基于超声行波方法的液滴运动驱动理论分析与试验研究

胡习之，徐聪聪，蒋智慧

（华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640）

压电驱动是压电材料的重要应用，压电振子作为一种重要的能量转换的元器件，具有结构简单、结构形状灵活多变等优点，被广泛应用到工业中的微型控制系统。例如：基于超声行波驱动的汽车前风挡玻璃除雨系统。研究基于超声行波驱动的压电振子的模态对基于超声行波驱动的汽车前风挡除雨系统的设计具有重要意义。

仉家政[1]利用ANSYS 软件分析压电式自动除雨系统的驱动部分，分析了除雨器的理想工作频率范围，对压电振子进行了振动模态分析，并初步探讨其特性，为除雨系统的结构设计提供了理论依据。刘建芳等[2]制作了一种利用压电振子作为驱动源的汽车后视镜除雨器样机，对其关键部件压电振子进行了仿真分析，结果表明：镜面振幅在谐振频率处除雨效果最优。焦晓阳等[3]提出了一种利用压电晶片振子作为驱动源的汽车后视镜除雨装置，建立了有限元模型，对压电振子进行了模态分析，试验分析了压电晶片振子的静态特性和动态特性，得到了压电振子的谐振频率，并对除雨装置进行了试验分析。唐春秀[4]利用ANSYS 软件建立压电振子的分析模型，对其进行模态分析及谐响应分析，确定一阶振型为纯弯曲振型，并且当激励频率为压电振子的谐振频率时，压电振子响应位移最大，最具驱动能力。此外，文献[5]～[10]建立了相应的压电振子有限元模型，研究了压电振子模态与尺寸参数的关系以及变化规律。

虽然关于压电振子的模态分析已经有了较多的研究，但针对基于超声行波驱动的平板模型液滴运动研究很少。为了分析超声行波驱动液滴运动的可行性，利用压电陶瓷的逆压电效应作为驱动液滴运动的驱动源，提出弹性体平板的液滴驱动模型。建立了压电振子和弹性体平板的有限元模型，使用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件进行了压电陶瓷模态分析和频率分析，探究了弹性体平板模态，确定了压电陶瓷的激励频率。通过试验证明了以超声行波作为驱动来清除汽车前风挡雨滴具有一定的可行性。

1 弹性体平板的液滴驱动模型

在超声行波微流体驱动中，体波在弹性体中传播，利用弹性体的模态进行运动，而超声波则产生声流力和声辐射作用力，当作用力足够驱动液滴时，液滴将发生移动。在实际应用中，通常因为弹性体平板材料的阻尼作用，会产生能量耗散，同时平板表面的液滴吸收行波的驱动作用，使超声行波的能量逐渐衰减。由波的叠加原理可知，平板表面将形成衰减的行波。图1 为弹性体平板模型产生超声行波的机理，其中a为陶瓷压片间的间距。弹性体平板超声行波驱动模型利用平板表面贴附的压电陶瓷产生逆压电效应激起衰减行波，从而驱动弹性体平板表面液滴沿行波方向移动。

图1 弹性体平板模型产生超声行波机理

两驻波方程分别为：

式中：A为驻波振幅；ω为振动角频率；k为波数；φ为振动相位差。

分别将式（1）和式（2）展开，可得：

通常两激励电压的相位差为90°，即有：

则式（4）化简为：

对比式（3），令

由于k= 2，则有：

即

因此，式（2）最终化简为：

则两驻波合成后能够产生单向行波。

当用多点激励产生行波时，只要两两之间满足在空间上和相位上相差90°即可。

依据以上超声行波理论，建立弹性体平板的液滴驱动模型，如图2 所示。该模型结构较为简单，在玻璃左端表面依次贴上4 片压电陶瓷，极化方向均为z方向，压电陶瓷与玻璃的接触面统一为接地，另一面分别通以正弦交流电为Usin（ωt）、Ucos(ωt)、-Usin(ωt)以 及-Ucos(ωt)，其 中U为驱动电压幅值，利用压电陶瓷的逆压电效应，形成时间上和空间上分别相差90°的驻波，在玻璃中形成超声行波，从而驱动液滴移动。

图2 弹性体平板液滴驱动模型

2 压电振子的二维数值计算模型

从驱动液滴的工作原理可知，压电振子作为驱动源，其振动模态对液滴的驱动效果起着至关重要的作用，因此，对压电振子进行有限元模态分析。

2.1 计算模型参数

所研究的复合压电超声换能器是一个长方体的几何结构，由一个压电陶瓷（PZT-4）、一个银层、一个铜层和两个粘结层构成，这些层的结构顺序为：银层-粘结层-压电陶瓷-粘结层-铜层，其中银层厚度为1 μm，铜层为厚度0.1 mm 的铜片，从而在压电晶体两端施加电极。

考虑到压电陶瓷层对振动模态具有主要作用，建模时对模型进行简化，忽略其它层的影响，采用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件对PZT-4晶片进行数值仿真。图3 为简化后的PZT-4 晶片二维仿真模型，根据超声行波理论选取压电振子的结构参数为L= 5π/4 mm，h= 1 mm。

图3 二维模型计算域示意图

2.2 材料参数

压电陶瓷PZT-4 的密度为7 500 kg/m3，压电陶瓷PZT-4 的压电矩阵为[12-15]：

相对介电常数矩阵为：

弹性矩阵为：

2.3 边界条件

多物理场耦合了结构力学模块和静电模块。通常在3D 笛卡尔坐标系中，压电陶瓷的材料参数为沿z方向极化，选择材料的方向为xz平面，材料的x方向与默认坐标系的x方向重合。在研究中，将x-y坐标系设置为默认坐标系。

（1）初始条件

初始位移场为：

初始结构速度场为：

（2）静电边界条件

根据图2 设置压电振子电学边界条件，其中边界Ω1为接地，边界Ω2为电压终端，且电压为10 V，边界Ω3、Ω4绝缘。

2.4 网格划分

矩形几何模型适合四边形单元，对规则的矩形压电晶片建立映射网格，利用分布网格控制不同边的网格数量，分布属性选择固定单元数目，边界Ω1的固定单元数为100 个，边界Ω3的固定单元数为50 个，计算域的网格模型单元总数为5 000 个，边单元总数为300 个，顶点单元总数为4 个，图4 为PZT-4 压电片的网格划分。

图4 PZT-4 压电片的网格划分

3 仿真结果

3.1 自由边界条件下的振动模态

利用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件对压电陶瓷进行模态分析，得到二维矩形压电陶瓷弯曲振动的前6 阶模态以及x、y方向的位移云图。压电振子前6 阶模态如图5 所示，其中以红色代表正值，蓝色代表负值，颜色越深代表数值的绝对值越大，即相对振动位移越大。各阶振动模态的固有频率值见表1。

图5 压电振子前6 阶模态

表1 二维矩形压电陶瓷各阶振动模态的固有频率值

采用COMSOL 软件提供的直线进入方法提取压电振子边界Ω2的位移，图6 为前6 阶模态x轴方向相对位移，图7 为前6 阶模态y轴方向相对位移。根据压电振子的振动模态理论，结合图5 和图6 可知，第2 阶模态对应为压电振子的横向振动模态，在该模态下，x和y方向的相对位移较其它模态都大得多。

图6 前6 阶模态x 轴方向相对位移

图7 前6 阶模态y 轴方向相对位移

3.2 自由边界条件下的谐振频率

利用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件进行频率扫描的频域分析，初始频率为20 kHz，终止频率为1 000 kHz，扫描频率步长为2 kHz，在后处理结果中建立一维绘图组，使用全局绘图，可得到压电振子任意一点的导纳频率响应曲线，如图8所示。由图8 可知，在频率为4.388 8×105Hz 处，压电振子导纳图在谐振频率附近都出现了一个峰值点和谷值点，电压相位在峰值点和谷值点之间发生突变。这是由于将交流电压施加于压电振子上，压电振子产生机械变形，同时由于机械变形导致正压电效应产生了一定的电压，对所施加的交流电压进行反馈。当外加交流电压的频率与压电振子的机械谐振频率接近时，压电振子的机械振动幅度将变得更大，驱动电压与反馈电压同相相加，流过压电振子的电流最大，此时对应压电振子的导纳最大，即阻抗最小。

因此，前6 阶模态中，只有第2 阶模态为压电振子的横向振动模态，其它模态为一般结构力学模态。

图8 压电振子的输入导纳随频率变化的响应曲线

3.3 悬臂梁的固有模态和固有频率

施加在压电陶瓷上的激励信号频率不同，弹性体平板模型产生的振动模态也就不同，在不同模态下液滴的驱动效果是不同的，即存在一个最佳模态匹配的问题。在超声波频率以上的激励信号下找到最佳的共振模态，就需要对模型进行模态分析。采用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件的结构力学模块进行频率分析，探究弹性体平板模态。

弹性体平板驱动模型利用了共振原理，通过激励频率等于弹性体平板的固有频率，使弹性体平板在压电陶瓷小应变的作用下达到较大的振幅。当单独对一个压电陶瓷施加正弦激励时，产生驻波，引起弹性体平板上的各点在y方向上以正弦规律运动。因此，弹性体平板上各点的振动形式设为：

式中：x为弹性体平板上各点的横坐标；y为各点的纵坐标；f为施加于压电陶瓷的交流电频率；yn(x)为振型函数；n为振型的阶次；A为压电陶瓷的最大振幅；t为时间。

根据振动理论[16]，悬臂梁的频率方程为：

式中：sn为频率方程的解；l为弹性体平板的长度。

梁的固有频率为：

悬臂梁作横向弯曲自由振动时的模态函数为：

3.3.1 悬臂梁的低阶模态分析

弹性体平板的材料选择Glass（Quartz），弹性体平板的长度为150 mm，厚度为3 mm，密度为2 210 kg/m3，杨氏模量为7×1010Pa，泊松比为0.24，对于平板玻璃，左端为固定约束，右端为自由边界条件。为了简化建模，采用一端固定的悬臂梁代替玻璃平板。采用与第2 节一样的建模方法，利用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件进行二维建模，基于模态叠加分析法，求得悬臂梁的前3 阶模态，如图9 所示。

通过式（15）计算得到悬臂梁前三阶模态的固有频率理论值，与有限元方法计算得到的数值解进行对比，见表2。

图9 悬臂梁前3 阶模态

表2 悬臂梁前3 阶模态的理论值与数值解对比

由表2 可知，利用COMSOL Multiphysics 多物理场仿真软件计算得到的悬臂梁自由状态下前3 阶模态的固有频率与理论值相吻合，说明了所建立的悬臂梁有限元模型的合理性，因此，可以进行高阶模态分析。

3.3.2 悬臂梁的高阶模态分析

基于模态叠加分析法，在压电陶瓷第1 阶共振频率2.212 1×105Hz 附近搜索悬臂梁的1 阶模态，获得了悬臂梁在压电陶瓷第1 阶模态附近的模态和位移云图，如图10 所示。图11 为固有频率为2.218×105Hz 悬臂梁的振型图，可以看到x分量振型的幅值与y分量振型的幅值之比约为10。

基于模态叠加分析法，在压电陶瓷第2 阶共振频率4.388 8×105Hz 附近搜索悬臂梁的1 阶模态，获得了悬臂梁在压电陶瓷第2 阶模态附近的模态和位移云图，如图12 所示。图13 为固有频率为4.336 7×105Hz 悬臂梁的振型图，可以看到x分量振型的幅值与y分量振型的幅值之比约为0.8。

图11 固有频率为2.218×105 Hz 时悬臂梁的振型图

对比图11 和图13，悬臂梁在固有频率为2.218×105Hz 时，x分量的振幅与y分量的振幅相比要大得多，总位移的振幅波动较为平缓。而悬臂梁在固有频率为4.336 7×105Hz 时，x分量的振幅与y分量的振幅相比要小，并且总位移的振幅波动较大。根据BORCIA 等[17]的研究结果，承载液滴的固体基底同时受到水平方向和垂直方向的谐波振动，并且水平方向与垂直方向振幅的比值为5，通过这种激励方式，在惯性作用下沿着基底方向上液滴往返运动的对称性被打破，因此引起液滴产生净位移的受迫振动。

因此，选择压电陶瓷的第1 阶共振频率作为压电陶瓷的激励频率。

4 压电振子驱动液滴的试验研究

4.1 试验装置和测量方法

试验装置如图14 所示，该装置由微量进样器、贴有压电陶瓷的平板玻璃、高速摄像仪、计算机、大功率信号源、强光光源、升降台和试验平台组成。试验液体采用普通自来水；使用WL3866A-200 宽带大功率信号源，其频率范围为10 ～1 000 kHz，最大输出功率为200 W，最大电压240 V，满功率输出时频率在500 ～1 000 kHz 的非线性失真度为＜5%；使用Photron FASTCAM Mini UX100 高速摄像仪，分辨率设为1 280×1 024 Pixels，采集帧数设定为4 000 帧/s；使用300 W 的冷光源作为强光光源。如图15 所示，在玻璃左端表面依次贴上压电陶瓷，贴有压电陶瓷的一侧朝下。由于只需反映液滴的运动，所以采用刻度尺进行液滴位移的测量。

图14 试验装置

图15 贴有压电陶瓷的平板玻璃

4.2 试验结果与分析

常温下，以驱动电压和驱动频率为控制变量，利用压电陶瓷产生超声行波驱动液滴运动，同时研究液滴的运动状态。

图16 驱动电压为32 V、驱动频率为900 kHz 时不同时刻下液滴液气界面运动状态

试验表明，在亲水基底表面，当驱动电压为32 V 时，驱动频率低于800 kHz，液滴基本不动，液滴界面不晃动；驱动频率大于800 kHz 时，液滴晃动剧烈，液/气自由界面出现变形，但是液滴基本保持静止。采用高速摄像仪拍摄液滴运动状态，图16 为驱动电压为32 V、驱动频率为900 kHz 时不同时刻下液滴液气界面运动状态。可以看出，液滴晃动更加剧烈，液/气自由界面出现剧烈变形，但液滴整体仍然保持静止。

保持驱动频率为900 kHz 不变，继续增加电压，可以发现液滴晃动更加剧烈，液滴移动的趋势非常显著。图17 为驱动电压为100 V、驱动频率为900 kHz 时液滴在单位时间内的位移情况，从t1时刻到t2时刻，液滴从刻度为3.6 cm 的位置移动到了4.5 cm 位置，可知其位移为9 mm，由此看到液滴的移动速度约为9 mm/s。结果证明了弹性体平板液滴驱动模型的正确性，同时也表明，以超声行波作为驱动来清除汽车前风挡雨滴具有一定的可行性。

5 结论

（1）对压电陶瓷进行模态分析，在压电陶瓷弯曲振动的前6 阶模态中，只有第2 阶模态为压电振子的横向振动模态，其它模态为一般结构力学模态。在该模态下，x和y方向的相对位移较其它模态都大得多。

（2）在不同模态下液滴的驱动效果是不同的，即存在一个最佳模态匹配的问题。悬臂梁在固有频率为2.218×105Hz 时，x分量的振幅与y分量的振幅相比要大得多，总位移的振幅波动较为平缓。而悬臂梁在固有频率为4.336 7×105Hz 时，x分量的振幅与y分量的振幅相比要小，并且总位移的振幅波动较大。因此，选择压电陶瓷的第1 阶共振频率作为基于超声行波驱动的汽车前风挡除雨系统中压电陶瓷的激励频率。

（3）以驱动电压和驱动频率为变量，进行了利用压电陶瓷产生超声行波驱动液滴运动的试验，验证了弹性体平板液滴驱动模型的正确性，试验结果也表明以超声行波作为驱动来清除汽车前风挡雨滴具有一定的可行性。