1.4.1《正弦函数、余弦函数的图像》教案

豆措吉

一、教学目标

1.知识与技能

通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力.

2.过程与方法

通过本节学习，理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象.

3.情感、态度与价值观

通过本节的学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观.

二、重点难点

重点：正弦函数、余弦函数的图象.

难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系.

三、教材与学情分析

研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质.显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.

由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位.另外，教科书通过“旁白”，指出研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导.

由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法.当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学.

五、教学过程

1.创设情境

思路1.（复习导入）遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然地想知道y=sinx与y=cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的（列表描点法：列表、描点、连线）？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0，2π]时，y=sinx的图象.

思路2.（情境导入）请学生动手做一做章頭图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况.

有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象.

2.新知探究

问题①：作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长或用有向线段数值表示x角的三角函数值？

问题②：如何得到y=sinx，x∈R时的图象？

活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，对于学习较弱的学生，教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，就很容易得到y=sinx，x∈R时的图象了.

活动：如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了，根据已学的知识，教师引导学生观察诱导公式，思考探究两个函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.

3.应用示例

4.课外提升：用“五点法”画出下列函数的图像。

六、课堂小结

以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善.

1.怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0，2π]上的图象扩展到整个定义域的？

2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？

这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

七、课后作业

1.课时练与测

2.课本习题1.4  A组1.

3.预习下一节：正弦函数、余弦函数的性质.

八、教学反思

1.本节课操作性强，学生活动量较大.新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识.

2.本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象.

3.本小节设置的“探究”“思考”较多，还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时，应留给学生一定的时间思考、探究这些问题.