数形相结合，数学变简单

麦雪爱

【摘要】数形结合思想就是通过数量与空间形式之间的对应关系以及相互转换来解决问题的一种思想方法。“数”与“形”相结合，可以把抽象的数量关系与直观的图形结合起来，实现抽象思维与形象思维相结合，能优化解题途径，使学生形成解题思维，掌握解题技能，有效降低学生学习的难度，提高学习能力，发展思维能力。

【关键词】小学;高年级数学;数形结合思想;解决问题

数形结合思想就是通过数量关系与空间形式之间的对应关系以及相互转换来解决问题的一种思想方法。它不仅是重要的数学思想，更是数学探索研究的重要方法，被誉为解题“神器”。数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。”这句话把“数”与“形”之间的辩证关系以及相互结合的重要性描述得淋漓尽致。

小学高年级学生的思维发展处在一个由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维发展的重要階段，数形结合思想是架起它们之间的桥梁。在教学中，教师有意识地借助实物图、示意图、线段图等形象具体的感知材料，来帮助理解抽象的数学语言、数量关系，以形助数，数形结合，实现形象思维和抽象思维的互助互补，能有效激活学生的解题思路，提高学生的解题能力，发展学生的创造性思维。

一、数形转化，升华概念

概念教学是数学教学的一个重要内容，是学生后续学习知识的重要基础。但它的抽象性对小学生来说是一个学习的难点。学生如果没有通过大量素材直观感知概念的形成过程，就很难真正理解概念的含义。在概念教学中，教师需要帮助学生把抽象的概念与形象的图形联系起来，利用有形的载体理解无形的概念。学生只有经历直观感知、建立表象、揭示本质属性三个阶段，才能对概念理解得全面深刻。

如，北师大版五年级下册《体积与容积》中，理解体积的意义是本节课的教学重点。“体积”的意义是指物体所占空间的大小。在这个概念中，最关键是让学生理解什么是“空间”。教学时，笔者首先出示铅笔盒和橡皮两个大小不同的物品，问学生：哪个大？哪个小？接着笔者再追问：你认为铅笔盒大？哪它是哪方面大呢？有的认为是表面积大，有的说占的位置大，说明学生对“空间”这个概念是完全陌生的。于是我设计一个实验，让学生动手操作理解什么是“空间”。拿一个盛有水的玻璃容器，先记录好水位的高度，然后小心地放入土豆，让土豆完全浸没在水里。引导学生观察这时水位的高度有什么变化。学生很容易就发现水位升高了。于是，笔者启发学生思考：水位为什么会升高？有学生马上就说，土豆占了容器里的空间，水没地方跑就只能往上走，所以水位就升高了。“空间”两字就这样从学生口中自然地蹦了出来，笔者顺势揭示出体积的意义。为了使概念进一步得到深化，启发学生：升高的水的体积与土豆的体积会有怎样的关系？学生不难发现水升高部分的体积相当于土豆的体积，这样不仅认识了概念，而且能够应用概念。

注重创设具体情境， 让“数”与“形”的巧妙结合，加上设计诱导性、启发性的问题引导学生观察，让学生在探究过程中发现问题、思考问题和解决问题，抽象出概念的本质。学生全程参与到概念的构建过程，这样建立起来的概念才能深深地留在学生的脑里。

二、数形结合，深化算理

计算是一切数学活动的基石，是学生学好数学的重要基础。培养和提高计算能力是计算教学的目标，而引导理解算理是实现目标的关键。在实际教学中，有不少老师只关注引导学生掌握算法的多样性，往往忽视了引导学生理解算理的必要性。其实算理是计算教学的重难点，学生只有真正理解算理，知道为什么这样算，才能掌握如何算。因此，如何让学生明白算理，是每个老师在计算教学中要重点研究的问题。在计算教学时，可以针对其特点，适当运用数形结合方法，让学生既知其然，更知其所以然。

例如，北师大版五年级下册《一个数乘分数》这节课，如何让学生理解“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”这个计算方法呢？以“×”为例，笔者先让学生理解算式的意义是表示的是多少。学生从算式的意义中初步感知结果一定比少。那究竟是多少呢？应该怎么算呢？一连串的问题激发学生探究的欲望。这时，笔者鼓励动手折一折、涂一涂。让学生用一张纸表示1，先用阴影表示出这张纸的，接着问：那怎样才可以表示出涂阴影中的呢？组织学生小组讨论研究。学生发现，只要再把阴影部分平均分成4分，涂出其中的1份就可以了。学生通过观察，其实就是把一张纸平均分成4份，再把其中的3份又平均分成4份，也就相当于把一张纸平均分成了（4×4）份，其中的3份就是×的积，也就是等于。这时笔者还没有急于揭示计算法则，利用课件用同样的方法演示几道分数乘分数算式的积的形成过程，深化理解，最后再引导学生归纳出计算法则。

学生通过动手操作，借助于图形的直观性形成表象，结合观察思考，提炼出抽象的运算方法，有效突破教学难点，让计算教学变得生动有趣，算理的理解更深入透彻。

三、以形助数，拓宽思维

数学教学的主要任务是让学生掌握知识，提高解决问题、发展思维的能力。在高年级学段，学生遇到的数学问题会越来越复杂，但由于他们还没有形成较强的抽象思维能力，如果只是通过数学语言叙述，会很难理清数量之间的关系，找到解决方法。我们可以引导学生运用数形结合的方法，把复杂的数量关系和形象直观的图形结合起来去分析问题，就能快速找到解决问题的方法。

1.借助示意图，激发学习趣味

北师大版五年级上册中的《鸡兔同笼》，按教材的要求，只需要用列表法来解决就可以了。但在实际的教学中，学生往往觉得列表法比较麻烦，总是追着问有没有算术的解答方法。为了满足学生的要求，笔者通常也会把算术法介绍给他们。但因为这里涉及到假设法，如果只是通过一般的讲解，估计会有不少学生难以理解。于是，我借助示意图，引导学生理解算式的数量关系。如，笼子里的鸡和兔共有8个头，有30条腿，求鸡和兔各有多少只？笔者用8个圆表示动物的头，假设全是鸡，鸡有两条腿，在每个圆下面画出2条腿，8个头只画出16条腿，但还有30-16=14条腿没画。如果在每个圆下再添上2条腿就变成了兔，这样还得添14÷2=7只，得出兔子有7只，鸡有1只。通过边画示意图，边列出算式，学生恍然大悟的同时又感到生动有趣，在理清了数量关系的同时又给学生留下深刻的印象。

通过借助示意图这种数形结合的方式，把抽象的算理形象化，使内容变得生动活泼，激发学习兴趣的同时又让学习内容变得易于理解和记忆。

2.借助情景图，感悟问题实质

“形”与“数”是相辅相成的，在解答有关几何图形的实际问题时，如果把语言叙述的数量关系用简明形象的情景图呈现出来，学生能较快地感悟到问题的实质，探索解决问题的思路就越发清晰明了，同时发展学生的空间观念。

如，北师大六年级上册《环形面积》这个内容，学生探究出环形面积的计算方法后，为了把探究结果巧妙运用到实际生活中，笔者设计了这样一道题：一个圆形花坛水池的直径是20米，绕着水池外部铺了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？很多学生能想象得到小路面积就相当于环形面积，水池相当于内圆。学生答案出现以下状况：（1）直接列式为3.14×22。这显然对环形的计算方法没理解掌握。（2）外圆的半径用（20+2）÷2=11。发现这些情况后，笔者启发学生尝试画图看看。通过畫出情景图，学生很快就弄懂了原来3.14×22是根本没有算理的，而外圆半径应该是20÷2+2=12或者是（20+2×2）÷2=12，从而顺利地解决问题。

当学生没有或缺乏与学习内容有关表象的时候，我们可以通过实物、模型、画出情景图等等途径，用形象的情境充实学生抽象的感知，有效找到解题的表象。

（三）借助线段图，梳理数量关系

解决问题是检验学生综合运用知识能力的具体表现，梳理清楚数量之间的关系则是解决问题的关键。理清数量关系历来都是数学教学的难点。到了高年级，题目的数量关系更是变得复杂，学生梳理起来十分吃力。如果巧妙运用线段图直观地呈现其数量关系，常常能产生意想不到的效果。

如，北师大版六年级下册《比的应用》有那么一道题：修一条公路，已修路程与未修路程的比是1：3，如果再修35千米，就修了全程的。那么这条路有多少千米？这是一道涉及分数除法的应用和比的应用知识的综合题。一开始，不少学生根本摸不着头脑，于是，笔者鼓励学生动手画一画，用线段图表示数量之间的关系。通过画线段图，学生不难发现“已修路程与未修路程的比是1：3”就相当于“已修路程占全程的”，这样学生就很快地理解到35千米相当于全程的 - =，问题就迎刃而解了。线段图能把复杂的文字表述用形象直观的图形显性呈现，使抽象模糊的数量关系变得一目了然，能激活学生的解题思路，开拓学生思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。

“数”是“形”的抽象概括，“形”是“数”的具体表现。“数”与“形”的巧妙结合，能把抽象的数量关系直观呈现，把无形的解题思路形象展现。教师在教学过程中有意识地渗透数形结合思想，不仅有利于学生顺利、高效地学好数学知识，使之成为学习数学、解决数学问题的利器，还能让学生体验到学习数学变得更简单、更轻松。

参考文献：

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[2]苏建云.小学数学教学中数形结合思想的渗透[J].教师，2017（21）.

[3]梁雪梅.小学数学课堂应用数形结合思想的教学方式解读[J].科教导刊（下旬），2017（10）.