必要性探路 充分性搭桥*

湖南省长沙市明德中学

《普通高中数学课程标准(2017版)》明确了当代中学生学习数学应具备的必备品格和关键能力,并提炼为六大数学学科核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.

作为最具学科特色的逻辑推理,几乎在数学学习和探索中无处不在,处处彰显着化归与转化的数学思想,而转化又通常要求等价转化,即充分性与必要性的兼备.但在很多情况下,我们在探求一个参数的取值范围时,若没有较好的切入点,如同在茫茫大海捞针一般.

事实上,题目总会有一个显性或隐性的条件可以作为解题的突破口,这时我们可以顺着这条线索,找出使问题成立的必要条件,由于必要条件得到的取值范围是必须满足的取值范围,所以我们接下来对充分性的验证只需限定在这个范围进行,这就是“必要性探路”,常见于含参数的不等式恒成立问题,这也是高考试题命制者十分青睐的题型.

探索范围大大缩小,探索有了明确的方向,而要完整地解决问题,就需“充分性搭桥”,这座桥怎样搭?可以概括为两个方法,其一是直接证明由必要性得出的取值区间(或其子区间) 恰能使问题恒成立,其二是反证,即证明不在这个区间时,都可以找到反例.

1.活跃在高考试题中的“必要性探路,充分性搭桥”的思维

1.1 显性的探路条件,直接观察代值显性的探路条件可从题目所给自变量的取值范围直接观察出来,一般是区间的端点值.

例1(2019年高考全国Ⅰ卷文科第20题) 已知函数f(x) =2 sinx-xcosx-x,f′(x) 为f(x)的导数.

(1) 证明:f′(x) 在区间(0,π) 内存在唯一零点;

(2) 若x ∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.

解(1) 略.(2) 由条件得f(π)≥aπ,而f(π) =0,故得a ≤0.下证当a ≤0时,对于x ∈[0,π],不等式f(x)≥ax恒成立.

事实上,由(1) 知f′(x) 在区间(0,π) 内存在唯一零点,不妨设为x0.一方面,当x ∈(0,x0) 时,f′(x)＞0; 当x ∈(x0,π) 时,f′(x)＜0.所以f(x) 在区间(0,x0) 递增,在区间(x0,π) 递减,注意到f(0) =f(π) =0,所以当x ∈[0,π]时,恒有f(x)≥0; 另一方面,当a ≤0,x ∈[0,π]时,恒有ax ≤0,从而f(x)≥ax恒成立.

综上所述,a的取值范围是(-∞,0].

评析条件给出的区间端点往往是我们探路的切入点,这里若代左端点0,则不等式变为恒等式,对问题的解决没有帮助,探路失败！但若代入右端点π则可立即得到使不等式成立的必要条件a ≤0,这里的切入点是显性的,观察即得,不必赘述.接下来的搭桥是利用第(1) 问的结论通过函数的单调性得到f(x)≥0和ax ≤0 都恒成立,从而在两者之间顺利搭桥,此种方式属于前面概括的第一种搭桥法.

另外,以三角函数为载体的函数导数大题,在近几年全国高考卷中鲜有出现,而大多是以xn,ex(或ax),lnx(或loga x) 这种“幂”、“指”、“对”的形式为载体.笔者观察发现,高考命题有一定风格,即螺旋式上升,今年的高考试题有可能在早些年的高考试题中找到影子,例如下面这个例子.

例2(2008年高考全国Ⅱ卷理科第22题) 设函数

(1) 求f(x)的单调区间;

(2) 如果对任何x ≥0,都有f(x)≤ax,求a的取值范围.

思路探求1(分离参数法) 第(2) 问若分离参数变为即对所有x ＞0 恒成立,看似简单,只需求出的最大值,但实际上想通过对φ(x) 求导得出其单调性是十分繁杂的！

思路探求2(直接作差构造函数) 令g(x) =ax-f(x),将问题转化为对任何x ≥0,都有g(x)≥0,注意到g(0) =0,所以必存在x0＞0,使得x ∈(0,x0) 时,g′(x)≥0.否则,即若对任意x0＞0,x ∈[0,x0]时,都有g′(x)＜0,则x ∈(0,x0) 时,g(x) 在区间(0,x0) 递减,于是g(x)＜g(0)=0,与题设矛盾！现在已将问题转化为即对任意x ≥0 都恒成立,接下来如何求右边的最大值呢?如果求导显然很麻烦,文献[1]采用了变形再构造的方法.事实上,

思路探求3如果采用“必要性探路”的思维,则可大大简化计算量！在将问题转化为a对任意x ≥0都恒成立后,将端点值0 代入右边,直接可得

我们只需验证对于都可以找到反例即可！

显然,当a ≤0时,取则从而f(x)＞ax,与题设矛盾！而当时,令h(x)=sinx -3ax,因为h′(x)=cosx -3a,又h′(0)=1-3a ＞0,=-3a ＜0,h′(x)是区间上的减函数,由零点存在定理可知必存在唯一零点x0∈使h′(x0)=0,且当x ∈(0,x0) 时h′(x)＞0,故h(x) 在区间(0,x0) 递增,所以当x ∈(0,x0) 时,h(x)＞h(0)=0,所以sinx ＞3ax,从而当x ∈(0,x0) 时,即f(x)＞ax,与题设矛盾！综上所述,a的取值范围是

评析同样是先求必要条件,但思路3的探路方式明显棋高一着,具有四两拨千斤的作用;而在论证充分性时,这里采取了第二种“搭桥”法,即反证法.两种“搭桥”方法的选择要根据题目条件与结论综合分析,灵活运用.

运用这种先必要后充分的方法还可以轻松化解2017年的一道高考数学压轴题(见例3),有兴趣的读者不妨一试.

例3(2017年高考全国Ⅱ卷文科第21题) 设函数

(1) 讨论f(x)的单调性;

(2) 当x ≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.

1.2 隐性的探路条件,挖掘背后资源

隐形的探路条件是隐藏在题目背后的,当我们用显性的区间端点值探路失败时,三个问题立刻摆在我们面前,即应取什么样的值?为什么要取这个值?怎样用这个值探路?这就需要我们去仔细分析条件,深入挖掘题目背后的丰富资源[2].

例4已知函数f(x) =axex-(a+1)(2x-1).

(1) 若a=1,求函数f(x)的图像在点(0,f(0)) 处的切线方程;

(2) 当x ＞0时,函数f(x)≥0 恒成立,求实数a的取值范围.

思路探究第(1) 问虽然简单,但却为第(2) 问挖掘题目背后的丰富资源提供了启示,很多复杂问题都可以借助关键的切线来化解.首先f(x) =axex -(a+1)(2x -1)≥0 在(0,+∞) 上恒成立可转化为axex ≥2(a+1)x-(a+1) 在(0,+∞) 上恒成立,记g(x) =axex,h(x)=2(a+1)x-(a+1),则问题转化为两个函数的大小关系:当x ＞0时,g(x)≥h(x) 恒成立.易知a ＞0(否则若a ≤0,则当x ＞0时,f(x)≥0 显然不恒成立),由g(x)的单调性及图像不难猜想,若g(x) 以h(x) 为切线,则必然满足g(x)≥h(x),因此可试将切点的x值作为探路的突破口.事实上,设切点为(x0,y0),因为g′(x) =a(x+1)ex,h′(x)=2(a+1),由即则 可 解 得

解(1) 略;(2) 由题设取x=1 有f(1)≥0,立得又因为f′(x) =a(x+1) ex -2(a+1),所以当x ＞0时,f′′(x) =a(x+2) ex ＞0,所以f′(x) 在区间(0,+∞) 上递增,注意到f′(0) =-2- a ＜0,f′(1) =2ea-2a-2=2[a(e-1)-1]≥0,由零点存在定理知必存在唯一的x0∈(0,1]使f′(x0)=0,且当x ∈(0,x0) 时f′(x)＜0,当x ∈(x0,+∞) 时f′(x)＞0,所以f(x) 在区间(0,x0) 递减,在区间(x0,+∞) 递增,所以f(x)的最小值为f(x0),由f′(x0) =a(x0+1) ex0-2(a+1)=0可得从而f(x0) =ax0ex0-(a+因为x0∈(0,1],所以有恒成立,从而f(x0)≥0 恒成立,进而f(x)≥0 恒成立.

综上所述,a的取值范围是之外的范围内的任意实数a,

评析

如果不作前面的思路探究深入挖掘背后资源,则难以取到特殊值1,就算是碰巧取到了,也无法解释为什么要取这个值?比如取特殊值2 行不行呢?这时会得到这将为后续论证充分性时的赋值取点带来不必要的麻烦,而且事实上这个范围是一个必要不充分条件,范围中还有多余的部分,又应如何取舍?况且我们也不可能把每一个特殊值都来试一遍,那样无异于大海捞针！

2.结语

由此可见,一个好的切入点可以为解题带来极大的帮助,大幅缩小解决问题的范围,避免不必要的层层讨论,减少繁琐的运算,而“必要性探路”应怎样探到这个切入点,为什么选择这个切入点,参考答案从来都只是完美地呈现最后的成品,让人叹为观止,却又心有不甘,作为教师必须帮助学生讲好背后的精彩故事,理清问题的来龙去脉,只有这样才能让逻辑推理的核心素养实实在在地在学生心中生根发芽;而在充分性论证上,则是“搭桥有法,搭无定法”,根据条件审时度势选择最佳方法才是王道.