数学素养视域下比值审敛法的课堂教学实践

赵建昕 毛俊超 李长文

[摘要]论文分析了数学素养的内涵、构成要素以及其行为表现，比较了传统的课堂教学与数学素养视域下的课堂教学的不同，概括出数学素养视域下的课堂教学的三个主要特征：一是重视培养观念成分数学素养中的整体现素养，加强知识结构的系统性，引导学生从整体性上认识数学的内容;二是重视知识成分数学素养中的关联性和策略性知识教学，加强数学的思想性教学和数学思维的培养;三是重视精神成分的数学素养中的文化价值，加强数学教育的育人性。论文以此为指导，对正项级数的比值审敛法的课堂教学进行了教学设计，突出了该次教学内容中蕴含的化归和类比数学思想方法以及辩证思维的设计，收到了满意的教学效果。

[关键词]数学素养;比值审敛法;数学思想方法;辩证思维;数学文化

[中图分类号]G642.0

[文献标识码]A

[文章编号]2095-3437（2020）03-0086-03

数学兼具理科和文科的特质，这是其不同于其他学科的独有特点。抽象、逻辑性强等特点赋予了数学难学的标签，应用广泛、基础性特点又赋予了她工具的美誉。正是其后者被过于看重，数学课堂教学中出现了偏重于数学计算和数学应用的教育观念，这种观念下的教学必然将数学本身对人的价值观、世界观等的文化教育作用置若罔闻，忽视了数学抽象、逻辑性强对人的思维方面的训练作用，忽视了数学对人的思想品质形成的教育价值。当然，随着教育界对数学教育的本质回归，越来越多的数学教育工作者尝试在数学的课堂教学中转变观念，并在教学中不断实践数学教育的双重性即工具性和教育性。

数学素养是近几年出现的数学教育的名词，代表着数学教育的新观念和发展方向。如何在传统数学课堂教学中培养学生的数学素养？除了需要转变教学观念，更需要对该观念下的数学课堂有清晰的认识和界定。笔者在已有研究的基础上，就数学素养的内涵和数学素养视域下的课堂教学的主要特征进行了研究，并结合近几年的数学课堂教学经验，探讨正项级数比值审敛法的课堂教学实践。

一、数学素养的内涵

数学素养的内涵和构成要素目前学界并没有形成统一的、清晰的描述。文献[1]认为数学素养是数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现。文献[2]认为数学素养是指经过数学教育和实践发展起来的参加社会生活、经济活动、生产实践和个人决策所需的数学知识、技能、方法和能力，包括理解数学与社会的关系，理解数学的本质以及形成数学的情感态度和价值观等。其基本的含义是指学生能够合理地将所学到的数学知识运用到社会及个人生活中。文献[3]认为数学素养是人们认识世界的一种数学特质，属于认识论和方法论的综合性思维范畴，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。它是通过数学学习形成数学思想，培养数学思维能力，运用数学知识和方法解决实际问题所获得的特质和修养，是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体。这三个文献的共同点就是认为数学素养是数学的知识、能力和情感态度价值观的综合体，是在数学的学习过程中培养起来的。文献认为数学素养的构成要素包含数学运算、数学推理、数学意识、数学思想方法和数学情感态度价值观，其中数学情感态度价值观包括对学习数学有自信心，认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值，能感受到数学的精确性、抽象性、概括性、应用性、对称性、统一性等。这为如何在数学课堂教学中落实数学素养的培养明确了教育的具体内容。

综上可见，与传统的课堂教学相比，数学素养视域下的课堂教学应包含数学知识成分、观念成分和精神成分的数学素养。具体而言，数学知识成分的数学素养培育应突出数学的关联性和策略性知识，加强数学思想方法教学和数学思维的培养。观念成分的数学素养培育应重视知识结构的系统性，引导学生从全局上考虑问题，从整体性上认识数学的内容。精神成分的数学素养培育除了要丰富高层次的人文精神素养之外，还要孕育理性、求实、创新的科学精神素养，体现育人性。

二、数学素养理念下的课堂教学特征

与传统的课堂教学相比，数学素养视域下的课堂教学概括起来应突出以下三个方面。

（一）重视培养观念成分数学素养中的整体现素养，加强知识结构的系统性，引导学生从整体性上认识数学的内容

数学作为一门具有抽象性、逻辑性和应用性的学科，有着严密的科学体系和结构。建构主义学习观认为学习的过程实质上是学习者在一定的外界環境下，在其原有认知结构上进行意义的自我建构的过程，即个体掌握知识的过程就是在大脑中建构认知结构的过程。可见，个体的知识结构系统越有序就越有利于检索和利用，检索的时间越短利用的效率就越高。因此，在教学中，教师应重视加强学生知识的系统化和结构化，使新旧知识、相关知识之间的关系清晰明确，让学生能够形成层次累积的认知结构，以提高知识的可分辨性和可利用性。

（二）重视知识成分数学素养中的关联性和策略性知识教学，加强数学的思想性教学和数学思维的培养

数学的每个概念、知识点的产生，无不是充满了数学家的聪明才智、智慧和创新，无不是蕴含着各类和各层次数学思想方法，有学科的具体思想方法如微积分中的微元法，也有归纳和演绎的较一般的思想方法，甚至还有量变与质变的哲学思想方法如定积分的概念。因此，在数学课堂教学中，教师在知识传授和技能训练的同时，要有意识、有计划、有步骤地渗透数学思想方法，以提升学生的思维能力。要注重数学知识产生的过程、遇到的困难以及生成知识的思维启迪，引导学生体验数学问题的生成过程、问题解决的思维过程以及方法的思考过程等。

（三）重视精神成分数学素养中的文化价值，加强数学教育的育人性

数学除了具有工具性和基础性作用之外，还有育人功能，具体体现在其理性求知、数学思维品质、普遍的思想方法和语言以及独特的审美价值等方面。这是数学学科的隐性教育功能，对于学生形成良好的心智模式意义重大。这就要求数学教师对数学有一个不同于传统科学主义数学观的新认识，克服单一的和唯科学主义的数学观的影响。要意识到数学具有丰富的文化和人文内涵，要有一定的人文和社会科学知识，要知道数学在自然科学中的应用，要了解数学在人文、社会科学中的价值。

三、数学素养视域下的课堂教学实践

笔者以正项级数比值审敛法为例来探讨数学素养视域下的课堂教学，以下是这种课堂教学设计的思路。

（一）定准比值审敛法的地位，构建系统的知识结构

级数理论是研究函数的重要工具，其中级数的敛散性是理论中的第一个重要概念。正项级数是一类特殊的级数，其敛散性是一般数项级数和幂级数敛散性判定的基础，而正项级数比值审敛法是正项级数敛散性判定的重要方法，它回避了比值审敛法需要构造一个参考级数的困难，是利用自身的一般项特点构建的一种正项级数敛散性的判别方法。

（二）注重比值审敛法的形式演绎证明，训练学生的数学语言

数学是一门科学的语言，是数学知识的载体。具有通用、简捷、准确特点的数学语言是人类共同交流的工具之一，包含叙述语言、符号语言和图形语言。比值审敛法判定方法的严格论证和对概念的精确表述利用了叙述语言和数学特有的ε-N语言，通过严谨的数学概念间的逻辑叙述，使学生体会到逻辑化数学思维的独特魅力，逐步实现由学习数学语言到运用数学语言表达和提高解决相关实际问题的能力。

（三）板演比值审敛法的例题，训练学生的数学基本技能

掌握正项级数的比值审敛法是高等院校数学教学大纲的基本要求。因此，教师在授课过程中，要为了让学生能够全面掌握比值审敛法的使用條件、适合解决的类型和不足等几个方面的内容来设置例题，使学生真正掌握比值审敛法，实现提高相关基本技能的教学目标。

（五）解读比值审敛法的结果，培养学生的辩证思维

数学哲理性知识蕴含于数学学科的知识体系之中，是具有哲学思想和哲学意义的数学知识，往往是表现数学思想最深邃的内容，因而也是教学最难挖掘的知识。数学哲理性知识是聚焦数学思维与哲学思维的结点，挖掘数学哲理性知识的数学活动过程本身具有极好的思维训练价值，特别是对其间所使用的那些数学思想方法的哲学思考更富有文化教养功能。

比值审敛法的结论，可归结为下表。

其二，随着ρ值的变化，正项级数的性质发生了变化，这是哲学中量变与质变的辩证思维，ρ=1是边界点。

其三，在上述两点认识的基础上，在级数的混杂区，邻项比值极限构造的分类器，当ρ从1的左侧趋向于1时，量变的积累使得分类器的辨别能力越来越差，以至于只有当ρ值大于1时，才能分辨出正项级数的性质变化。进一步思考可知，这个分类器来源于邻项比值极限，如果增加邻项的距离，如后项项数是k（n），前项项数是n，此时构造的分类器有否可能将正项级数的混杂区进一步分开，这样的启发必然会引起学生探索和学习数学的兴趣，并让其思维的触角延伸到哲学层面，锻炼其运用矛盾分析方法和哲学辩证思维，体味习得。

（六）阅读比值审敛法的科学家历史资料，感悟数学史中的人文精神

比值审敛法也称达朗贝尔审敛法，围绕着达朗贝尔一生的勤奋、与巴黎科学院的同行克雷洛的有序竞争所促进的流体力学的发展故事以及晚年表现出的对年轻学者拉普拉斯和拉格朗日的无私支持和帮助的故事，为学生提供参考文献，引导学生阅读文献，体会达朗贝尔崇高的科学素养以及令人敬佩的无私奉献的科学精神，在理想、道德和情操等方面给学生树立榜样，启迪其深度思考，让其终身受益。

四、结束语

通过分析数学素养的内涵、构成要素以及其行为表现，概括出数学素养视域下重视观念成分、知识成分、精神成分的课堂教学的三个主要特征，并以此为指导，对正项级数的比值审敛法的课堂教学进行了教学设计，突出了注重基本理论方法的形式演绎、不同类型和难度的例题演练、基本理论方法的证明过程分析、基本理论的结果分析、数学家的思维过程再现以及课内和课外的阅读相结合等方面，同时把侧重点放在教学内容中蕴含的化归和类比数学思想方法、辩证思维和课程思政的设计，收到了满意的教学效果。

[责任编辑：庞丹丹]