异形钢塔合龙精确配切量计算方法及应用

王石磊，柯在田，高 岩，李永生，杨 冰

（1. 中国铁道科学研究院集团有限公司，北京100081；2. 北京市公联公路联络线有限责任公司，北京100161；3. 北京市市政工程设计研究总院有限公司，北京100082）

随着我国城市桥梁建设规模的与日俱增，桥梁已被纳入城市建筑的构成元素。除满足基本的交通功能外，桥梁还被赋予更多的象征功能和文化内涵，美学需求更加突出，因此具有复杂空间造型美学感染力的异形钢塔斜拉桥受到广泛关注［1-3］。桥梁钢塔架设可分为整体竖转法和逐节段架设法［4-6］。整体竖转法多适用于单柱式或轴线位于同一平面的双柱式中小型钢塔，对于大型或空间造型突出的钢塔一般采用逐节段架设法。采用逐节段架设的双肢钢塔一般在塔顶设置合龙段，受变形行为难以精准模拟、施工误差等因素影响，合龙口成形时几何形态与目标状态存在一定偏差，加之两侧合龙口距各结构体系温度位移零点位置较远，合龙口形态受环境影响较大。合龙段一般为厂内预制构件，姿态调整有限，焊接工艺要求严格，使得合龙成为钢塔架设过程中质量控制的重点与难点。钢结构桥梁合龙控制主要有合龙段精准配切和辅助工程措施两种方法。合龙段精准配切是指合龙前在特定温度环境下测量合龙口姿态，考虑合龙时机的温度影响后对合龙段进行配切的方法［7-9］。由于合龙时温度难以精准预测，部分工程还考虑辅助工程措施，主要包括预留强制顶推的主动措施以适应合龙口姿态变换的不定性［10-12］和在双肢间设置临时横撑锁定合龙口姿态的被动措施［13］。上述辅助措施均为现场架设增加了工序，而且会在结构内产生附加内力，导致合龙后结构状态偏离设计目标。传统的钢结构合龙具有合龙口平行、合龙段为规则几何体的特点，合龙口的偏差主要通过合龙段沿长度方向进行一维配切予以调整，配切量易于计算。本研究中背景钢塔合龙口位于距地面120 m高空处，对配切精确性要求高，环境温度及温度场对合龙口空间姿态影响复杂，合龙段为空间扭曲造型和合龙口存在空间夹角的特点为合龙段精确配切量计算带来较大困难。因此，提出了考虑已成合龙口架设偏差的空间扭曲型合龙段精确配切量计算方法。

1 工程背景

1.1 桥梁概况

北京长安街西延跨永定河特大桥主桥采用五跨高低双塔斜拉刚构组合体系，全长639 m，主跨280 m，为世界已建最高拱形钢塔斜拉桥，桥梁中线与河道中线斜交角为57.40°，为适应河道水流方向，塔柱双肢非一致倾斜，形成“迈步”效果，桥梁造型如图1所示。

图1 永定河特大桥效果图Fig.1 General view of Yongding River Bridge

1.2 钢塔特点

该桥钢索塔为双肢非一致倾斜、空间不对称扭转的变截面全焊接钢箱拱，塔高124 m，南北塔肢倾斜角分别为71.8°和62.0°，塔根顺桥向距离为25.1 m。整塔质量约为9 850 t，双肢各划分15 个节段（N1―N15、S1―S15），含合龙段整塔共计31 个节段。各节段在厂内组拼焊接后现场采用辅助支架法吊装架设，钢塔自重主要由塔身强度承担，辅助支架主要为索塔定位几何姿态调整及焊接操作提供支撑平台。高塔节段划分及支架布局如图2所示。

1.3 合龙段特点

合龙段与前续南北肢第15节段连接，呈空间扭曲造型，曲率变化突出，空间姿态如图3 所示。图3中，浅色区段为合龙段。合龙段的质量约为100 t，左右（北肢和南肢）侧合龙口端面空间夹角为104.61°，与水平面空间夹角分别约为44.72°、42.56°。合龙段塔顶架设平面允许偏差为31 mm（H/4 000，H 为塔高），允许高差为20 mm。合龙段采用大型吊机进行吊装，柔性吊缆主动调整合龙段姿态的能力有限。

图2 钢塔多视图（单位：m）Fig.2 Different views of steel pylon(unit:m)

2 合龙段精确配切量计算方法

2.1 几何测量

图3 钢塔合龙段多视图Fig.3 Different views of closure segment of steel pylon

图4 几何形态测量点规划Fig.4 Arrangement of geometry feature points

对合龙口及合龙段几何形态测量是开展合龙段精确配切量计算的依据。背景钢塔几何测量特征点如图4所示。图4及下文中，下标“L”表示左侧，下标“R”表示右侧，下标“H”表示横隔板，下标“O”表示合龙段架设偏差考核位置，下标“i”表示左右侧棱线编号，下标“k”表示棱线加密测点编号，上标“f”表示处于固定状态的合龙口，上标“0”表示合龙段初定位位置。合龙口几何形态主要由表征合龙段架设偏差局部刚度较大的棱线角点组成，对于合龙段，需对与匹配的点进行测量。合龙段在制造过程中沿端口各棱线切线方向预留了配切余量。为获取合龙段实际几何状态，需沿端口局部棱线布设数个点。基于可对棱线空间拟合，获取端口局部棱线单位方向向量。另外，为确保合龙段自身满足架设偏差，需构建一个表征合龙段架设位置的考核指标，使得架设完毕后塔顶在架设偏差允许范围内。是人为虚拟的空间位置，需基于含制造偏差节段最优架设姿态计算。为此，需对表征节段制造偏差的特征点进行测量。由于已含配切余量，无法表征制造偏差，因此选取端口第一道横隔板与壁板相交位置进行测量，计算含制造偏差的。

2.2 计算模型及步骤

考虑制造偏差的异形合龙段精确配切量计算可视为在合龙段自身满足架设偏差的前提下寻找一种空间最优姿态使得合龙段与两端合龙口壁板错边量最小，该问题可归结为数学优化问题，目标函数为合龙口特征点至合龙段对应棱线的距离之和，约束条件为表征合龙段架设姿态的特征点处于架设误差允许范围之内。模型标准表达式［14］如下所示：

式中：f(x)为目标函数；gj(x)为约束函数；x为决策变量；t为约束函数个数。目标函数与合龙段姿态变换参数相关，计算式如下所示：

式中：ΔX、ΔY、ΔZ 为待求平移参数；ωX、ωY、ωZ为待求旋转参数；Di为合龙口特征点至合龙段对应棱线的距离。

2.2.1 合龙段局部棱线拟合

获取合龙段局部棱线方程是计算合龙口特征点至合龙段对应棱线距离Di的前提，考虑到配切余量一般为50～200 mm，忽略局部曲率变化，可认为各棱线为一空间直线。基于合龙段几何测量的有限空间点，采用最小二乘法正规方程进行拟合［15］，求得各棱线的空间直线方程及单位方向向量

2.2.2 合龙段初定位及姿态变换方程

合龙段几何形态在厂内临时坐标系中进行采集，在开始优化计算前，应对合龙段在桥梁控制坐标系内进行初定位，初定位计算方法为基于几何测量控制点按含制造偏差节段最优架设姿态计算方法进行求解［16］。

在获得合龙段最优架设姿态后，即可寻求建立目标函数的显示表达式。目标函数与合龙段姿态变换参数有关，合龙段姿态变换方程［17］如下所示：

式中：P(O)为最优架设姿态特征点坐标矩阵；P(T)为变换后特征点坐标矩阵；V(O)为最优架设姿态棱线单位方向向量；V(T)为变换后棱线单位方向向量；R为空间旋转矩阵；T 为坐标平移向量；n 为维度，n=3；m为特征点数。

在姿态变换前合龙段已完成初定位，受到合龙段姿态优化需满足自身架设偏差的约束，合龙段姿态优化的范围是有限的，即ωX、ωY、ωZ均为小角度。按照旋转矩阵R的构建方法对三角函数Taylor级数展开并忽略高次项［18］，简化后R 的表达式如下所示：

T与合龙段刚性平移有关，计算式如下所示：

2.2.3 目标及约束函数构建

每次姿态优化伴随合龙段特征点坐标更新，需要求解已成合龙口特征点至当前姿态合龙段对应棱线的距离Di。由向量叉乘物理意义可知，合龙口至i棱线的距离计算式如下所示：

式（7）中各参数取值如下所示：

基于式（2）及（7）即可构建目标函数。

钢塔合龙段姿态优化不等式约束gj(x)为限定合龙段空间刚性位移的上下限，约束函数如下所示：

式中：B表示各方向位移允许下限；U表示各方向位移允许上限，平面允许偏差为31 mm，允许高差为20 mm。

2.2.4 计算算法

背景问题约束函数为一次不等式约束，目标函数为复杂的非线性函数，决策变量数为6，因此难以采用数学解析方式获取目标函数的极值。对于含有约束条件的非线性目标函数最优化问题，罚函数法是一种广泛有效的间接求解方法，其核心思想是将约束非线性规划转化为一系列无约束问题，求解这一系列无约束问题即可得到约束非线性规划的解，按罚函数构成方式不同分为外点法和内点法两种［14］。对于本研究，由于在优化计算开始前合龙段已按最优架设姿态进行了初定位，决策变量位于可行域内，因此采用内点罚函数法。

2.2.5 配切量计算

其中，

2.2.6 计算步骤

合龙段配切量计算步骤如图5所示。

3 合龙口变形敏感性分析

3.1 理论分析

针对合龙口变形敏感性进行分析，分别研究环境及强制顶推两种因素对合龙口姿态的影响。环境因素主要考虑整体温度及温度场的作用，结合典型1 d钢塔温度场实测结果，计算结果如表1所示。表1 中，X 为东西方向，Y 为南北方向，Z 为高程。结果表明，强制顶推力作用下合龙口主要沿施顶力方向变形，其他方向不敏感。100 kN施顶力可产生18.5 mm 的相对变形。环境因素中南北肢间整体温差变形不敏感，温度场是主要影响因素。3 ℃南北方向温

图5 合龙段配切量计算步骤Fig.5 Flow chart of cutting length calculation of closure segment

3.2 实测结果

差合龙口南北相对变形为20.8 mm，东西相对变形为7.7 mm。南北相对变形影响两侧合龙口间距，东西相对变形影响顺桥向错位。考虑到强制顶推力的施加与解除会在结构内产生永久附加应力，因此充分利用合龙口变形受温度场作用较为敏感的特点，选择相对变形相对较小时采集合龙口姿态。以此状态作为合龙段配切的基准，选择相对变形较大时吊装，待环境温度达到合龙口姿态采集时刻时码固焊接。

3.2.1 监测方案

为选定时机采集合龙口姿态、指导合龙段吊装，在合龙前针对合龙口姿态及钢塔温度场进行连续同步监测。合龙口姿态基于Leica Ts60 全站仪和配套监测系统监测，单侧合龙口设置3个观测点。钢塔温度采用施工监控布设的振弦式应变计（含测温元件）及采集设备自动监测，监测断面为图6a 中G5、G11，每个监测断面设置10 个测点，布局如图6b 所示。监测时间为2019 年1 月4 日至1 月7 日，周期为72 h，采集时间间隔为30 min，同时收集桥址附近气象站记录的气温、风速等资料，如图7所示。

图6 钢塔监测断面及测点布局（单位：m）Fig.6 Monitoring sections and measured point arrangement of steel pylon（unit:m)

3.2.2 合龙口整体及相对变形

南肢合龙口变形历程如图8 所示。图8 中，DB表示东北角测点。监测表明，合龙口南北方向最大变形为43.5 mm，东西方向最大变形为23.9 mm，双向变形发展规律相似，每日14∶00―15∶00 达到峰值，06∶00达到谷值，20∶00至次日06∶00变化缓慢。

合龙口相对变形如图9所示。1月5日00∶00到1 月7 日00∶00 相对变形存在周期性变化规律，但南北方向相对变形峰值相对1 月4 日14∶00 存在近20 mm 偏移。合龙口变形及结构温度场监测结果表明，合龙口最大相对变形为31 mm。对比监测结果可知，1 月4 日存在降温现象，即合龙口姿态采集及合龙段吊装除应考虑正常周期性变化外，还需考虑环境温度整体变化对合龙口姿态不可恢复的影响。

表1 合龙口变形敏感性分析Tab.1 Sensitivity analysis of closure interface deformation

图7 桥址附近气象观测站逐小时气象观测记录Fig.7 Hourly records of meteorological observation station nearest the bridge

图8 南肢合龙口变形历程Fig.8 Deformation history of closure interface of south branch

3.2.3 环境对合龙口相对变形的影响

监测周期内大气温度、塔内平均温度、肢间南北场温差、分肢温差与合龙口相对变形的时序关系如图10所示。由图10可知，因受南肢遮挡、北肢无法充分得到南向日光照射的影响，肢间南北场温差是影响相对变形的主要敏感因素。每日20∶00至次日06∶00 肢间南北场温差基本为零，日出至14∶00―15∶00为肢间南北场温差上行区间，合龙口相对变形变小，14∶00―15∶00至20∶00为肢间南北场温差下行区间，合龙口相对变形变大。

图9 合龙口相对变形历程Fig.9 Relative deformation history between closure interfaces

图10 温度与合龙口南北方向相对变形历程Fig.10 History of temperature and relative deformation between closure interfaces in south direction

表2给出了合龙口南北方向相对变形与肢间南北场温差峰谷值的关系，上行区间单位温差影响值最大为3.3 mm，平均为3.0 mm，下行区间单位温差影响值最大为2.8 mm，平均为2.5 mm，小于上行区间单位温差影响值。

表2 肢间南北场温差与合龙口相对变形关系Tab.2 Relation of temperature field difference at south direction and relative deformation between closure interfaces

3.2.4 合龙时机选择及环境影响修正

监测表明，肢间南北场温差是合龙口相对变形变化的主要敏感因素，背景钢塔为围护钢箱结构，其温度场主要由太阳辐射吸收系数及照度、环境温度、表面传热系数等决定［19-21］。当天气状况相近时，如均为无（轻）风的晴天，环境温度与不同时段太阳辐射照度是温度场的主要关联因素。图11 给出不同监测日环境温度与肢间南北场温差的关系，规律如下所示：

（1）单日内环境温度与肢间南北场温差近似为一复合曲线，复合曲线由上行段及下行段两部分组成，上行段上升速率大于下行段下降速率。

图11 单日内肢间南北场温差与环境温度关系Fig.11 Relation of temperature field difference at south direction and atmosphere temperature during one day

（2）上行段近似抛物线，下行段近似直线，上下行线交会点为复合曲线前锋点。

（3）不同监测日上行线及下行线近似平行，前锋点随环境温度最大值近似呈线性分布。

结合天气状况研判，背景桥梁决定于1 月10 日吊装合龙，合龙口姿态采集时间为1 月8 日14∶00―15∶00，天气预报1 月10 日较1 月8 日最高温度上升约3 ℃，因此需考虑该变化对配切的影响。

基于不同日复合曲线前锋点随环境温度最大值近似呈线性分布的特点，推测1 月10 日肢间南北场温差峰值达8.3 ℃，与1 月8 日差值为2.6 ℃。结合表2 中上行段单位温差变形影响值平均为3.0 mm的信息，推测1月10日合龙口相对变形相对1月8日减少7.8 mm，配切时应在1 月8 日测量数据的基础上考虑该温度影响修正值。实际操作时每侧分别沿南北方向考虑4 mm 修正量，温度影响对棱线i 配切量修正如下所示：

式中：ΔT为考虑温度影响的合龙段棱线i 切线方向配切量额外修正值；为棱线i 单位方向向量在大地坐标系南北方向（Y）的分量；ΔS为肢间南北场温差下配切量修正值，ΔS=4 mm。图11同时给出了1月10日环境温度及肢间南北场温差的实测结果，实测肢间南北场温差峰值为7.5 ℃，预测为8.3 ℃，温度影响修正可信。

4 合龙口变形敏感性分析

4.1 几何测量

2019年1月8日下午14∶00―15∶00对合龙口姿态进行了采集，各测点相对目标状态坐标偏差如图12 所示。轴心平面最大偏差为18 mm，高程最大偏差为16 mm，合龙口架设允许平面偏差为30 mm，允许高差偏差为±20 mm，合龙口架设姿态满足要求。

对于厂内合龙段姿态测量，除采集棱线端点外，还对各棱线自端点向内250 mm 范围按50 mm 间隔采集坐标。为获取制造偏差、确定最优架设姿态，对横隔板与壁板交接处特征点进行采集。合龙段共设置了64个坐标采集点。

4.2 合龙段棱线拟合

基于最小二乘法对棱线按空间直线拟合，拟合后的方向向量及拟合偏差如表3 所示，最大拟合偏差为2.33 mm，拟合效果较好，说明在250 mm 的测量范围内棱线可近似为直线。

图12 合龙口特征点坐标及架设偏差Fig.12 Feature point coordinates of closure interfaces and their deviations

4.3 配切量计算

按照合龙段配切量精确计算方法，目标函数值随迭代计算的变化如图13所示，优化参数计算结果如表4所示。配切量计算信息如表5所示。表5中，配切量修正值指肢间南北场温差影响下的配切量。配切后合龙段棱线垂足P(p)与合龙口P(f)坐标偏差估计如图14 所示。从图14 可见，偏差最大为28 mm，合龙段塔顶P(T)O偏差为图14 中的平移量，因此架设姿态满足要求。

图13 目标函数值迭代计算Fig.13 Change of objective function values with iterations

表3 合龙段棱线局部单位方向向量拟合结果Tab.3 Fitting results of unit directional vector of closure edges

表4 优化参数取值Tab.4 Optimizing parameter values

图14 配切后合龙段与合龙口角点偏差估计Fig.14 Estimated coordinate deviation of closure segment and closure port after match cutting

合龙段于1月10日06∶00起吊，3 h后顺利就位，各壁板匹配状态如图15 所示，最大错边量为13 mm。钢塔关键截面合龙前后一周内应力时程如图16所示。从图16可见，消除温度影响后应力未见明显的变化，钢塔实现了零附加应力自然合龙。

图15 合龙段实际吊装状况Fig.15 Practical matching state of closure segment

表5 合龙段配切量计算信息Tab.5 Cutting information of closure segment

图16 钢塔关键截面应力时程Fig.16 Stress history at key section of steel pylon

5 结论

（1）提出了考虑已成合龙口架设偏差的空间扭曲型合龙段精确配切量计算方法。该方法遵循合龙段与已成合龙口各壁板错变量最优的原则，采用已成合龙口特征点至合龙段端口多点拟合的局部棱线距离构造目标函数，以合龙段自身姿态处于架设误差范围内设置约束条件，基于内点罚函数法驱动优化模型以获取合龙段最优安装姿态，最终获得合龙段各棱线的精确配切量。

（2）以背景桥梁钢塔合龙口变形敏感性分析为基础，指出钢塔合龙可利用合龙口变形受温度场作用较为敏感的特点，选择相对变形较小时进行合龙口姿态采集来确定合龙段配切的基准，选择合龙口相对变形较大时进行吊装。相对强制顶推，该方案可以减少合龙口附加应力，确保受力安全。

（3）合龙口变形及结构温度场监测结果表明，合龙口最大相对变形为31 mm，肢间南北场温差是影响合龙口相对变形的主要因素，相似天气状况下合龙口相对变形呈以日为单位的周期性变化规律，基于该特点确定了合龙口姿态采集及合龙段吊装时机。

（4）环境温度与结构温度场关联分析结果表明，不同监测日肢间南北场温差前锋点与环境温度最大值近似呈线性分布。依据该特点及天气预报，对合龙当日肢间南北场温差进行了预测，指出合龙段配切应考虑气温变化导致的额外8 mm修正。