基于功率流理论的主动式动力吸振器控制方法

贾富淳，孟宪皆

（山东理工大学交通与车辆工程学院，山东 淄博 255000）

1 引言

动力吸振器（Dynamic Vibration Absorber，DVA）又称质量阻尼器，是一种在实际工程中广泛运用的振动控制手段，其基本原理为：在主振系上附加一个由弹簧、质量块和阻尼器组成的子系统，即DVA，调整DVA的结构参数以及与主系统的组合方式，从而减小主系统受迫振动的响应[1-2]。由于主系统附加DVA后形成的耦合系统会出现两个新的共振频率，当主系统的激振频率发生变化与新的共振频率相等时，系统会产生大幅度共振，该特性严重影响了DVA的吸振效果及应用范围。因此，如何降低耦合系统的共振峰值及如何增大DVA的抑振带宽成为一种有意义的研究方向，并且成为了近年相关学者的研究热点。

为了提高DVA的性能，前人提出了Voigt式DVA[3]、三要素DVA[4]、接地式 DVA[5]、非线性 DVA[6]和连续参数 DVA[7]等一些新结构形式的DVA，以及组合式DVA[8]和多自由度DVA[9]等不同工作方式的DVA；对于DVA的优化设计理论，相关学者也做了大量的研究，其参数优化方法也从最基本的不动点理论发展为遗传算法[10]、粒子群算法[11]等现代优化算法，并且取得了显著的研究成果。

虽然上述的各种方法都可以提高DVA的性能，但是，随着现代机械的使用工况越来越复杂，被动式DVA使用的局限性越来越大。进入二十一世纪后，控制理论以及计算机的发展使得半主动DVA式及主动式DVA发展迅速，半主动式DVA即通过改变DVA质量[12]、阻尼[13]和刚度[14]，使其固有频率跟随激振频率的变化而变化，从而最大限度的提升DVA的性能，半主动式DVA具有吸振效果好、抑振频带宽、能源输入少等优点，但是在对大质量主系统的振动进行控制时，为获得好的控制效果，需要较重的质量块以及较大的安装空间，这显然是实际工程中不允许的。而主动式DVA在主系统和DVA之间直接施加作用力，可以在附加质量较小的情况下获得良好的吸振效果，文献[15]提出一种电磁主动DVA，推导了控制力的传递函数，并进行了实验研究；文献[16]采用压电材料作为主动式DVA的作动器；文献[17]针对主动电磁DVA，开发了基于MLMS算法的自适应控制器，并应用到柴油机双层隔振系统中，取得了很好的效果；文献[18]采用主动电磁式DVA对大型空间桁架的结构振动进行控制，设计了相应的控制算法，并通过仿真和实验对控制效果进行了验证；文献[19]对DVA的控制策略进行了研究。但是，现有的主动DVA选取的控制目标大多都较为单一，无法完全反映主系统的振动信息，所以，需要一种能够对振动水平进行合理评价的控制目标，从而进一步提高主动DVA的性能。近年发展起来的功率流理论，综合了力和速度的大小以及他们之间的相位关系，可以反映激励注入系统能量的大小，适合作为主动式DVA的控制目标，国内的文献[20-23]对DVA的功率流传递特性有较多研究，但是对以功率流作为控制目标的主动式DVA的研究较少，且功率流的推导过程都较为笼统，没有给出详细解析式。

为了进一步提高主动式DVA的性能，在详细推导输入主系统净功率流的基础上，搜索各频率下净功率流的最小值及其对应的主动控制力，拟合后得到主动力的控制率。

2 DVA中的功率流传递特性

2.1 动力学分析

主动式DVA是在主系统与DVA之间添加作动器，使主系统与DVA间的作用力可控，其物理模型，如图1所示。

图1 主动式DVA物理模型Fig.1 Model of Active DVA

图中：fc—由作动器产生的主动控制力；m1、k1、c1—主系统的质量、刚度和阻尼；m2、k2、c2—DVA 的质量、刚度和阻尼，以系统的静平衡位置为坐标原点，则在主系统受到激励F时，主系统位移为x1，DVA位移为x2，建立系统运动微分方程，写为矩阵形式：

对式（1）两边同时进行傅立叶变换，可以得到系统的频率响应函数：

2.2 功率流计算

根据线性系统叠加原理，可以得出系统在激励力F与控制力fc同时作用下的速度响应，如图1所示。

振动功率流的基本概念为，作用力做功的功率在时间上的平均，设f（t）在作用点产生的速度响应为v（t），则功率流的基本定义式为：

对于图1所示系统，激励力F输入到系统的功率流为：

转移到DVA的功率流由两部分组成，一部分通过DVA的弹簧阻尼即通过力Fp发生转移，另一部分通过控制力fc发生转移，即：

正弦激励力F=F0sin（ωt），为了控制耦合系统的稳态振动，取控制力为 fc=f0sin（ωt+φ），将式（2）代入式（5）～式（7），整理后得：

则输入到主系统的净功率流为：

由式（8）可以看出，当系统及激振力频率确定时，净功率流Pd是控制力幅值f0和相位φ的二元函数。

3 主动力的控制率

当激励频率的范围较大时，为了保证主动式DVA在整个频率范围内都有较好的吸振效果，采用全局搜索的方法，寻找每个激励频率下，净功率流幅值最小值及其对应的控制力幅值f0和相位φ。

对于已知系统参数，如表1所示。

表1 系统参数值Tab.1 System Parameter Values

激振力幅值F0=10N，编写Matlab程序，得到不同激励频率下净功率流的最小值，即在最优主动力条件下输入系统的净功率流值，如图2所示。

图2 净功率流值随频率变化Fig.2 Net Power Flow Varies with Frequency

由图2可知，主动式DVA的主动力为最优时，输入主系统的净功率流相较于被动DVA在整个频率范围内都有大幅降低且抑振带宽更宽。

对控制力幅值f0和相位φ的最优值进行曲线拟合，得到以f0和φ为因变量，以激励频率ω为自变量的函数表达式：

拟合曲线与实际最优值的对比图，如图3、图4所示。由上图可以看出，最优值均匀分布在拟合曲线两侧，拟合效果较好，可以用式（9）和式（10）计算φ和f0，进而得到不同激励频率下的主动力控制率 f=f0sin（ωt+φ）。

图3 相位角拟合曲线Fig.3 Phase Angle Fitting Curve

图4 控制力幅值拟合曲线Fig.4 Control Force Amplitude Fitting Curve

4 仿真分析

4.1 频域分析

对采用上文控制方法的主动式DVA进行数值仿真，其主系统净功率流随频率变化，如图5所示。由图5可以看出，附加主动式DVA后，主系统的净功率流值相较于净功率流的最小值略有增加，是由于φ和f0在曲线拟合时存在误差，但是相比于被动式DVA，输入系统的净功率流值在整个频率范围仍然有大幅降低。

图5 净功率流值随频率变化Fig.5 Net Power Flow Varies with Frequency

4.2 时域分析

当激励力的频率固定为3.5rad和5.8rad且激励持续施加时，对主动式DVA进行仿真，得到系统的位移随时间的变化曲线，如图6、图7所示。

图6 激励频率为3.5rad时主系统位移随时间变化Fig.6 Main System Displacement Changes with Time When the Excitation Frequency is 3.5 Rad

图7 激励频率为5.8rad主系统位移随时间变化Fig.7 Main System Displacement Changes with Time when the Excitation Frequency is 5.8rad

当对主系统施加随机频率的正弦激励，得到主系统位移幅值随时间变化曲线，如图8所示。

图8 随机激励频率下主系统位移幅值随时间变化Fig.8 Main System Displacement Varies with Time at Random Excitation Frequency

由以上仿真结果可以看出，主动式DVA具有更好的吸振效果，且当激励频率超出被动式DVA抑振带宽，吸振效果恶化时，主动式DVA仍然有良好的吸振效果。

5 结论

提出一种用于主动式DVA的开环控制方法，采用与激励力频率相同，但幅值和相位不同的力作为主动控制力，搜索得到各激励频率下输入系统净功率流最小值及其对应控制力的幅值和相位，拟合后得到主动力的控制率，得到的具体结论如下：

（1）根据叠加原理，得到输入主系统的净功率流的解析表达式，表达式为控制力幅值和相位的二元函数。

（2）以激励频率为自变量，得到控制力幅值f0和相位φ的表达式，进而得到主动力控制率。

（3）相比于被动式DVA，采用该控制方法的主动式DVA的吸振效果更好，抑振带宽更宽，且当激振力频率随机变化时，主动式DVA仍具有良好的吸振效果。