多自由度电机中的气体静压球轴承特性分析*

李 争，杨 凯，刘令旗，杜 磊

(河北科技大学 电气工程学院，河北 石家庄 050018)

0 引 言

近年来，随着多自由度电机技术的不断发展，因其在三维运动时存在摩擦大且易发生机械碰撞的原因，使得传统的关节轴承已无法满足当前应用的需求[1-3]。因此，多自由度电机轴承的研究显得尤为重要。

因其无摩擦、可灵活实现空间三自由度运动等优点，气体静压球轴承在多自由度电机的应用方面表现出了其优异的性能。法国学者HIRN G[4]最早在1854年提出了以空气作为润滑介质的想法，之后由美国学者建立了流体润滑的数学模型[5]。虽然许多学者一直致力于气体润滑轴承的研究，但受限于当时的工艺水平，一直无法加工出高精度的气体润滑轴承，所以气体润滑轴承的研究进展一直缓慢。随着20世纪60年代计算机的出现和航天原子能等高新技术的需求，制造业水平获得了飞速提升。随之而来的是气体润滑轴承的研究也得到了迅猛发展，气体润滑轴承开始被逐渐应用于工业生产当中。20世纪80年代以来，气体静压设备开始商用于纳米级机床及超精密车床当中。近年来，BELFOR G等学者[6]开始研究气体静压轴承的节流孔及结构对轴承的影响，一些学者开始尝试将气体静压轴承应用于自由活塞式斯特林发电机[7]。

气体静压球轴承不仅近似无摩擦力，且可以实现空间三自由运动，因此，本文对气体静压球轴承在多自由度电机的应用方面进行理论分析。

相对于传统的关节轴承和液质润滑轴承，气体静压球轴承在多自由度电机的应用方面表现优异。因其特殊的润滑方式和结构，不仅摩擦极小，甚至可近似无摩擦，在三自由度电机运行时极为稳定，不易发生机械碰撞[8-10]；此外，采用空气或惰性气体为润滑介质，不仅环保无污染，而且气体流动较快，相对液质润滑轴承温升较小，解决了油、脂轴承在电机高速运转中产生的温升及黏性较大的问题。因此，对气体静压球轴承在多自由度电机当中的应用研究显得十分有必要[11-12]。

本文将通过推导公式，建立气体静压球轴承的数学模型，并用Matlab建立解析法计算程序，通过与有限元软件COMSOL的计算结果进行对比，验证解析法的正确性；并进一步使用解析法，分析不同参数对气体静压球轴承的性能影响[13-16]。

1 多自由度电机气浮轴承的结构

1.1 电机整体结构及静压气体球轴承结构

本文研究的是一种新型的基于气体静压球轴承的多自由度电机，其结构如图1所示。

图1 基于气体静压球轴承的多自由度电机结构图

图1中，基于气体静压球轴承的多自由度电机具体结构为：球形转子上端为输出轴，内部镶嵌有4排8列32个永磁体，按N、S极交替分布；定子部分设有进气口、供压槽和节流孔，设有2排8列16个定子。

该电机采用混合驱动控制方式，可实现空间90°范围内大偏转，对多自由度电机输出实现精准控制。相对于传统的多自由度电机，该电机可实现无摩擦，及空间内大范围的偏转运动。

1.2 静压气体球轴承结构及工作原理

通过分析，气体静压球轴承对比图如图2所示。

图2 气体静压球轴承对比图

本电机采用的气浮轴承是一种多孔空气静压球轴承，截面图如图2(b)所示，Ps为供气压力，m2为流出薄膜层的方向，m1的方向形成均压区。

对比多孔气体静压球轴承可知，多孔气体静压球轴承比其有更大的包角，且减少了m2方向的消耗，在同等供气压力下，不仅耗气量小且承载能力高。

与单孔静压球轴承相比，多孔气体静压球轴承可以提供多孔供压，在同等的供气压力下，承载能力高，且解决了单孔气体静压球轴承承载能力小的问题。

1.3 气体静压球轴承的数学模型

本文研究的为气体静压球轴承，因此，建立球形坐标系可以更好地计算和分析轴承特性。

通常情况下，气体从各节流孔流出后，会在定转子的薄膜间隙内产生3个互相垂直的速度分量。在薄膜中取一点为例，其速度分量在球坐标系下的角度关系为：沿θ方向的速度分量为Vθ，因为气体主要沿θ方向流出，其速度分量最大；在圆周方向的速度分量为Vψ，其沿转子半径至圆心方向速度分量为Vr。

由于薄膜厚度最大只有几十微米，假设其沿转子半径方向速度分量为0，即取Vr=0。

由于球半径R远远大于气膜厚度h，可以把球坐标r看作为一常量，可建立球坐标系下的速度运动方程为：

(1)

式中：P—坐标点处的压力；η—坐标点处的空气粘度；r—坐标点到圆心的半径距离。

假设经小孔节流后进入气膜的空气不发生扩散现象，即气体只沿θ方向流出；取球面圆周方向速度分量Vψ=0，则式(1)可以简化为：

(2)

由式(2)可得：在球面轴承气膜中的压力分布只与角度θ相关，与其他变量无关。

在气体润滑的研究中遵循质量守恒定理，即流入气体质量等于流出气体质量，故关于球坐标的连续方程为：

(3)

式中：ρ—坐标点处空气的密度。

在气膜中，由于气体流动快，温度变化很小，可以忽略不计，可以得到气体状态方程为：

(4)

式中：Pa—标准大气压下得空气的压力；ρa—标准大气压下得空气的密度。

由图2(b)可知：经小孔流入气膜的气体的一部分沿m1方向流动，一部分沿m2方向流动。由于气体主要从m2流出，可以近似认为流入的气体质量M等于流出的质量m2。

可得到稳态方程为：

(5)

式中：M—节流孔流入气膜的质量。

由图2(b)还可知：h=ecosθ，其中，e—气膜厚度。因此，根据流量公式，有：

(6)

式中：A—节流孔入口面积；Ps—外界供气压力；Cd—节流孔的节流系数。

其中ψ为：

(7)

式中：k—空气的比热比值约为1.4;βk—节流临界压力,其值约为0.528。

在式(5)中，由于薄膜厚度h与半径R相差极大，可以认为r为一常量，可得dy=dr，将此代入式(2)中，并通过积分可得：

(8)

将边界条件：Vθ=0,y=0,y=h,分别代入上式中，通过求解可得：

因此，可以得到：

(9)

将式(4，8)代入式(5)，联立可得：

(10)

将式(10)分离变量，并进行积分，通过求解可得：

(11)

将初始条件：θ=θ1，代入到式(11)中，可得：

P=

(12)

式(12)即为θ1≤θ<θ2时，气膜内压力的分布。当θ<30°时，P=Pd。

将式(5)中M的表达式代入到式(12)中，可得：

(13)

式中:n—节流孔的数目；σ—无因次供气压力比，σ=Pa/Ps；β—节流系数，β=Pd/Ps。

根据此式(13)可求出节流系数，进而求出节流后的供气压力Pd；进一步可以求出轴承承载能力W，其公式如下：

(14)

根据式(14)中得出的承载能力，进而可以对轴承静态刚度K进行计算，即：

(15)

气体扩散系数公式为：

(16)

式中：D—扩散系数；M—气体质量；v—气体速度。

气体静压球轴承的承载能力和静态刚度是气浮轴承设计时不可或缺的两个指标，同时耗气量也是需要考虑的重要指标。因此，在进行轴承设计时，在符合承载能力的前提下，要考虑选择较高的静态刚度，以利于提高轴承的稳定性。这是因为在负载发生变化时，较高的静态刚度可以保证多自由度电机平稳运行；同时也要考虑耗气量的消耗，在符合设计要求及优化目标的前提下，尽量减少耗气量。

笔者利用公式编制Matlab程序，以求解各参数下的轴承性能。

具体的程序流程图如图3所示。

图3 解析法计算程序流程图

2 仿真分析

2.1 气体静压球轴承特性仿真分析

笔者通过Matlab对气体静压球轴承建立解析法计算程序，并对压力与承载能力进行了求解，与COMSOL进行了对比分析验证，得到的薄膜压力图如图4所示。

图4 薄膜压力图

通过Matlab程序，可以对本文中的模型进行求解，通过求解可得节流变压比。当起浮量小于11 μm时，其节流比接为1；当起浮量大于11 μm时，其值开始逐渐变小；起浮量在30 μm左右时，达到节流比的临界比0.528；当节流比小于该值时，气体静压球轴承易发生阻塞现象。

由此可见，通过节流比可以求出气体静压轴承气膜内的压力分布。

在Matlab程序中，取初始参数为：起浮量值10 μm，此时节流比为1，节流孔数目为8，节流孔分布角度为30°。则此时的气膜内的压力计算结果如图4(b)所示。

在COMSOL中，设定供气压力为0.6 MPa，环境温度24 ℃，出口压力为0.1 MPa，气体属性设置为空气可压缩。则此时的COMSOL计算结果如图4(c，d)所示。

通过图4(b)可直观看出：在大约0°～30°的区域中，角度小于进气口角度的区域，形成均压区。当大于30°时，气体压力开始逐渐下降，最终下降到0.1 MPa；图4(c，d)的三维仿真结果图与图4(b)的变化规律基本相同。

因此，通过结果对比可得：解析法计算结果与COMSOL计算结果基本相同。

笔者通过解析法计算取间隔为1 μm，计算起浮量在10 μm～30 μm下的承载能力，并将结果拟合成一条曲线；同理，在COMSOL中计算不同起浮量下的承载力，并拟合成一条曲线。

所得结果对比图如图5所示。

图5 解析法计算与COMSOL计算结果对比图

由式(16)分析可知：扩散系数与压力成反比。通过分析图4(d)可知：在COMSOL中，气体在节流孔处存在扩散现象；但在解析法计算中，由于忽略了气体扩散影响，设定的是节流孔同一圆周上压力相等，造成节流的孔出口压力所在圆周上比实际要高，致使计算时压力比实际压力偏大，故通过解析法计算后得到的扩散系数D较小。

由图5可知：与COMSOL计算结果相比，解析法计算结果数值偏大，其中在10 μm时误差最大为10%，后逐渐减小；但两者变化趋势基本相同，并随着数值增大，两者结果趋于一致。

通过两者的变化趋势对比验证可知：笔者所建立的数学模型正确，且与实际相符。另外，通过参考文献[17-19]的相关实验及结论，也可以印证该数学模型的正确性。

此外，通过式(2)及图4(a)可得：随着起浮量变大，节流比变小，节流孔出口压力变小，而压力偏导与速度偏导的平方成正比关系，因此，可知随着起浮量增加，节流孔出口压力减小快于速度减小。根据式(16)可知：解析法的扩散系数与COMSOL的扩散系数数值大小相接近，故随着起浮量值的增大，两者误差逐渐减小。

2.2 气体静压轴承变参数特性影响

本文通过与有限元仿真软件COMSOL进行对比，以及相关参考文献的验证，保证了解析法计算的准确性；接下来进一步分析不同参数对空气静压球轴承特性的影响。

不同参数对轴承特性的影响如图6所示。

图6 同参数对轴承特性的影响

由图6(a)可知：其承载能力及耗气量与节流孔数目存在着良好的线性正关系，当供气孔数目由4增加到12时，承载能力由3 kN增加到了5.5 kN，其值增加了5/6，耗气量由900 L/h增加到了2 200 L/h，涨幅约2.45倍；

由图6(b)可得：随着节流孔数目增多，其静态刚度和最大刚度值均不断减小，对应的最佳起浮量值不断增大。

由以上分析可知：增加节流孔数目可较好地增加气体静压球轴承的承载能力，但同时会使耗气量显著增加；另外，静态刚度最大值受节流孔数目影响不大。

由图6(c)可知：保持其他参数不变，改变包角的角度，则此时承载能力与包角呈正相关关系，而耗气量与之呈负相关关系。随着包角角度的增大，不仅可以较好地提升承载能力，而且可以减少一些耗气量。

由图6(d)可知：随着包角的增大，其最大静态刚度对应最佳起浮量值变化很小，且随着包角的增加静态刚度不断增大。

由以上分析可知：选择较大的包角可以增加气体静压球轴承的承载能力，减小耗气量，提升静态刚度，对气浮轴承的各项性能都着有较好的提升效果。

由图6(e)可知：保持其他参数不变，改变节流孔的分布角度，当节流孔角度在32°时，其承载能力达到最大，无论增加或者减小分布角角度，都会使承载能力降低；同时可得，在32°时其耗气量最少，由此可得到在气体静压球轴承中存在最优角度。

由图6(f)可得：随着节流孔角度的增加，其最大静态刚度值不断减小，但在最佳角度，即一定范围内，其最大静态刚度值及对应的起浮量值变化不大。

由以上分析可知：本文研究的气体静压球轴承最优分布角度为32°,在该角度下不仅承载能力好，且耗气量少，同时可以使其保持有较好的静态刚度。

在对同结构参数进行分析研究后，笔者对不同供气压力下的气体静压球形轴承进行了分析研究。

由图6(g)可得：提高供气压力可以有效地提升承载能力，但会造成耗气量的大幅增加。

由图6(h)可得：提高供气压力可以有效地提高静态刚度，供气压力从0.5 MPa提升到0.7 MPa，其最佳工作起浮量值从21 μm减小到19 μm，因而供气压力对其最佳起浮量值的影响较小。

由以上分析可知：提升气浮轴承供气压力可以有效提升轴承的承载能力，但会提升耗气量，同时可以有效地提升其静态刚度，且对其最佳工作起浮量值的影响很小。

3 结束语

以气体静压球轴承对多自由度电机的应用为背景，笔者通过解析法与有限元软件COMSOL结果进行对比验证，保证了解析法的准确性；进一步通过解析法分析了各种参数对气体静压球轴承性能的影响。研究结果表明：通过增加节流孔数目，提升包角角度及供气压力，均能提升气浮轴承承载能力，且气体静压球轴承存在节流孔分布最优角度；在轴承计算中，采用了层流的计算方式，忽略了气体扩散的影响，因此结果存在稍许误差。

本文所采用的分析方法和理念，对气体静压球轴承的设计分析以及在多自由度电机方向的应用，具有一定的参考意义。

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