2019年广州市中考数学第25题的解题研究

2020-03-23 12:19广东省广州市真光中学
中学数学研究(广东) 2020年4期
关键词:顶点抛物线图象

广东省广州市真光中学

二次函数是初中数学的重要内容之一,也是初中数学与高中数学联系的纽带,高中阶段我们会继续深入地学习它.据学生反馈,关于二次函数及其图象的抽象度高,综合性强,因此学生普遍感到学习难度大,且其内容在中考中占有较大的比重.二次函数的试题能够较好地考查学生的函数与方程、数形结合、分类讨论和转化的思想方法,也能较全面地反馈学生的综合能力,因此,二次函数在中考中既是难点,也是热点.笔者研究了近几年广州市中考试题,现以2019年广州市中考数学第25题为例,把自己的一点想法撰写成文,与读者交流,请予以斧正.

1 试题呈现

已知抛物线G:y=mx2-2mx-3 有最低点.

(1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示);

(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现,随着m的变化,抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系,求这个函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)记(2)所求的函数为H,抛物线G与函数H的图象交于点P,结合图象,求点P的纵坐标的取值范围.

2 难点解读

本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、图象的平移、二次函数的最值问题、函数与函数的交点问题,解题的难点在于学生能否利用数形结合等思想去解题.

对于第(1)问,

方法一把二次函数一般式配方成顶点式

由题意知m >0,因为y=mx2-2mx -3 =m(x2-2x+1)- m -3 =m(x -1)2- m -3.又因为(x -1)2≥0,m >0.所以m(x -1)2≥0.因此,m(x-1)2-m-3≥-m-3,即y ≥-m-3.当x=1时,y取最小值,最小值为-m-3.

方法二利用二次函数的顶点公式

因为抛物线y=mx2-2mx-3 有最低点,所以抛物线开口向上,顶点的纵坐标为函数的最小值.对称轴为直线把x=1 代入y=m×12-2m×1-3 =-m-3.

所以当x=1时,y取最小值,最小值为-m-3.

日常教学中需引导学生会求解含参数的二次函数的最值问题,其方法是把一般式配方成顶点式或者公式法去求解最值问题.学生对于遇到含有变量的问题,就会出现计算上的错误或者无从下手,因此我们要加强对含变量的类型的题目加强理解和训练.

对于第(2)问,

由题意得G1:y=m(x - m -1)2- m -3(m >0).所以抛物线G1的顶点坐标为(m+1,-m -3).

故y=-x-2(x >1).

第(2)问是考查函数图象左右平移以及将函数的参数方程化为普通方程.我们可以在人教版教材找到关于二次函数的图象左右平移的影子,但是没有系统阐述.平时教学过程中,我们老师应该重视教材,深挖教材,尤其是在初中教材当中没有深入研究的知识,但是在高中教材有的知识点.例如八下教材一次函数章节中,教材研究了一次函数图象的上下平移,那么很多学生自然就会想到左右平移又有什么规律呢? 此时,我们让学生画以下三组函数图象:(1)y=x与y=x+1,(2)y=2x与y=2x+1,(3)y=-2x与y=-2x-1,思考这三组函数图象是否可以通过左右平移来相互得到? 我们用最简单的一次函数来探究图象上下平移和左右平移,并总结图象平移的规律,那么我们在教二次函数图象平移时,就可以类比一次函数的图象平移的方法.深入探究教材,由简单到复杂,即有利于我们加深对一次函数和二次函数的学习,也有助于今后我们对三角函数等函数学习和理解.

对于第(3)问,

方法一通过画出两个函数图象,找到交点的临界位置

我们画出这两个函数图象,由图1可知,-4<yp <-3.

方法二通过联立方程组求得交点坐标

图1

因为xp >1,所以,因为,4m2+1<(2m+1)2,m_>0,所以,即,-1<即,所以,-4<yp <-3.虽然我们可以用代数方法去求解第(3)问,但是它对学生的计算能力和逻辑推理能力的要求比较高,对于大多数中学生来讲,还是很难掌握.因此数形结合思想在解决比较复杂的代数问题就会显得比较简捷.

2019年广州市中考数学第25题虽说综合性强,所涉及的基本知识并不复杂,因此只要学生基础扎实,勤于总结,善于灵活运用,便可顺利解答.当然我们掌握的知识和方法越多,产生的解法会越多,解法会越简捷,也能在现有的认知水平上提升一个档次.

3 研题心得

每道题目在剖析后都会显得简单,它的难处在于我们平时缺乏思考,缺乏大胆尝试,缺乏深入探究教材.例如我们在讲述一元二次方程ax2+bx+c=0 有根时,我们会探究两根之和以及两根√之积,此时学生自然会思考两根之差? 不妨设(其中Δ =b2-4ac,代入得到也可以通过韦达定理得到:两根之差的绝对值就是抛物线与x的两个交点之间的距离,熟悉了这个探究过程,我们就很容易求解2016年广州市中考数学第24题中的第三问(其中AB=|x1-x2|).因此,我们要重视教材的使用,教学中重视知识的形成的过程,精心选择教学素材,合理组织教学,把课堂活动时间、思考的时间还给学生,把观察、归纳、概括、探究、交流的机会还给学生,把问题的提出过程、知识的获取过程、结论的探究过程、认识的升华过程、思路的分析过程还给学生.同时,也要强化理解,多一点让学生用自己的语言来表述学习内容的内涵,在具体情节中辨析其中蕴含的数学知识,灵活运用数学基本知识、技能、思想方法分析问题和解决问题.

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