问题2481的推广和变式研究

陕西省岐山县蔡家坡高级中学

1.问题2481的推广

《数学通报》2019年5月号问题2481[1]如下:设a,b,c ＞0,求证:

作者在《数学通报》2019年第58卷第6期[2]中给出了解答.仿照不等式(1) 可有:

······

猜想

证明

猜想成立.于是,问题2481可按指数推广如下:

定理1设a,b,c ＞0,n ≥2,n ∈N,则

2.问题2481的变式研究

问题2481的一个变式设a,b,c ＞0,求证:

证明

所以,不等式(6) 成立.

和问题2481的推广一样,不等式(6) 也可按指数推广为:

定理2设a,b,c ＞0,n ≥2,n ∈N,则

证明

所以,不等式(7) 成立.

不等式(6) 推广到4 元为:

定理3设a,b,c,d ＞0,∑表示对a,b,c,d循环求和,

则

证明

所以,不等式(8) 成立.

不等式(8) 可以推广为:

定理4设ai ＞0(i=1,2,···,n),n ≥3,n ∈N,∑表示对ai(i=1,2,···,n) 循环求和,则

证明

所以,不等式(9) 成立.