一道中考压轴题引出的数学模型

戚文理

我们先来看一下2019年四川绵阳数学中考第24题：

在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax-（a>0）的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图1所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5。

（1）求抛物线和一次函数的表达式;

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图像下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标：

（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+3/5PA的最小值。

【分析】（1）先写出平移后的抛物线表达式，经过点A（一1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线表达式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数表达式;

（2）作EM∥y轴交AD于M，如图2，利用三角形面积公式，由S△ACE=S△AME-S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题;

（3）如图3，作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE=∠HA P=∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+3/2A P=FP+HP=FH，此时VH最小，求

出最小值即可。

【点评】本题主要考查了二次函数表达式的求法和数形结合的能力。要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题。第（3）问是本题的压轴点，属于“胡不归”模型。

“胡不归”模型是一个非常古老的数学模型，也是历史上非常著名的难题，近年来逐渐成为各地中考的热门考点，很多同学不易把握。下面结合几个例子来说说这一模型。

一、“胡不归”模型的建立

如图4，点P是射线AM上一动点，点B是射线外一定点。求k·PA +PB取最小值时点P的位置（其中O

【分析】如图5，将射线AM绕A点逆时针旋转a0得射线AM'，使sina.=k。过点P作PE⊥AM'，垂足为E，那么有k·PA+PB=PE+PB。过点B作BF⊥AM，垂足为F，交AM于点P，易得，当点P与P'重合时，k·PA+PB有最小值BF。

【理论依据】点到直线间垂线段最短。

二、“胡不归”模型的运用

例1 （2019·湖北恩施）如圖6，抛物线y=ax2-2ax+c的图像经过点C（0，-2），顶点D的坐标为（1，一8、3），与x轴交于A、B两点。

（1）求抛物线的表达式。

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC一△AEB时，求点E的坐标和AE/AB的值。

（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，5/5FC+BF的值最小，并求出这个最小值。

（4）点C关于x轴的对称点为H，当5/5FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴 5上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。

【分析】（1）将点C、D的坐标代入抛物线表达式，即可求解;

（3）连接BF，过点F作FG⊥AC于点G，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，即可求解;

（4）①当点Q为直角顶点时，由Rt△QHM—Rt△FQM得QM2=HM·FM;②当点H为直角顶点时，点H（O，2），则点Q（l，2）;③当点F为直角顶点时，同理可得点Q（l，一3/2）。

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中第（4）问要注意分类求解，避免遗漏。第（3）（4）两小问则是对“胡不归”模型的应用。

例2 （2020·湖南湘西）已知直线y=kx-2与抛物线y=x2-bx+c（6、c为常数，b>0）的一个交点为A（一1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点。

（1）当直线y=kx-2与抛物线y=x2-bx+c（b、c为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k、6、c的值及抛物线顶点E的坐标：

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横

1坐标为6，当SAEQM= 2S△ACE时，求m的值;

（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+l，当2AM+2DM的最小值为27.2/4时，求b的值。

【分析】（1）将A点坐标代入直线与抛物线的表达式中求得k的值和b与c的关系式，再将抛物线的顶点坐标代入求得的直线的表达式，便可求得b、c的值，进而求得E点的坐标;

（2）先根据抛物线的表达式求得C、Q点的坐标，用m表示出△EQM的面积，再根据S△EQM=1/2S△ACE列出m的方程进行求解;

（3）取点Ⅳ（0，1），则∠OAN=45°，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴交于点M，此时2A M+2DM=2DG的值最小，由2DC=27 2/4列出关于6的方程求解便可。

【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法、二次函数的图像与性质、三角形面积公式、等腰直角三角形的性质等知识。第（2）小问的关键是由面积关系列出m的方程，第（3）小问的关键是利用“胡不归”模型确定2AM+2DM的最小值为2DG的值。

（作者单位：江苏省泗阳县实验初级中学）