对一类不等式恒成立问题的探讨

冯太平

【摘 要】 含绝对值不等式的处理方式以及含参不等式恒成立问题是不等式问题中的难点，通过一个具体的问题产生的错因进行剖析，对这两类问题进行解法总结。

【关键词】 绝对值不等式;含参不等式恒成立;错因分析;两类绝对值不等式解法总结

一、问题的提出

在高三一轮复习中，备课组老师交流提出了一个问题：

已知实数，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。

此题的解法很多，正确的结果是：或，但按下面的方法求解，结果却不对，为什么？

解：∵且，∴，

进而有或。

化简整理得：或，

又因为，

所以有或，

依题意 或。

二、错因分析

上述解法主要涉及两类问题的解决方法：

一是含绝对值不等式的处理方式。或，这是解绝对值不等式常用的手段。

二是含参不等式恒成立问题。将不等式中的参数分离出来，将问题变为恒成立（或恒成立），上述问题等价于（或）。

分离参数法是解决不等式恒成立问题非常有效的方法，这种方法可以回避分类讨论。

上题中的解法主要用到了这两种解法，看起来没有什么问题，但仔细分析会发现其算法是有问题的，主要问题是变形过程不等价。

错误的本质分析如下：

从解集相等的角度来说：与或是等价的。

不论是正还是负，上述两组不等式的解集都是相同的。

但是在去掉绝对值后，再分离参数，而后的处理方法本质上是要求对恒成立或对恒成立。这与或对恒成立是不等价的。这样处理后是加强了条件，所以得出来的结果比实际结果范围小。

对于这类问题，要对的正负进行讨论，其本质是：如果不对的正负进行讨论，那么不等式的解集和的解集是有可能有交集的;而当为正时，上述两不等式是没有交集的。当它们没有交集时，或对恒成立和对恒成立或对恒成立是等价的。解法也就正确了。

三、对本题解法的修正

解：∵且 ，∴。

①当，即时，，所以有或x-a

對任意恒成立。

化简整理得：或，又因为，

所以有或，

对任意恒成立。

依题意或。

又因为，所以。

②当，即时，，此时不等式对任意恒成立。故。

综上得，或。

四、两类绝对值不等式解法总结

1.对恒成立。

（1）当时，对恒成立或对恒成立对恒成立或对恒成立。

（2）当时，对恒成立。

2.对恒成立对恒成立对恒成立且对恒成立。

【参考文献】

[1]杨学枝.不等式研究[M].西藏：西藏人民出版社，2000.

[2]胡晓芬.含参数不等式恒成立的解法[J].数学通讯，2005（20）：12.

[3]黄俊珍.关于含参不等式的探讨[J].中学理科，2007（2）：16～19.