“同心协力”数学模型的优化设计

李相斌 徐文轩

摘 要：研究2019年全国大学生数学建模竞赛B题，“同心协力”是一项团队协作能力拓展项目。此项目以团队各人员用绳牵拉牛皮鼓颠球，通过合格的颠球数量比拼。本文综合运用数学与物理学知识，建立数学模型，通过分析颠球的最佳高度及鼓面倾斜角度，来实现该项目的优化设计。

关键词：二阶微分方程组;刚体转动定律;叠加原理

一、绪论

“同心协力”是一项富有思想性、挑战性和趣味性的活动，培养人们积极进取的人生态度和团队合作精神，是一种现代人和现代组织全新的学习方法和训练方式。为了优化团队颠球的过程，本文将通过结合数学和物理知识建立模型对该项目进行研究。

二、模型假设

（1）设球与鼓接触时恰绳拉直，以球与鼓接触点为坐标原点建立直角坐标系;

（2）忽略该项目比赛时自然风产生的外力、球与鼓接触时所产生的摩擦力;

（3）球与鼓接触时发生弹性形变所产生的间隔的距离和时间忽略不计;

（4）若干分钟后球（在>=40cm范围以上）保持平稳状态;

（5）假设问题中八名队员在圆周方向上均匀站位;

（6）不考虑能量损耗。

三、模型的建立与求解

（1）定义说明同心鼓作为刚体，不同位置的人向上拉时同心鼓可以看作做刚体转动如图1。通过对问题的分析，本文以竖直向下为正方向，竖直向上为负方向建直角坐标系，已知球下落的时间与鼓上升的时间相同。取空气密度ρ气=1.29×10-3kg·m-3（20℃时）。垂直下落的球受到重力mg、空气浮力ρ气Vg和空气黏滞阻力12ρ气CdSv2三个力的作用，其中m、M为球、鼓的质量，g是重力加速度，V为球的体积，Cd为空气阻力系数，S1 、S2为球、鼓的最大横截面积，v1、v1为球、鼓相对于空气的速度。

（2）模型建立与求解

根据牛顿第二定律分别列出排球和鼓位移的二阶微分方程：

根据式（1）可以解出S1、S2。（S1、S2分别为排球与鼓的位移）

依据题目要求“可以精确控制用力方向、时机和力度”，假设对鼓的合外力F合为45N，根据式（1）和初始条件vt=0=0，求得鼓位移为S2。

由题目条件知“S1+8>40”且“颠球次数尽可能多”，颠球一次所用时间越短，在相同时间内颠球次数就越多，当一次颠球所用时间为0.34秒时高度恰合适，此时高度h=0.4053m。

通过对问题二的分析：同心鼓为一刚体，不同位置的人向上拉时同心鼓做刚体转动，因为同心鼓为空心的假定同心鼓为一圆盘，其转动惯量J=0.216kg·m2。因同心鼓做刚体转动，由刚体转动定律和刚体转动定理列出二阶微分方程组：

该二阶微分方程组用于研究队员发力时机、力度和某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系，其中变化很小，近似当做恒定值。

根据式（2）求得九组鼓面倾角分别为：0.6939、0.484959、1.08711、0.86352、1.14108、0.937536、0.925118、1.013865、0.461058。

從影响因素分析结果，若提前施力与作用90N力为同一人时，鼓面倾斜效果叠加;若为相对站立的两人，则鼓面倾斜效果部分抵消;其他情况同理推出。从数据分析结果，鼓面倾角大小不仅与影响因素个数有关，还与影响因素作用对象有关，故数据较为合理。在计算过程中，我们求得空气浮力对模型影响很小，故该因素忽略不计。

四、总结

本文综合考虑数学与物理学知识，建立模型，研究“同心协力”拓展项目。建立模型简洁，算法直观，容易编程实现，逐步优化模型得到了较好的结果。同时也存在一些缺点，如复杂因素较多，不能对其进行全面考虑，导致求得的数值可能存在误差。

参考文献：

[1]司守奎，孙兆亮.数学建模算法与应用.北京：国防工业出版社，2018.9.

[2]鞠衍清.垂直下落球体运动的数值分析.大学物理，2008，27（11）：11-14.