿力非日
绵阳师范学院学报 2020年2期
关键词:上界反证法有界

阿力非日,张 艳

(西昌学院彝语言文化学院,四川西昌 615000)

0 引言及预备知识

实数系的完备性是实数的一个重要特征,与之相关的 7个基本定理是彼此等价的,并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等 )的依据,它们从不同的方式刻画了实数集R的一种特性,通常称为实数的完备性或实数的连续性,因此在理论上具有重要价值.完备性公理等价既是如果把实数分成上、下两集,当下集里无最大值时,上集必有最小值.这说明实数具有连续性,填满了整个数轴(没有空隙).

实数完备性的七个定理:

(1)Heine-Borel有限覆盖定理:设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]

(2)确界原理:设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.

(3)单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极限.

(4)致密性定理:任何有界数列必有收敛的子列.

(5)Cauchy收敛准则:数列{an}收敛的充要条件是:∀ε>0,∃N∈N*,当n,m>N时有 |an-am|<ε.

(6)区间套定理:若{[an,bn]}是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点ξ,使得ξ∈[an,bn],

n=1,2,…,即anξbn,n=1,2,….

(7)Weierstrass聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

1 具体证明过程

1.1 有限覆盖定理证明确界定理

证明:反证法.设S为非空数集,设∅≠S⊂R,∀x∈S,有xM.∀x0∈S.考虑闭区间[x0,M],假如S无上确界,那么∀x∈[x0,M]:

(1)当x为S的上界时,必然有更小的上界x1

(2)当x不是S的上界时,自然有更小的上界x2>x.于是x有开邻域Δx.其中没点都不是S的上界.

闭区间[x0,M]上每点都可以找出一个邻域Δx,它要么属于第一类(每点皆为上界),要么属于第二类(每点皆不是上界),令H={Δx|x∈[x0,M]},则H是闭区间[x0,M]的一个开覆盖,根据有限覆盖定理,必存在有限子覆盖{Δ1,Δ2,…,Δn},易知M所在的开区间为第一类的,相邻接的开区间Δx有公共点,也应为第一类的,经过有限次邻接,可知x0所在的开区间也是第一类的.矛盾.

故S有上确界.证毕.

1.2 有限覆盖定理证明单调有界定理

证明:反证法.不妨设序列{xn}单调递增,且xnM(n=1,2,…).由{xn}⊂[x1,M],

假设对∀x∈[x1,M],x都不是序列{xn}的极限.则存在ε0>0,对∀N∈N*,存在n>N,

|xn-x|≥ε0.

故{xn}必存在极限.证毕.

1.3 有限覆盖定理证明致密性定理

证明:反证法.设{xn}⊂[m,M]为有界数列,若{xn}中无收敛子列.对∀x′∈[m,M],{xn}中无子列收敛于x′,即∀x′∈[m,M],∃δx′>0,使U(x′,δx′)内只含有{xn}中至多有限项.事实上,若存在x0∈[m,M],对任意δ>0,在U(x0,δ)内都含有{xn}的无穷多项,则{xn}必有子列收敛于x0.令

H={U(x,δx)|x∈[m,M]}.

则H是[m,M]的一个开覆盖,根据有限覆盖定理,H中存在有限个邻域U(x1,δx1),…,U(xn,δxn)使得覆盖了H,当然也覆盖了[m,M].由于每个邻域内只含有{xn}中至多有限项,从而{xn}只有有限项.矛盾.

故{xn}中必含有收敛子列.证毕.

1.4 有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则的充分性

证明:反证法.∀ε>0,∃N,当m,n>N时,|xm-xn|<ε.取m=N+1,则对∀ε>0,当n>N时,有|xn-xN+1|<ε.令ε=1,则当n>N时,有|xn-xN+1|<1,即xN+1-10,对任意N,存在n>N,有|xn-x|≥ε0.则在内只含有{xn}的有限项.

故{xn}收敛.

1.5 有限覆盖定理证明区间套定理

证明:反证法.设{[an,bn]}为闭区间套.但对∀x′∈[a1,b1],至少存在k∈N.使得x′∉[ak,bk],从而存在δx′>0.使得

U(x′,δx′)∩[ak,bk]=∅.

因为G={U(x′,δx′)|x′∈[a,b]}是[a1,b1]的一个开覆盖,故G中有限个开区间即可完全覆盖[a1,b1],记为

G*={U(xi,δi)|i=1,2,…,n}.

由此得出

这与G*={U(xi,δi)|i=1,2,…,n}是[a1,b1]的开覆盖矛盾.

1.6 有限覆盖定理证明聚点定理

证明:设S是直线上的有界无限点集,于是存在a,b.使得S⊂[a,b].假定[a,b]中任何一点都不是S的聚点,则对任意x∈[a,b],都存在相应的δx>0,使得U(x,δx)内至多含有S的有限多个点.令

H={U(x,δx)|x∈[a,b]}.

则H是[a,b]的一个开覆盖,根据有限覆盖定理,H中存在有限个邻域U(x1,δx1),…,U(xn,δxn)使得覆盖了H,当然也覆盖了S.由于每个邻域内至多含有S的有限个点,故这n个邻域的病集也至多只含S的有限个点.于是得到S为有限点集.这与题设S为无限点集矛盾.

因此,在[a,b]中至少有一点是S的聚点.

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