构造等比型数列求递推数列的通项

王洪信

(甘肃省合水县第一中学 745400)

解决递推数列问题，求出通项是关键.而求递推数列的通项，方法多样灵活，不易掌握.本文就几类常见的递推数列，总结出一种统一的方法——用待定系数来构造出等比数列.这种方法简便，易于掌握，实用性强.下面分类说明.

一、an+1=pan+q(p、q为常数，p≠1,q≠0)型

这是最常见的一阶递推数列.用待定系数法，设递推式可化成等比数列的形式：

an+1+x=p(an+x),整理成an+1=pan+(p-1)x.

例1 (见2014年课标Ⅱ卷17题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1，求数列{an}的通项公式.

解设递推式可化成等比型数列an+1+x=3(an+x)，即an+1=3an+2x.

例2 (见课标教科书数学5P35)设a1=1,an=2an-1+1(n>1),求通项an.

略解设递推式可化为an+x=2(an-1+x),即an=2an-1+x,与原递推式比较系数，得x=1.可知{an+1}是公比为2，首项为a1+1=2的等比数列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.

二、an+1=pan+f(n)(常数p≠1)型

其中的f(n)是我们熟知的数列，如等差数列、等比数列等.

1.{f(n)}是等差数列，即f(n)=An+B.

此时设递推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x(n+1)y=p(an+xn+y),即

an+1=pan+(p-1)xn+(p-1)y-x.

例3 设a1=1,an+1=2an+2n+1,求an.

解设递推可化为an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),即an+1=2an+xn+(y-x).

可见{an+2n+3}是公比为2，首项为a1+2+3=6的等比数列，故

an+2n+3=6×2n-1,得an=3×2n-2n-3.

2.{f(n)}是等比数列，即f(n)=rqn.

设递推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p(an+xqn),即an+1=pan+x(p-q)qn.

与原递推式比较系数有x(p-q)=r,解出x，从而知{an+xqn}是公比为p的等比数列.

例4 设a1=1,an+1=3an+2n,求an.

解设递推式可化为an+1+x2n+1=3(an+x2n),即an+1=3an+x2n.

与原递推式比较系数，得x=1.故{an+2n}是公比为3，首项为a1+2=3的等比数列，所以

an+2n=3×3n-1,得an=3n-2n.

点评从上述两例可以看出，当f(n)是关于n的一次式(即等差数列)，那么设出的待定式也是一次式(如xn+y);当f(n)是关于n的指数式(即等比数列)，那么设出的待定式也是指数式(如xqn).简言之，设出与f(n)同型的待定式.

三、an+2=pan+1+qan(常数pq≠0)型

这是二阶递推数列，用待定系数法，设递推式可化成等比数列的形式：

an+2+yan+1=x(an+1+yan),即an+2=(x-y)an+1+xyan.

例5 (见课标教科书数学必修5 P696题)设a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3)，求an.

解设递推式可化成等比数列形式

an+yan-1=x(an-1+yan-2),即an=(x-y)an-1+xyan-2.

由an+an-1=3(an-1+an-2)(n≥3)，可知数列{an+1+an}是公比为3，首项是a2+a1=7的等比数列，故an+1+an=7×3n-1①.

又由an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3)，知数列{an+1-3an}是公比为-1，首项为a2-3a1=-13的等比数列，故an+1-3an=-13×(-1)n-1②.

例6 (见2009年全国卷Ⅱ第19题)设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2，求数列{an}的通项公式.

解由a1+a2=S2=4a1+2,得a2=5.

由an+2=Sn+2-Sn+1,可得an+2=4an+1-4an.

设上式可化为an+2+xan+1=y(an+1+xan)，即an+2=(y-x)an+1+xyan.

所以有an+2-2an+1=2(an+1-2an)，知{an+1-2an}是公比为2的等比数列，它的首项是a2-2a1=3,所以an+1-2an=3×2n-1.

点评本例由待定系数的方程组只得一组解，虽然只能得到一个含有an+1与an的关系式，无法解得an，但这个关系式可转化成等差数列的问题，可方便地求出an.