基于代数余子式的四阶行列式对角线法则展开法

卓穆湘

【摘要】线性代数是大学数学及研究生考试的一门基础课程，而行列式是线性代数的一个重要的基本工具，下文是基于二阶和三阶行列式对角线法则，以及代数余子式计算方法，通过总结规律，推导出四阶行列式展开公式，并附此展开公式的应用案例.

【关键词】对角线法则;四阶行列式;代数余子式;行列式展开公式

一、引 言

行列式是线性代数重要的内容之一，且在线性代数中占有重要地位，因此，有必要对行列式进行研究，在《线性代数》教材[1]中仅介绍二阶和三阶行列式的对角线法则，然后找出规律，给出n阶行列式的定义，但对角线法则无法对四阶行列式展开，本文运用代数余子式推导出四阶行列式完全展开公式.

二、基于对角线法则展开的三阶行列式

三阶行列式按图1对角线法则展开，有

图1中左倾的实线可看作是平行于主对角线的连接线，右倾的虚线可看作是平行于副对角线的连接线，行列式外添加了做辅助连接线的两列元素，与第一列和第二列元素相同.实线上三个元素的乘积项冠以正号，虚线上三个元素的乘积项冠以负号，每项均为行数列数不同的三个元素的乘积.

三、四阶行列式的完全展开公式

在四阶行列式中，分别对第一行元素a1j（j=1，2，3，4）划去所在行和所在列，余下一个三阶行列式，即余子式.把余下的三阶行列式按对角线法则完全展開，以（-1）1+ja1j左乘三阶展开式，得到六个不同行、不同列的展开项，共有四组不同的六个展开项.

可按图2中四个图进行理解，（a）（b）（c）（d）四个图中依次划去了第一行第一列、第一行第二列、第一行第三列、第一行第四列，将余下的三阶行列式按对角线法则展开，再分别以第一行元素（-1）1+ja1j（j=1，2，3，4）左乘对应三阶展开式，得到四组不同的六个展开项.所有展开项相加即四阶行列式完全展开公式.第一行元素对应的三阶余子式按对角线法则展开，即实线上三个元素乘积冠正号，虚线上三个元素乘积冠负号，可以发现四阶展开式各项符号由首元素下标1+j（j=1，2，3，4）和的奇偶性与三阶行列式展开后各项的正负号决定.

由代数余子式推导出四个四阶展开式相加即得到四阶行列式完全展开公式：

四、用推导四阶行列式展开公式的思想解决行列式中未知数系数问题

例 设

则f（x）中，x3的系数是.[2]

分析 四阶行列式分别划去第一行不同列元素，对应的行列式如图3所示.

当划去第一行的第一列元素时，按四阶行列式展开带未知数x的项有-2x3，同理，划去第二列元素有-x2、8x、10x，划去第三列元素有-4x、-8x2，划去第四列元素有-x4，显然，当且仅当划去第一行第一列时才有未知数x的三次方，对应的四阶行列式展开项为a11a23a32a44=-2x3，故x3的系数为-2.

五、结 论

四阶行列式完全展开公式按对角线法则无法给出，但引入代数余子式概念后，结合对角线法则可以方便地给出四阶行列式完全展开公式，具体的可按照图示方法来理解和操作.理解和掌握这一方法及背后的思想，对研究四阶行列式有一定意义.

【参考文献】

[1] 同济大学数学系.工程数学线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]李永乐，王式安，武忠祥.考研数学复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2018.

[3]刘希强，赵颖，王璞.四阶行列式对角线法则的图解法[J].大学数学，2014（1）：93-95.