基于AKC的行星抛光装置构型综合方法

刘海涛，翟安琪，许 可

（天津大学机构理论与装备设计教育部重点实验室，天津300072）

抛光装置对抛光加工过程的运动平稳性有重大 影响，而抛光装置的运动性能由其构型决定。因此，得到一种合理的抛光装置构型对提高抛光精度具有重要意义。获得机构同源构型（即构型综合）的方法包括图论法、杆组邻接矩阵构型法、位移子群法、约束螺旋综合法及基于方位特征集的方法等［1］。

孙亮波等［2］提出基于可动型IV级杆组的构型综合方法，采用图论法进行构型综合分析，得到了13种IV级杆组的实用构型；张林等［3］基于图论相关理论对一种新型装载机工作装置进行构型设计，利用胚图插点法对九杆以内只含单铰转动副的平面闭环二自由度机构进行构型综合，得到了51种拓扑图；吴凡等［4］通过Assur 杆组法及图论理论对平面三自由度全转动副机构进行构件分类和组合，得到一种3条支链对称的混联机构；李树军等［5］以平面六杆机构为研究对象，提出一种基于杆组邻接矩阵的平面机构综合方法，得到了364种包含R副和P副的平面机构构型；王强等［6-7］以平面单自由度八杆复铰机构为研究对象，以Assur杆组代替构件作为邻接矩阵的基本元素，构建杆组邻接矩阵，得到了681种八杆复铰机构构型；Hwang等［8］提出了一种基于杆组邻接矩阵的简单关节平面运动链的计算机辅助构型综合方法，该方法可实现同构链的自动识别。范彩霞等［9］基于李群理论提出了一类2T2R 型四自由度并联机构的构型综合方法，利用该方法可将平面并联机构演变为空间并联机构2RRU-2SPS；Lee等［10］以三自由度平动并联机器手（translational parallel manipulator，TPM）为研究对象，提出基于群论的位移子群综合法，并系统地综合了包含双平面运动链的三自由度TPM 新实例；杨彦东等［11］以馈能减振器为研究对象，根据约束螺旋理论提出了一种结构对称的单自由度螺旋运动并联机构的构型综合方法；张彦斌等［12］以PPR-PRRRR-RUPU机构为研究对象，基于互易螺旋理论提出了完全各向同性三自由度平面并联机构的构型综合方法，为并联机构新构型的设计提供了理论基础；陈子豪等［13］基于螺旋理论设计了一种包含恰约束运动链的新型2-CPR/RRR 平面移动并联机构，该机构具有完全各向同性的运动学特性；沈惠平等［14］分别以二移动一转动并联机构和三转动并联机构为例，利用基于方位特征集的方法研究了以基本运动链（basic kinematic chain，BKC）为基本单元的并联机构的组成原理及其拓扑结构的设计方法；邓嘉鸣等［15］以四支路低耦合度六自由度并联机构为研究对象，应用基于方位特征集的机构拓扑方法，得到了10余种低耦合度六自由度并联机构的拓扑结构。

鉴于杆组邻接矩阵构型法便于计算机处理，但其直观性较差且易产生同构构型，而李群理论、螺旋理论及基于方位特征集的方法多用于空间多自由度机构的构型综合，本文针对平面单自由度抛光装置提出了一种基于AKC的构型综合方法。首先选择合适的AKC，并拆除其中部分构件，得到若干个多自由度运动链，即本源构型；然后通过添加杆-副单元拓扑得到同源构型，对于多自由度的同源构型，通过添加双滑块结构、滑块平行四边形结构和双平行四边形结构来约束多余自由度；最后综合出符合自由度要求的构型，并根据构型综合要求优选出最佳构型，用于设计行星抛光装置。

1 基于AKC的构型综合方法

由平面机构组成原理可知：平面机构是由1个或若干个自由度为零的运动链依次连接主动件和机架而成。该自由度为零的运动链即为杆组或Assur 杆组［16］，因此，本文提出的构型综合方法以AKC为基本单元。基于AKC 的构型综合是先通过拆除AKC 中的部分机架或多副杆来得到多自由度运动链，然后通过添加若干杆-副单元得到单自由度或多自由度同源构型。满足单自由度要求的构型可直接作为可行构型；而不满足自由度要求的构型则需通过添加某种结构来限制多余自由度以满足单自由度要求。基于AKC的平面机构构型综合步骤如下：

步骤1：定型。根据Assur 杆组类型以及构型综合条件，确定一种AKC。

步骤2：拆分。按照一定拆分顺序，拆除机架或多副杆，得到多自由度运动链，即本源构型。

步骤3：拓扑。在运动链自由端添加杆-副单元，拓扑得到同源构型。

步骤4：分析。分析同源构型自由度，单自由度构型可直接作为构型综合结果。

步骤5：约束。对于多自由度构型，添加约束自由度的结构（如双滑块、滑块平行四边形和双平行四边形），以满足单自由度要求。

步骤6：选型。根据装置具体的布置条件，优选机构构型。

基于AKC 的平面机构构型综合流程如图1 所示。该方法步骤清晰，综合形式简单、直观。下文分别以II级和III级杆组为基本单元，具体说明平面单自由度机构构型综合过程。

2 平面单自由度机构构型综合

本文的研究对象是行星抛光装置，为了避免机构过于复杂，选择AKC 到III级且满足单自由度要求。现将Assur杆组的关节用空心圆“○”表示，杆件用线“—”表示，拆除的关节用实心圆“●”表示；在构型名称中，转动副用R表示，移动副用P表示，三角形构件用“△”表示，并联用“||”表示，串联用关节数量和关节类型表示，如“-3R”表示串联3个转动副。

图1 基于AKC的平面机构构型综合流程Fig. 1 Flow of configuration synthesis of planar mechanism based on AKC

2.1 II级杆组

步骤1：定型。

II级Assur杆组由2个活动构件和3个低副构成，包括R-R-R、R-R-P、R-P-R、P-R-P 和R-P-P 共5 种形式，如图2所示。由于驱动副类型以及抛光加工要求的圆周运动限制，仅以R-R-R杆组为基本单元，进行平面单自由度机构的构型综合。

图2 II级Assur杆组类型Fig. 2 Type of II-level Assur rod group

步骤2：拆分。

R-R-R 杆组对应的AKC 如图3（a）所示，其自由度为0。按照不同的构件拆除数量，对AKC 进行拆分：

1）拆除1个构件：将O2点处机架拆除后得到“RR-”结构，如图3（b）所示；

2）拆除2 个构件：同时将O1和O2点处机架拆除后得到“-R-”结构，如图3（c）所示。

图3 II级AKC拆分Fig. 3 Disassembling of II-level AKC

此时，II级AKC 无其他可拆分情况，最终得到“R-R-”和“-R-”这2个本源构型，用于结构拓扑。

步骤3：拓扑。

1）在“R-R-”结构的O2点处添加杆-副单元“RR”，得到R-R-R-R构型，如图4（a）所示；

2）分别在“-R-”结构的O1、O2点处添加杆-副单元“R-R”，得到R-R-R-R-R构型，如图4（b）所示。

图4 II级AKC拓扑Fig. 4 Topology of II-level AKC

步骤4：分析。

R-R-R-R 构型的自由度为1，符合单自由度要求。R-R-R-R-R 构型的自由度为2，需附加1 种降低自由度的结构，使构型自由度满足要求。

步骤5：约束。

1）添加双滑块结构。如图5（a）所示，“PP”结构为一种双滑块结构，两滑块垂直固连，其中一个滑块通过导轨与连杆AB联接，另一个滑块通过导轨与机架联接。双滑块结构可以约束多自由度构型的1个自由度，使构型满足单自由度要求。

2）添加滑块平行四边形结构。如图5（b）所示，“P◇”结构为一种滑块平行四边形结构，滑块与平行四边形结构固连，其中滑块通过导轨与连杆AB联接，平行四边形结构与机架联接。滑块平行四边形结构可以约束多自由度构型的1个自由度，使构型满足单自由度要求。

3）添加双平行四边形结构。如图5（c）所示，“◇◇”结构为一种双平行四边形结构，双平行四边形结构一端与连杆AB联接，另一端与机架联接。双平行四边形结构可以约束多自由度构型的1个自由度，使构型满足单自由度要求。

步骤6：选型。

根据行星抛光装置对构型的具体要求进行选型。鉴于下文还将对III级杆组进行构型综合设计，故此处暂不进行选型步骤，在所有构型综合完成后，再进行选型。

此外，可通过增加Assur 杆组，对综合的构型进一步拓展［17］，类似约束机构自由度的方法不再赘述。表1为II级AKC满足要求的构型综合结果。

图5 采用不同结构约束自由度后得到的II级AKC最终构型Fig. 5 Final configuration of II-level AKC obtained by restraining degree of freedom using different structures

表1 II级AKC构型综合结果Table 1 Configuration synthesis results of II-level AKC

2.2 III级杆组

步骤1：定型。

III级Assur 杆组由4 个活动构件和6 个低副构成，共19种形式［18］。鉴于行星抛光装置对构型要求的特殊性，仅以△-2R||2R||2R 杆组为基本单元，进行单自由度平面机构构型综合。

步骤2：拆分。

△-2R||2R||2R 杆组对应的AKC 如图6（a）所示，其拆分过程如下：

1）拆除1个构件：①拆分三角形机构，将三角形机构的边BC 拆除后得到“R-R||2R||2R”结构，如图6（b）所示；②拆分外围机架，将O3点处机架拆除后得到“△-2R||2R||R-”结构，如图6（c）所示。

2）拆除2 个构件：①拆分三角形机构和外围机架，将三角形机构的边BC和O1点或O3点处机架拆除后得到“R-2R||2R||-”或“R-2R||R||R-”结构，如图6（d）、6（e）所示；②仅拆分外围机架，将O2、O3点处机架拆除后得到“△-2R||R-||R-”结构，如图6（f）所示。

3）拆除3 个构件：①拆分三角形机构和外围机架，将三角形机构的边BC及O1、O2点或O2、O3点处机架拆除后得到“R-2R||R-||-”或“R-R||R-||R-”结构，如图6（g）、6（h）所示；②仅拆分外围机架，将O1、O2和O3点处机架拆除后得到“△-R-||R-||R-”结构，如图6（i）所示。

4）拆除4个构件：拆分三角形机构和所有外围机架。但在图6（g）和6（h）所示结构基础上，若继续将O1点或O3点处机架拆除后构型的自由度过大，不予考虑，拆分停止。

步骤3：拓扑。

1）“R-R||2R||2R”结构无自由端，不需添加杆-副单元；

2）“△-2R||2R||R-”结构O3点处添加杆-副单元“R-R”，得到△-2R||2R||3R构型，如图7（a）所示；

3）“R-2R||2R||-”结构O1点处添加杆-副单元“RR”，得到R-2R||2R||2R构型，如图7（b）所示；

4）“R-2R||R||R-”结构O3点处添加杆-副单元“RR”，得到R-R||2R||3R构型，如图7（c）所示；

5）“△-2R||R-||R-”结构O2、O3点处同时添加杆-副单元“R-R”，得到△-2R||3R||3R 构型，如图7（d）所示；

6）“R-2R||R-||-”结构O1、O2点处同时添加杆-副单元“R-R”，得到R-2R||3R||2R构型，如图7（e）所示；

7）“R-R||R-||R-”结构O2、O3点处同时添加杆-副单元“R-R”，得到R-R||3R||3R构型，如图7（f）所示；

8）“△-R-||R-||R-”结构O1、O2、O3点处同时添加杆-副单元“R-R”，得到△-3R||3R||3R构型，如图7（g）所示。

图6 III级AKC拆分Fig. 6 Disassembling of III-level AKC

图7 III级AKC拓扑Fig. 7 Topology of III-level AKC

步骤4：分析。

R-R||2R||2R 构型的自由度为1，符合单自由度要求。△-2R||2R||3R、R-2R||2R||2R、R-R||2R||3R、△-2R||2R||4R 和△-2R||3R||3R 构型的自由度为2，需要附加1 个约束自由度的结构，使构型自由度降至1。R-2R||3R||2R、R-R||3R||3R 和△-3R||3R||3R 构型的自由度为3，需要附加2个约束自由度的结构，使构型自由度降至1。

步骤5：约束。

对图7所示的所有多自由度构型分别添加“PP”、“P◇”和“◇◇”结构，约束多余自由度，使构型自由度满足要求。由于篇幅限制，仅将通过添加“PP”结构约束二自由度构型多余自由度的结果列出，如图8所示。III级AKC构型综合结果见表2。

图8 采用双滑块结构约束自由度后得到的部分III级AKC最终构型Fig. 8 Partial final configuration of III-level AKC obtained by restraining degree of freedom using double sliding block structure

表2 III级AKC构型综合结果Table 2 Configuration synthesis results of III-level AKC

至此，完成平面单自由度机构构型综合。另外，可以将步骤3 中拓扑得到的构型作为新的AKC 单元，采用上述方法进行进一步综合，综合流程如图1所示，此处不再赘述。

步骤6：选型。

行星抛光装置对构型具体要求如下：

1）单自由度。为减少电机数量以及减轻装置质量，要求机构构型具有单自由度，从而使抛光装置轻便且结构简单。

2）公转圆周运动及可调性。抛光盘及其连接的输出轴需要实现完整的圆周运动，从而保证加工精度高以及抛光加工连续。同时，抛光盘的公转圆周运动半径需具有可调性以适应不同批次工件的抛光加工，从而增强抛光装置的通用性。

3）自转运动。抛光盘满足公转圆周运动的同时需要实现自转运动，以满足行星抛光装置的基本抛光功能及加工质量要求。

综合考虑上文得到的所有构型，可选择R-R-PPR-R-R、R-R-P◇-R-R-R和R-R-◇◇-R-R-R构型来设计行星抛光装置。

3 行星抛光装置可行性验证

以R-R-PP-R-R-R构型为例，分析其行星抛光运动特性。如图9 所示，点O1、A 分别为该构型的输入点和输出点。该构型的自由度f = 5× 3- 7× 2= 1，满足单自由度要求。支链O2CA为被动链，且自由度为0，不影响输出点A的运动轨迹，则点A与输入构件末端B点的轨迹相同，即输出点A作公转运动。通过改变输入构件的长度即可改变公转半径，从而满足公转半径可调的要求。在O2点处安装自转电机，通过二级带传动将电机的旋转运动传递至输出点A，从而实现点A 的自转运动。综上，R-R-PP-R-R-R 构型可以作为用于设计行星抛光装置的可行构型。

图9 R-R-PP-R-R-R构型运动特性分析Fig. 9 Motion characteristic analysis of R-R-PP-R-R-R configuration

利用R-R-PP-R-R-R构型设计的行星抛光装置，如图10所示。该抛光装置由公转传动和自转传动两部分组成。公转传动部分包括公转电机、偏心调节单元、一体式滚动导轨和滚动导轨支撑板。将点O1作为公转旋转中心，安装公转电机。杆O1B作为可调偏心距曲柄，点O2连接自转电机，通过杆CO2和杆AC将自转运动传递至抛光轴的点A处。滚动导轨支撑板被一体式滚动导轨约束，减少了1个自由度，故滚动导轨支撑板仅平动。同时，通过改变偏心调节单元的曲柄长度，可实现抛光轴进行不同回转半径的公转运动，以满足不同抛光工艺要求。自转传动部分包括自转电机和二级带传动，其核心作用是将作自转运动的驱动电机安装到机架上，以减轻机构运动部件质量。在自转传动支链中，自转电机通过二级带传动将自转运动传递至抛光轴，配合公转运动实现抛光轴的自转运动。

4 结 论

考虑现有综合平面机构构型直观性不高的缺点，提出了一种基于AKC的平面机构构型综合方法，得到以下结论：

1）根据平面机构组成原理，分别选择II级、III级杆组对应的AKC为基本单元，并按不同的构件拆除数量进行拆分，得到10种本源构型。

2）采用添加杆-副单元的方法对本源构型进行结构拓扑，得到若干同源构型；对于自由度不符合要求的构型，可通过添加双滑块结构、滑块平行四边形结构和双平行四边形结构来约束多余自由度，最终综合得到47种满足单自由度要求的平面机构构型。

3）考虑到避免机构发生干涉、构型简洁及偏心距可调等设计要求，最终确定了3种最佳构型，即RR-PP-R-R-R、R-R-P◇-R-R-R 和R-R-◇◇-R-R-R 构型，并采用R-R-PP-R-R-R构型设计了行星抛光装置，同时利用运动特性分析验证了该装置的可行性。

图10 行星抛光装置三维模型Fig. 10 3D model of planetary polishing device