基于一道考研题的一点结论及其应用

郭欣

【摘要】本文从一道考研题的常规解法中总结出一个一般性的结论，通过应用实践发现，该结论用起来极为便利.

【关键词】考研数学;极限题;一题多解

引 言

2020年全国硕士研究生入学考试数学（一）选择题第（1）题内容陈述如下：

（*）当x→0+时，下列无穷小量中，阶最高的是（）.

A.∫x0（et2-1）dt

B.∫x0ln（1+t3）dt

C.∫sin x0sin t2dt

D.∫1-cos x0sin 3tdt

纵观近十年的考研数学题，每年都会涉及等价无穷小量知识点的考查.在众多的考研复习资料中，早已出现了变积分限的无穷小量的问题，但这类题还是第一次出现在考研数学题中.因学生在备考过程中见到了很多变积分限的无穷小量问题，故绝大部分考生对此题的初步感觉是比较容易的.但解答过程中涉及极其烦多的计算，要正确解答问题（*）也并非易事.在笔者看来，问题（*）很好地预示着未来考研数学的命题方向.本文拟先给出问题（*）的常规解答，再给出问题（*）的一个简便解答，最后根据解题过程，给出一个一般性的结论.通过实际应用发现，本文给出的结论极其好用.

一、解答问题（*）

解 直接计算，得

limx→0+∫x0（et2-1）dtx3[ZK（]=limx→0+ex2-13x2=13，limx→0+∫x0ln（1+t3）dtx52=limx→0+ln（1+x3）52x32=25，[ZK）]

limx→0+∫sin x0sin t2dtx3=limx→0+cos xsin（sin 2x）3x2=13，limx→0+∫1-cos x0sin 3tdtx5[ZK（]=limx→0+sin xsin 3（1-cos x）5x4=220，[ZK）]

综上，当x→0+时，∫1-cos x0sin 3tdt与x5是同阶无穷小量，故它是阶最高的无穷小量.

问题（*）的常规解法的困难之处在于先要猜测出无穷小的阶，再验证猜测是正确的.接下来，我们给出一个简便解答.

当x→0+时，∫x0（et2-1）dt与∫x0t2dt=13x3同阶，∫x0ln（1+t3）dt与∫x0t3dt=25x52同阶，∫sin x0sin t2dt与∫x0t2dt=13x3同阶，∫1-cos x0sin 3tdt与∫x20t32dt=25x5同阶.简便解答与常规解答的区别是，前者放弃了精确算出无穷小的系数.

二、结论及应用

[STHZ]结论1[STBZ] 假设函数f（x）在x0=0的某去心右邻域可微，当x→0+时，f（x）～axα（a≠0，α>0），则当α>1时，f′（x）与aαxα-1是等价无穷小;当α=1时，limx→0+f′（x）=a;当0<α<1时，f′（x）与aαxα-1是等价无穷大.

[STHZ]结论2[STBZ] 假设函数f（x）与g（x）在x0=0的某去心右邻域可微，当x→0+时，f（x）～axα，g（x）～bxβ（a≠0，b>0，α>0，β>0）.则当x→0+时，∫g（x）0f（t）dt～abα+1βαβ+βxαβ+β.

证 limx→0+∫g（x）0f（t）dtabα+1βαβ+βxαβ+β[ZK（]=limx→0+f（g（x））g′（x）abα+1βxαβ+β-1=limx→0+f（g（x））bβxβ-1abα+1βxαβ+β-1=limx→0+f（g（x））abαxαβ=1.[ZK）]

借助结论2，可给出问题（*）的一个简便解答.

在∫x0（et2-1）dt中，因当x→0+时，ex2-1～axα，x～bxβ，a=β=b=1，α=2.

故由结论2，当x→0+时，∫x0（et2-1）dt～abα+1βαβ+βxαβ+β～13x3;在∫x0ln（1+t3）dt中，因当x→0+时，ln（1+x3）～axα，x～bxβ，a=β=b=1，α=32.

故由结论2，当x→0+时，∫x0ln（1+t3）dt～abα+1βαβ+βxαβ+β～25x52;在∫sin x0sin t2dt中，因当x→0+时，sin x2～axα，sin x～bxβ，a=β=b=1，α=2.

故由结论2，当x→0+时，∫sin x0sin t2dt～13x3;在∫1-cos x0sin 3tdt中，因当x→0+时，sin 3x～axα，1-cos x～bxβ，a=1，β=2，b=12，α=32.故由結论2，当x→0+时，∫1-cos x0sin 3tdt～abα+1βαβ+βxαβ+β～1×1252×232×2+2x32×2+2～220x5.

例1 计算函数极限limx→0∫x0arctan tdt2∫x0arcsin tdt∫x0sin tdt.

解 首先，

limx→0∫x0arctan tdt2∫x0arcsin tdt∫x0sin tdt=limx→0+∫x0arctan tdt2∫x0arcsin tdt∫x0sin tdt.在∫x0arctan tdt中，因当x→0+时，arctan x～axα，x～bxβ，a=α=β=b=1，故由结论2，当x→0+时，∫x0arctan tdt～abα+1βαβ+βxαβ+β～12x2;在∫x0arcsin tdt中，因当x→0+时，arcsin x～axα，x～bxβ，a=α=β=b=1，故由结论2，当x→0+时，∫x0arcsin tdt～abα+1βαβ+βxαβ+β～12x2;

在∫x0sin tdt中，因当x→0+时，sin x～axα，x～bxβ，a=α=β=b=1，故由结论2，当x→0+时，∫x0sin tdt～abα+1βαβ+βxαβ+β～12x2.综上，limx→0∫x0arctan tdt2∫x0arcsin tdt∫x0sin tdt=limx→0+12x2212x2·12x2=1.

例2 计算函数极限limx→0∫x20arctan tdt∫1-cos x0（t+1-1）dt.

解 首先，

limx→0∫x20arctan tdt∫1-cos x0（t+1-1）dt=limx→0+∫x20arctan tdt∫1-cos x0（t+1-1）dt.

在∫x20arctan tdt中，因当x→0+时，arctan x～axα，x2～bxβ，a=α=b=1，β=2，故由结论2，当x→0+时，∫x20arctan tdt～abα+1βαβ+βxαβ+β～12x4;

在∫1-cos x0（t+1-1）dt中，因当x→0+时，x+1-1～axα，1-cos x～bxβ，a=b=12，α=1，β=2，故由结论2，当x→0+时，∫1-cos x0（t+1-1）dt～abα+1βαβ+βxαβ+β～116x4.综上，limx→0∫x20arctan tdt∫1-cos x0（t+1-1）dt=limx→0+12x4116x4=8.

【参考文献】

[1]夏辉福，刘合财.一类含变上限积分极限式的等价无穷小量研究[J].贵阳学院学报（自然科学版），2011，6（04）：5-6.

[2]杨春玲，张传芳.关于变上限积分的等价无穷小[J].高等数学研究，2011，14（06）：33-35.

[3]蒋政，钱学明.变上限积分的等价无穷小研究[J].河北北方学院学报（自然科学版），2011，27（05）：21-24.

[4]杨春玲，张传芳.变上限积分的等价无穷小[J].高等数学研究，2004（06）：43-44.