基于APDL语言的拱轴系数m优化分析

田振生，崔文杰，杨柄楠，袁良东

(郑州市交通规划勘察设计研究院 郑州市 450000)

常见的拱轴线形有圆弧线、抛物线和悬链线三种。拱轴线选取的原则，就是尽可能减小由压力线与拱轴线偏离产生的弯矩值[1]。最理想的拱轴线是与拱上各种荷载作用下的压力线相吻合，此时主拱截面只有轴向压力而无弯矩及剪力，截面应力分布均匀[2]，能充分发挥材料的抗压性能，此时的拱轴线即为合理拱轴线[3]。

由于主拱同时受到恒载、活载等作用，当恒载压力线与拱轴线相吻合时，在活载作用下其压力线与拱轴线便不再吻合；此外相应于活载的不同布置，压力线亦是不同的[4]。在大跨度拱桥中，恒载往往在总荷载中所占比例较大[5]，此时采用恒载压力线作为拱轴线，显得较为合理。此外，温度变化、材料收缩、基础变位等影响也会引起一定的主拱截面弯矩，故选择拱轴线只能尽量减小主拱截面的弯矩[6]。

通过某一工程实例，首先基于APDL参数化语言进行悬链线拱轴系数优化，然后分别将圆弧线、抛物线及优化后的悬链线作为拱轴线进行对比分析，获取适用于本工程的最优拱轴线形。

1 拱轴系数计算原理

为使拱轴线与恒载压力线尽可能地接近，通常采用“五点重合法”确定悬链线拱的拱轴系数m，即要求拱轴线在拱圈的拱顶、两个1/4跨及两个拱脚位置与三铰拱恒载压力线重合，此时五个截面中仅有轴向力，弯矩和剪力为零。利用上述五点弯矩为零的条件，就可迭代确定m值。

由拱顶弯矩为零及恒载对称条件可知，拱顶只有通过截面重心的恒载推力Hg，弯矩及剪力为零时，拱脚弯矩为零，得：

(1)

同理，由1/4跨截面弯矩为零，得

(2)

由式(1)、式(2)，得

(3)

式中：∑Mj—半拱恒载对拱脚截面的力矩；

∑M1/4—自拱顶至拱跨1/4点的恒载对1/4截面的力矩。

(4)

由于拱轴系数m本身就是一个未知值，因此需要通过若干次迭代试算后方可确定。先假定一个m值，根据拱轴线坐标布置拱上建筑，计算拱圈和拱上建筑恒载对L/4截面和拱脚截面的力矩∑M1/4和∑Mj，由式(4)得到新的拱轴系数m1，若m1和假定的m不符，以m1值作为新假定值重新计算，直至两者接近为止。

2 拱轴系数优化算法

根据拱桥的受力特点和拱轴线的选取原则，应尽可能降低由荷载产生的弯矩值，因此可考虑采用最小弯曲能量法和压力线与拱轴线偏离最小法来优化拱轴线[7]。

2.1 最小弯曲能量法

最小弯曲能量法是用来确定斜拉桥成桥状态下最优索力的一种方法，当弯曲能量最小时，主梁所受的弯矩较小且趋于均匀。由于拱与斜拉桥的主梁受力状态类似，均为压弯构件，因此可将最小弯曲能量法应用于拱轴系数的优化中。当拱轴系数达到最优时，拱轴线能最大限度地接近压力线。而衡量逼近程度的好坏就是以拱圈的弯曲应变能是否最小为准则，即

(5)

式(5)即为目标函数来优化拱轴系数。由于ANSYS后处理中没有提供现成的弯曲应变能，因此需在后处理中先提取各个梁单元弯矩值，然后通过式(6)计算式(5)中的弯曲应变能。

(6)

为保证积分有较高的精度，需将单元划分足够细。一般情况下，单元长度取1m即可。

2.2 压力线与拱轴线偏离最小法

压力线是指拱圈各截面合力点的连线，而拱轴线是指拱圈各截面形心的连线，如图 1所示。拱圈是以受压为主的结构，截面中有轴向力、弯矩和剪力等内力。除了拱脚截面外，其余截面剪力较小，可忽略不计。图1中的i-i截面，在截面形心处有弯矩M和轴力N，这两个内力可用一个偏心合力来表示，合力点距离截面形心为：

(7)

从式(7)可看出，在N值不变的情况下，弯矩M越小，相应的偏心距e也越小，当M=0时，偏心距e=0，此时合力点便与截面形心点重合，也就是压力线与拱轴线重合。实际工程中不存在合理拱轴线，因而选择拱轴线也只能尽量使压力线与拱轴线偏离最小，即偏心距e最小，其可用主拱截面弯矩和轴力的比值M/N的绝对值来表示。

采用压力线与拱轴线偏离最小法，只需提取拱圈各个截面弯矩和轴力，就可得到各截面的偏心距和优化目标，而采用最小弯矩应变能法，需将结果中提取的弯矩值通过积分的方法才能得到优化目标值。因此，采用压力线与拱轴线偏离最小法更容易在ANSYS程序中实现，本文即采取该方法进行拱轴系数优化的。

3 基于APDL语言的拱轴系数优化

优化分析采用大型通用有限元软件ANSYS。在ANSYS优化模块中，有三大优化变量，即设计变量、状态变量和目标函数[8]。拱轴系数优化的策略是以需要优化的拱轴系数作为设计变量，同时指定其上、下限，钢管混凝土拱桥采用范围多为1.2～2.8；以拱脚截面的最大、最小应力及主拱截面的最大偏心距为状态变量；以压力线与拱轴线偏离最小为目标函数进行求解。利用软件的优化技术来确定最优拱轴系数的关键在于计算结果中如何提取目标函数，而采用压力线与拱轴线偏离最小法，只需提取拱圈各个截面弯矩和轴力，就可得到各截面的偏心距和优化目标。

以下为优化策略的控制流程

第一步：建立模型分析文件。该文件必须包含整个分析过程，且须满足以下条件：以拱轴系数m为设计变量建立参数化模型(PREP7)；求解(SOLUTION)；提取并指定状态变量和目标函数(POST1)。

第二步：构建优化控制文件。该文件包含：进入OPT处理器，指定分析文件(OPANL)；声明优化变量；选择优化方法；指定优化循环控制方式；优化迭代分析；查看优化的设计序列结果。其中选取的优化变量如下所示。

4 工程实例

以某下承式钢管混凝土梁拱组合市政桥梁为依托，开展拱轴系数优化研究。

该桥拱肋计算跨径90m，计算矢跨比1/5。全桥共设两榀钢管混凝土拱肋，每榀拱肋由2根Φ1000mm×16mm钢管和16mm厚的钢腹板组成高为2.4m的哑铃型断面，两榀钢管混凝土拱肋横向间距21.06m，桥面结构采用纵横梁体系、整体桥面板，以提高结构的整体刚度。大桥总体布置及有限元模型如图2、图3所示。

选取m=1.500作为初始拱轴系数，以压力线与拱轴线偏离最小为优化目标，由图4可看出，经过6次优化迭代后收敛于最优解；目标函数反应的是拱肋压力线与拱轴线逼近的程度，也间接反映出拱肋的整体弯矩水平。迭代步骤如图4所示。

优化后的拱轴系数m=1.054，优化前后的拱肋弯矩图如图5～图6所示。

由图5～图6可知，优化前拱肋最大正弯矩为3350kN·m，最大负弯矩为3600kN·m，优化后拱肋最大正弯矩为2550kN·m，最大负弯矩为2610MPa，优化后拱肋整体正弯矩水平相比优化前减小23.9%；优化后拱肋整体负弯矩水平相比优化前减小27.5%，优化效果显著。

分别选取圆弧线、抛物线及优化后拱轴系数m=1.054的悬链线三种线形作为拱轴线，开展主拱各截面(由于拱肋左右对称，仅取一半拱肋)偏心距对比分析，三者偏心距结果如图7所示。

圆弧线拱肋和抛物线拱肋弯矩图如图8～图9所示。

由图7～图9可知：

(1)钢管拱计算跨径不大时，抛物线与悬链线拱肋偏心距基本一致，两者拱肋弯矩数值也基本相等，这主要是由于悬链线拱轴系数(m=1.054)基本接近抛物线拱轴系数(m=1)，导致力学性能也基本接近。

(2)拱脚区域，圆弧线拱肋偏心距为8.6cm，在拱脚产生的弯矩值为949kN·m；而抛物线和悬链线拱肋偏心距相对较小，分别为0.4cm和1.2cm，两者在拱脚处均产生相对较小的弯矩，弯矩值分别为330kN·m和577kN·m。拱顶区域，圆弧线拱肋偏心距为11.4cm，拱顶处弯矩值为1728 kN·m；而抛物线和悬链线拱肋偏心距相对较大，分别为16.1cm和17.0cm，导致两者在拱顶处均产生相对较大的弯矩，弯矩值分别为2372kN·m和2483kN·m。综上所述，小跨径拱桥拱轴线采用圆弧线时，较采用抛物线与悬链线，可改善拱肋拱顶区域受力，但却是以牺牲拱脚处受力为代价。

(3)为简化设计，针对小跨径钢管混凝土拱桥，建议选择抛物线作为其拱轴线形。

5 结论

以拱轴系数计算原理为基础，在对比分析最小弯曲能量法“压力线与拱轴线偏离最小法”两种拱轴系数优化算法优缺点的基础上，结合APDL参数化语言，采用“压力线与拱轴线偏离最小法”对某下承式钢管混凝土梁拱组合市政桥梁进行悬链线拱轴系数优化分析；并将圆弧线、抛物线及优化后的悬链线分别作为拱轴线进行拱肋计算分析，对比分析各状态下主拱各截面偏心距以获取适用于本工程的最优拱轴线形。最终结论总结如下：

(1)“压力线与拱轴线偏离最小法”避开了最小弯曲能量法的复杂积分运算，基于该方法对拱轴系数进行优化，经过6次迭代可得到合理拱轴系数，降低了主拱肋正、负弯矩达25%左右，显著改善了拱圈的受力状态。

(2)分别选取圆弧线、抛物线及优化后拱轴系数m=1.054的悬链线三种线形作为拱轴线，开展主拱各截面偏心距对比分析，抛物线与悬链线拱肋偏心距基本一致，两者拱肋弯矩数值也基本相等。

(3)拱脚区域，圆弧线拱肋偏心距为8.6cm，在拱脚产生的弯矩值为949kN·m；而抛物线和悬链线拱肋偏心距相对较小，分别为0.4cm和1.2cm，两者在拱脚处均产生相对较小弯矩值，分别为330kN·m和577kN·m。拱顶区域，圆弧线拱肋偏心距为11.4cm，拱顶处弯矩值为1728 kN·m；而抛物线和悬链线拱肋偏心距相对较大，分别为16.1cm和17.0cm，导致两者均在拱顶处产生相对较大的弯矩，数值分别为2372kN·m和2483kN·m。综上所述，小跨径拱桥拱轴线采用圆弧线时，较采用抛物线与悬链线，可改善拱肋拱顶区域受力，但却是以牺牲拱脚处受力为代价。

(4)综合考虑施工的方便性及拱肋的受力性能后，本桥拱肋最终采用抛物线作为拱肋线形。为计算方便，在设计时，建议选择抛物线作为小跨径钢管混凝土拱桥拱轴线形。