某气动连杆升降机构的运动学仿真与优化

甘国栋，孟 婥，李 培，周 健

（东华大学机械工程学院，上海 201620）

1 引言

气动连杆机构是以气缸为动力源，驱动连杆实现一定规律的运动，因其有结构简单、容易制造、机械传动噪音小、易于实现远程自动控制等优点，在自动化或半自动化工业中得到了广泛应用[1-2]，但其显著缺点是设计过程较复杂。通常的做法是在充分分析其运动规律的基础上，采用优化设计方法，通过调整设计参数，使其运动特性能满足工程要求。由于气动连杆升降机构的运动特性难以凭直观感受，且各机构参数对运动特性的影响也难以凭经验判断，故有必要对其进行分析、设计和优化。常规连杆机构设计与分析方法主要是图解法与解析法，设计精度与设计效率都比较低，且在气动连杆机构中因有变杆长连杆的存在，给这两种分析方法增加了困难。随着计算机技术的不断发展与MATLAB等软件的出现，给气动连杆机构的分析与优化设计提供了有效手段[3-4]。以某气动连杆升降机构为研究对象，通过复数矢量法建立其数学模型，利用MATLAB软件进行仿真分析，得到机构的运动曲线，再在此基础上运用速度瞬心法得到以速度平稳性为目标函数的优化模型，对各连杆长的设计参数进行了优化。

2 基于simulink的气动连杆升降机构运动学分析与仿真

某气动连杆升降机构的运动简图，如图1所示。杆OB为原动件，即气缸，杆长可在一定行程内伸缩，当气缸采用头部轴销式或中间轴销式安装时，气缸长表示安装铰接位置与活塞杆端部之间的距离。杆AB、杆BC、杆AC构成三副构件△ABC，摇杆CD可绕点D转动，升降执行构件杆AE可在滑槽内上下移动。点O与点D位于同一平面，点E、点A、点D三点共线。当气缸活塞杆从图示位置开始伸出，即杆OB伸长时，推动△ABC按顺时针方向转动，同时杆CD绕点D按逆时针方向转动，从而实现杆AE沿竖直方向上升。反之，当杆OB缩短时，可实现杆AE沿竖直方向下降[5]。

图1 气动连杆升降机构简图Fig.1 Schematic Diagram of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

2.1 位置分析

在图1中以O点为原点建立平面直角坐标系，将各构件视为杆矢量，方向如图 1 所示。设 l1、l2、l3、l4、l5分别为杆 OB、BA、AC、BC、DC的长度，s为点A与点O之间的垂直距离，也是该气动连杆升降机构的初始高度，b 为点 A 与点 O 之间的偏距，θ1、θ2、θ3、θ4、θ5分别为杆 OB、BA、AC、BC、DC 的矢量方向与 x 轴正方向之间的夹角（以逆时针方向为正）。根据封闭矢量多边形OBAF、DCAFO、OBCD分别可得三个矢量方程：

将方程式（1）～式（3）改写为复数矢量形式：

应用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ将式（4）～式（6）的实部和虚部分离可得：

式（7）～式（12）即为该机构的位置方程。显然，当各固定连杆长l2、l3、l4、l5和偏距b给定时，由上述方程可以确定各连杆的位置参数 θ1、θ2、θ3、θ4、θ5、s是关于变化的杆长 l1的函数。

2.2 速度分析

将式（7）～式（12）左右两边同时对时间求导，并整理改写为矩阵形式：

式中：ω1、ω2、ω3、ω4、ω5—构件 1、2、3、4、5 的角速度；

vs—升降部件AE的线速度；

vl—气缸活塞杆速度，即连杆长l1的变化速度。

2.3 加速度分析

同理，将式（7）～式（12）左右两边同时对时间求二阶导数，并整理改写为矩阵形式：

式中：α1、α2、α3、α4、α5—构件 1、2、3、4、5 的角加速度；

as—升降部件AE的线加速度；

al—气缸活塞杆加速度。

2.4 基于simulink的运动学仿真

在matlab-simulink中建立该机构的运动学仿真模型，如图2所示。图中各积分模块反映了各构件加速度、速度、位移之间的关系，下标与该积分模块的输出参数保持一致，L1 dot表示气缸1活塞杆的线速度，L1表示气缸的长度，omega1表示气缸1的角速度，theta1表示气缸的角位移，其他含义依此类推。假设气缸速度保持不变，故Constant模块的值设定为零，表示气缸活塞的加速度为0。MATLAB function模块的内嵌程序根据矩阵方程式（14）编写。仿真结果保存到simout模块。在仿真开始前，设定各积分模块的初值，当各固定连杆长和气缸活塞杆速度已知，且给定气缸某一任意初始长度时，各位移积分模块的初值可根据位置方程式（7）～式（12）在MATLAB中用牛顿辛普森法编程求出，再将各位置初值代入速度矩阵方程式（13）可求得各个速度积分模块初值[6]。

图2 气动连杆升降机构仿真模型Fig.2 Simulation Model of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

2.5 仿真结果

假设气缸的长度l1=220mm，气缸活塞杆的恒定伸出速度vl=100mm/s，各固定连杆长分别为l2=300mm、l3=180mm、l4=240mm、l5=330mm，偏距b=480mm。将这些参数代入方程式（7）～式（13）中计算得各构件的初值，并依此进行仿真，得到升降部件在上升过程中的运动曲线，如图3～图5所示。由图可知，该气动连杆升降机构的升降高度范围从200mm到510mm，在上升过程中，升降部件的速度逐渐减小至零，且在上升初始阶段（0～0.1）s内，升降部件的加速度的绝对值较大，速度下降趋势尤为明显。

图3 升降部件上升过程位移曲线Fig.3 Displacement Diagram of Ascending Process of Lifting Part

图4 升降部件上升过程速度曲线Fig.4 Velocity Diagram of Ascending Process of Lifting Part

图5 升降部件上升过程加速度曲线Fig.5 Acceleration Diagram of Ascending Process of Lifting Part

3 气动连杆升降机构的优化

对于气动连杆升降机构，除满足升降行程的设计要求外，还应尽量使其具有较好的运动特性。由运动学分析与仿真可知，该机构的运动规律与各构件的尺寸参数有关。因此，在给定升降行程设计要求的前提下，对机构进行优化设计，可以得到使升降过程具有更好运动特性的机构结构参数。

3.1 设计变量

决定机构运动规律的参数有 l1、l2、l3、l4、l5、b 以及气缸杆长的变化速度vl，由于l1与vl由选取的气缸型号所决定，故取设计变量为：

3.2 目标函数

对于升降机构的设计，实现升降过程中速度的均匀性与平稳性是重要的设计要求。要使升降过程有较好的速度均匀性和平稳性，应尽量使升降部件的速度波动达到最小。因此将升降部件的速度变化作为优化设计的评价指标。由于位置分析方程式（7）～式（12）与速度分析矩阵方程式（13）均为含三角函数的非线性超越方程组，由此运用解析法推导出升降速度vs关于时间t的显函数表达式极其困难。因此，采用速度瞬心法推导升降速度vs关于高度s的显函数表达式[7]。

在图1的机构简图中作若干辅助线可得气动连杆升降机构的分析简图，如图6所示。过A点作AE的垂线交DC的延长线与点G，则由机械原理的相关知识可知，点G即为三副构件△ABC的绝对瞬心。

图6 气动连杆升降机构分析简图Fig.6 Analysis Diagram of Pneumatic Linkage Lifting Mechanism

因为点A的绝对速度即为升降速度vs，故有：

式中：d1、d2—点A、点B与点G之间的距离。

设DA与DC之间的夹角为α，在△ACD中，由余弦定理得：

设AG与AC之间的夹角为β，在ΔACG中，由余弦定理得：

令 δ=γ+β（可以证明，当 θ3≥π 时，取 δ=γ-β），则在△ABG中，由余弦定理得：设AB与AC之间的夹角为γ，在ΔABC中，由余弦定理得：

设气缸与水平轴负方向夹角为φ，则由图6得：

设点B的绝对速度vB与气缸活塞杆速度vl之间的夹角为ε，则：

因点B绝对速度vB的方向与BG垂直，由图6知：

式中：vl—气缸活塞杆速度，d1、d2、η 分别由式（18）、式（21）、式（22）求得。

因此，优化设计的目标函数为：

式中：sa、sb—上升过程的初始高度与最大高度；—上升过程的平均速度，因此：

将升降高度离散化，则目标函数为：

3.3 约束条件

（1）为使该机构的升降行程满足设计要求，应建立相应的约束方程。

当气缸杆OB最短，且杆OB与杆AB处于同一直线位置时，升降部件AE处于最低位，其示意如图7所示。设AE初始高度为sa，则图7中△OAD应满足勾股定理。

式中：l1′—气缸杆的初始长度。

图7中△ADC应满足余弦定理：

图7 升降部件最低位置示意图Fig.7 Schematic Diagram of Minimum Position of Lifting Part

当气缸杆OB最长，且杆CD、杆AC与杆AE处于同一直线位置时，升降部件AE处于最高位，其示意，如图8所示。设AE最大高度为sb，则线段ACD的长度应满足：

图8 升降部件最高位置示意图Fig.8 Schematic Diagram of Highest Position of Lifting Part

（2）为使杆AB、杆BC、杆AC构成三副构件△ABC，应满足三角形边长条件：

为改善气缸受力条件，应使杆AB为△ABC的最长杆，即：

为使机构能顺利到达杆AC水平这一特殊位置，保证机构正常运行，应使杆AC的长度小于杆CD的长度，即：

（3）各连杆的长度应为正数，且应将结构限制在一定范围内即：

3.4 优化结果与分析

该气动连杆升降机构的优化模型既包含等式约束又包含不等式约束，故采用惩罚函数法求解[8-9]。设升降行程的设计要求为sa=200mm，sb=510mm，所选气缸的规格参数与前文进行仿真的气缸相同，即长度l1=220mm，活塞杆的恒定伸出速度vl=100mm/s，并以前文进行仿真的各连杆长作为优化初值，即l2=300mm、l3=180mm、l4=240mm、l5=330mm，偏距 b=480mm。在 MATLAB 中优化求解[10]，所得结果与优化初值对比，如表1所示。优化的目标函数值min （fx）=337.5（mm2/s2）。

表1 杆长优化结果Tab.1 The Optimization Results of Rod Length

将优化后各设计变量的值作为该气动连杆升降机构的结构参数，按前文仿真的步骤重新进行运动学仿真，并将优化前后升降部件在上升过程中的速度变化曲线进行比较，所得结果，如图9所示。

图9 升降部件速度对比图Fig.9 Velocity Contrast Diagram of Lifting Part

由图9可知：（1）优化后升降部件的初始上升速度降低了约50%，且在（0～0.2）s速度快速下降时间段，优化后的曲线更平缓，速度下降更缓慢，因此降低了速度波动，减小了初始阶段惯性力造成的冲击；在（0～0.2）s时间段外，优化后的曲线约有80%的时间段速度保持在50mm/s左右，因此优化后升降部件大部分时间内的上升运动可以近似为匀速上升，上升过程平稳。（2）在气缸速度不变的情况下，优化后升降部件的全部上升时间增加了约30%，效率有所降低。所以可以认为，在对升降效率没有严格要求的场合，优化后的机构具有更好的运动特性。

3.5 气缸参数对优化结果的影响

为分析不同规格气缸对优化结果的影响，选取若干组含不同速度或不同初始长度的气缸参数进行优化计算，各设计变量的优化初值与表1相同，优化结果，如表2所示。

表2 不同气缸参数优化结果Tab.2 Optimization Results of Different Cylinder Parameters

由表2可知：（1）当气缸初始长度相同而速度不同时，虽然优化的目标函数值有所不同，但各设计变量的优化值完全一致，这说明气缸速度对优化结果没有影响，因此在实际应用中，可根据升降时间要求，调整气缸速度；（2）当气缸速度相同而初始长度不同时，随着气缸初始长度l1′增大，偏距b随之增大，杆AB长度l2变化规律不明显，但与杆BC的长度l4保持一致，且始终大于杆AC的长度l3，即三副构件△ABC始终是以l3为最短边长，l2与l4为两相等边长的等腰三角形；（3）无论汽缸参数如何变化，杆AC与杆CD的长度l3与l5近似为固定值，l3为163mm，l5为347mm，这说明气缸参数对控制该升降机构最大高度的两设计变量的优化影响不大。

4 结论

（1）运用复数矢量方程法对气动连杆升降机构进行了运动学分析，得到了位置、速度、加速度的数学模型，据此在matlabsimulink中建立运动学仿真模型，通过仿真获得了气动连杆升降机构的运动曲线。

（2）基于速度瞬心法推导了升降部件速度与升降高度的关系式，建立了以升降过程速度平稳性为评价指标的优化模型，对该气动连杆升降机构进行了优化，优化结果表明，升降过程的运动特性得到了明显改善。

（3）分析了气缸参数对优化结果的影响，结果表明，气缸速度对优化结果没有影响，气缸初始长度对杆长l2、杆长l4及偏距b影响显著，对杆长l3与杆长l5影响较小。