龙虾螯部非光滑结构单元的分形特征

冯艳艳，唐亚鸣，施昕辉，吴晓东

(河海大学机电工程学院，江苏 常州 213022)

绞吸式挖泥船在疏浚河道过程中，尤其是在挖掘黏性土壤时，常因土壤的大量粘附而停止工作来对疏浚绞刀进行清理，降低了生产效率。土壤粘附增大了粘附阻力和疏浚刀切削时的摩擦力，增加了能源消耗，严重时甚至使疏浚绞刀完全失去了疏浚作业能力，造成人力、物力以及财力的巨大损失。河海大学疏浚中心曾以蜣螂、贝壳等生活在潮湿土壤中具有减粘脱土功能的土壤动物的非光滑表面结构为对象进行仿生研究，在二维切削理论的基础上建立了凹坑形、凸包形表面绞刀齿的土壤切削模型[1]，运用遗传算法对绞刀齿表面仿生非光滑结构单元的参数进行了优化[2-3]，并借助Fluent、LS-DYNA等软件进行数值模拟[4]，从力学模型、数值模拟、土壤切削实验等方面证实了土壤动物体表非光滑结构单元的减粘减阻效果，为疏浚绞刀的工程仿生提供了理论基础。然而，这些都是在假设非光滑结构单元尺寸相同、均匀分布的条件下进行的定性研究，未能科学地利用生物减粘脱附的进化成果。

土壤粘附系统由土壤、非土壤固体表面和二者接触界面组成[5]。任露泉等学者研究发现，土壤值、土壤微结构、土壤表面、土壤颗粒尺寸分布、土固接触表面和土块轮廓与裂纹都具有分形特征[6-9]，土壤的分形特征与土壤粘附之间存在着一定的规律，因而生活在土壤里的动物的体表也一定存在某种分形特征。

对于疏浚绞刀仿生对象的选择，遵循仿生对象与疏浚绞刀具有结构、功能、形态、所处环境等一个或几个方面相似的原则。本文的研究对象为龙虾螯部，其表面分布有微型凹坑、乳突状凸起和棘刺，具有较好的减粘脱附作用，有利于其打洞[10]。本文在对土壤、动物减粘脱附定性研究的基础上，应用分形理论测定龙虾螯部体表上非光滑结构单元的分布情况，以定量方式准确描述其分布规律。

1 龙虾螯部体表生物信息的获取

1.1 样品制备

本文所用的小龙虾来自江苏省盱眙县龙虾养殖基地，为洞里冬眠过的成年虾，其体表生物特征明显，有助于信息的提取。取其螯部，去除无关关节，用清水洗净体表污渍，常温下自然晾干，均匀喷涂DPT-5使其体表变为白色备用。

1.2 基于逆向工程的龙虾螯部曲面重建

本文测量设备选用三维激光扫描仪。将龙虾螯部平整地放在扫描区域，设置适当的扫描参数，选择合适的扫描角度对制备好的样品进行扫描(保证一次扫描的完整性)，获取龙虾螯部体表几何特征的点云数据并储存为.asc格式文件。利用逆向工程软件imageware打开获取的点云数据，如图1所示。对原始点云数据进行点群分割(抽取右钳)、精简、去噪等处理，对处理过的点云(图2)沿UV方向构建曲线(图3)，通过桥接UV曲线网格的方式进行螯部右钳曲面重建(图4)。

图1 原始点云 图2 处理完的最终点云

图3 UV方向曲线构建 图4 曲面重建

1.3 螯部体表非光滑结构单元的获取

将重建的龙虾螯部右钳曲面储存为.x_b格式的文件，然后用三维建模软件SolidWorks打开，在XY平面上插入生物原型——龙虾螯部的草图，将草图进行缩放，使之与重建曲面模型重合。由于龙虾螯部体表上非光滑结构单元的尺寸量级为毫米级且曲面曲率较大，因此可以采用在草图图片上描点的方式获取非光滑结构单元的X,Y坐标值，如图5所示。通过观察大量的龙虾螯部发现，其体表上非光滑结构为乳突状凸包和少量棘刺，在XY平面上的投影近似圆形，以各坐标点(乳突状凸包和棘刺)为圆心作能包络凸包的圆来获取非光滑结构单元投影直径，共获取了66个坐标点的X，Y坐标值和相对应的投影直径。

图5 螯部体表上非光滑结构单元描点

2 龙虾螯部体表非光滑结构单元的定量分析

2.1 分形理论

自然界中存在的所有图形大致可以分成两类，一类为具有特征长度的图形，另一类为不具有特征长度的图形，它们大多具有某种分形特征。Mandelbrot[11]在分形几何学中将分形定义为图形的部分和整体按照某种形式相类似的集合。分数维数是描述分形结构的重要参数，可以作为研究复杂、符合分形特征的现象及事物的定量分析工具。

分形研究的关键步骤之一是计算研究对象的分数维数，对于不同的研究对象，求取分数维数的方法也不同。常用的分数维数测量方法有5种，分别为根据光谱求维数、根据分布函数求维数、根据测度关系求维数、根据相关函数求维数和改变粗视化程度求维数。

2.2 投影直径分布特征

表1 投影直径 mm

图6 投影直径的分布特征

2.3 非光滑结构单元分布定量关系

龙虾螯部挖掘土壤的分形现象与Shibusawa[12]采用反旋旋耕机旋耕重黏土的分形现象相似。文献[12]研究证实：切割下来的土块轮廓呈锯齿状，土块形状在轮廓、裂纹和裂纹面积分布上具有分形特征。用面密度方法来测量土块裂纹面积分布的分形特征，即在土块的数字图像上作边长为L的系列同心正方形，测得正方形内裂纹的面积为N(L),裂纹面积的面密度为N(L)/L2，其与L存在着幂函数关系。

N(L)/L2∝LK-2

(1)

亦即

N(L)∝LKD=|K-2|

(2)

式中：D为分数维数；K为引入的相关常数。

(3)

(4)

则

(5)

如果龙虾螯部体表上非光滑结构单元的面密度的数学期望能够满足

N(R)∝RK

(6)

而D与K的关系为D=|K-2|,则其分布具有分形特征。

分形的三要素为形状、维数和随机性。测量龙虾螯部体表上非光滑结构单元分布的分数维数时，不考虑结构单元的形状和尺寸，把结构单元视为在其中心的点集，根据获取的66个坐标点的数据在AutoCAD中绘制结构单元分布点集，如图7所示。采用根据测度关系求维数的方法求取分数维数，为了解决选取什么地方作为回转中心可更好地表达式(6)所述的关系的问题，在选取几个回转中心测定分数维数后取其平均值。根据点集分布情况选取4个回转中心，它们均位于点集中心线上，以各回转中心为圆心，分别以2，3，4，5，7，8，9 mm为半径作圆，计每个圆中落入点的数目为N1，N2，N3，N4，N5，N6，N7。对式(6)两边取对数，作lnR与lnN的关系曲线，如图8所示。

图7 龙虾螯部体表非光滑结构单元分布点

图8 lnR-lnN关系

由图8可知，lnR与lnN具有良好的线性关系，即N与R满足公式(6)，说明龙虾螯部体表上非光滑结构单元的分布是分形的，用最小二乘法拟合的斜率k分别为2.063 13，2.076 33，2.008 41，1.950 30，斜率均值为2.025 00，则分数维数为0.025。已知点、线、面、空间分别为0维、1维、2维、3维，故求得的非光滑结构单元分布点集的分数维数符合要求。当分数维数为0时，说明分布是均匀的，而龙虾螯部体表上非光滑结构单元分布的分数维数不为0，说明其分布是不均匀的。分形特征的表征包括维数、结构、表面、分布等，根据龙虾螯部表面结构分布特点和研究需要，把问题处理为点集合分布可以满足需求。

为了验证龙虾螯部体表上非光滑结构单元分布的分形特征具有普遍性，另外随机选取同一养殖基地的3只龙虾，用相同的方法进行分数维数测定，结果见表2。由表2可知，测定结果同样具有良好的线性关系，它们的分数维数分别为0.021，0.028，0.032，这说明龙虾螯部体表上非光滑结构单元的分布具有普遍的分形特征且分数维数差别不大。

表2 lnR-lnN直线的斜率

3 结束语

基于逆向工程的三维坐标测量和重建模是定量研究生物体结构和表面特征的有效方法，对龙虾螯部的生物信息采集和模型重建是疏浚绞刀仿生学研究的关键步骤之一。基于分形的龙虾螯部体表上非光滑结构单元的数理分析为定量研究疏浚绞刀减粘减阻的仿生设计打下基础，科学地利用生物进化的成果，一定程度上可以避免基于假设带来的仿生模型误差。