注重解题过程分析 揭示数学探究途径——以一道不等式题的探究为例

重庆市潼南中学 (402660) 彭思锐

数学探究是高中数学课程标准中要求的内容之一，在中学数学教学中如何进行数学探究，是每一位数学教师都值得思考的问题，本文通过对一道不等式题的探究过程的揭示，对数学探究的途径作一探讨.

(数学通讯2018第7期问题征解364题)

不等式(1)结构对称，证明方法多样[1]，对不等式的探究除证明方法的多样外，还需关注与不等式(1)相关的一些问题.为此利用柯西不等式和基本不等式给出不等式(1)的一种简捷的证明，并通过对证明过程的分析，来探究与不等式(1)结构类似的不等式和(1)的推广.

1.不等式(1)的证明

记不等式(1)的左端为M，整理得

分析:从证明过程可以看出，利用柯西不等式变形整理后的(2)式的左端的分子，分母分别为不等式(1)的左端的分子分母相应的项的和构成，显然，只要(2)式右端的分子，分母的结构不变，其证明过程也完全相同，因此，如果将不等式(1)的分子或分母的项进行适当的重组，扩充，或变式，将会得到许多与(1)结构类似的不等式.

2.不等式(1)的类似不等式

2.1 交换分子或分母的顺序

若注意到(2)式右端的分子与分母分别是(1)式左端各分式的分子与分母的和，因此，只要(1)式左端分子，分母的和不变，其结论都是成立的，因此，将(1)式各分子或分母的顺序交换可得新的不等式.

2.2 若将(1)各分式的分母的项扩充.相应的不等式(2)的分母的和发生变化，但其证明思路不变，从而可得结构与(1)类似的不等式.

不等式2 已知正数ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，满足：a1a2…an=1，求证：

不等式3 已知正数ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，满足：a1a2…an=1，求证：

2.3 若将(1)式左端分母中的根式里面的项扩充，可得结构与(1)类似的不等式.

2.4 若将(1)式左端分母中的根式里面的项添加系数，可得结构与(1)类似的不等式.

2.5 若将(1)式左端分子叠加，可得结构与(1)类似的不等式.

不等式13 已知正数ai(i=1,2,…,n)，2≤n∈N+，满足：a1a2…an=1，λ,μ>0，求证：

显然，不等式(1)的左端的分子，分母的项的变式以及相应项的系数的搭配不止上述几种，因此还可以得到许多新的不等式.

3.不等式(1)的推广

与不等式(1)的证明类似，可以将不等式(1)左端分子的次数进行推广，有：

记不等式(3)的左端为N，整理得

特别地，当T=1时有：

同不等式(1)的讨论一样，对不等式(3)和(4)的进行变式，可得到许多结构与(3)和(4)类似的不等式，在此不再赘述，有兴趣的读者不妨一试.