关于抛物线的焦点弦教学的一点思考

罗志勇

考纲要求掌握抛物线的定义、标准方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，理数形结合的思想。因此抛物线是历年考试的重点，常以选择、填空题的形式考查抛物线的方程、几何性质，以解答题的形式考查直线与抛物线的位置关系等。纵观近几年高考小题中对抛物线的考查主要是两种形式：一是考查抛物线的定义;二是考查抛物线的焦点弦性质。特别是抛物线的焦点弦性质频繁出现，而许多学生在考试中却不能很快速的找到解题的切入点，不善于运用焦点弦的性质结论，小题大做，浪费了大量时间的不说，而且准确率不高。本文就抛物线中焦点弦问题谈谈自己的一点思考。

【问题】已知抛物线，过焦点F作一直线l交抛物线于，其倾斜角为θ，分别过A，B作准线的垂线，垂足为A1，B1，弦AB的中点为M，线段A1B1的中为M1。

性质1、（1）=2X0+p。

（2）若直线l的倾斜角为，则弦长。

（3）当时，，即过焦点的弦中通径长最小2P。

性质2、（1） ;（2） 。

性质3、以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

性质4、。

性质5、

针对以上性质，请看下面的例子：

例1.（2008年全国Ⅱ卷）已知F是抛物线的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设，则|FA|与|FB|的比值等于__        .

解、由题意知，解得

例2、（2010年重庆卷）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为____         .

解、由知直线AB过抛物线的焦点F，设则，

又知

解得，所以弦AB中點到准线得距离。

例3.（2017全国1卷理科10）已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则的最小值为（   ）.

A.16        B.14        C. 12       D.10

解、设AB的倾斜角为θ，抛物线的准焦距为p.作AK1垂直准线于点K1，AK2垂直X轴于点K2，如图所示.

则.

又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为，.

所以，当时取等号，即的最小值为16.故选A.

通过以上实例可以看出抛物线的定义与性质的考查比较受命题专家组的青睐。从以上试题在试卷中位置来看，往往是以中等或者中等偏上的难度出现。而试题风格“走大道，求大气”，注重考查学科思维方法和创新能力。

对于抛物线的这个重要考点，实际上老师都是重点讲解，也拓展很多相关结论。但是很多学生在考试中不善于运用性质，甚至有些小题大做。我觉得主要原因是教师只是把大量的性质结论抛给学生，而没有针对这些性质进行有效的课堂训练，特别是合理运用性质去解决这类问题，当然若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。所以在备考中，解决此类问题要达到小题小做、小题巧做、事半功倍的效果。