“概念”的生成过程

□郜舒竹

我国数学课程与教学的传统，通常把课程内容的教学分为概念教学、计算教学、解题教学等。其中的概念通常指的是用某词汇表达的对象或关系，比如分数概念、比的概念、平行的概念、周长的概念、面积的概念等。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011课标》）中，类似于此的表述共出现38处。

这样的表述，表达的是概念在语言和内容方面的意义，是把概念视为前人“既定（Pre-given）”的、写在教科书里的知识，处于认知主体身外、等待获取或“被教（Be Taught）”的“对象（Object）”。

事实上，“概念”一词除了这种“外在（External）”的意义，还有“内在（Internal）”的、思维的意义。概念是认知主体在认知过程中逐渐形成的思维形式，是一种生成（Enactive）或建构（Construction）。为了把这样的认识用于数学课程与教学中学习活动的设计，首先需要梳理这种生成的过程。

一、感知生成意义

数学学习的过程实质是“认知（Cognition）”的过程，自然也是认知主体提升认知能力的过程。研究认知过程的科学叫作“认知科学（Cognitive Science）”。认知过程的起始是“感知（Sensation）”，利用身体上的感觉器官去感觉。在此基础上实现“知”，也即使得认知对象在人头脑中“有意义（Sense Making）”。

（一）三个反例

如果视觉中出现汉字“円”，这个汉字就是认知对象，如果之前对这个汉字毫无经验，此时通过视觉可以“感觉（Feel）”到这个汉字的存在。除此之外，对于这个汉字的发音、含义、用途以及与其他汉字的关系等等，均一无所知。也就是感觉到其存在的同时，头脑中没有出现任何活动（Action in mind）。这种感知的过程，对于作为认知主体的人来说，就没有生成意义。可以称之为“有感无知”的过程。

再比如，乘坐诸如地铁等公共交通工具时，经常会听到播音通知：“下一站将开启右侧车门。”听到这句话，人们仍然难以判断下一站会开哪一侧门，虽然有意义，但意义模糊，对于“右侧”这个词汇的感知不清晰。

原因是诸如左、右这样描述空间位置的词汇，具有“涉身（Embodied）”的特点，涉身也可以叫作“具身”，意思是“涉及身体”。站在地铁车厢中，身体面向行驶方向和背向行驶方向，右侧所指的方位是不同的。因此感知过程中生成的意义出现差异，也叫作歧义。虽然有意义，但“意义模糊（Ambiguity）”。

小学二年级学生刚刚开始学习乘法时，可以知道“乘”表示相同加数求和。如果把汉字“乘”看作学生的认知对象，学生并不是第一次感知，已有经验中有“乘车”或“乘风破浪”的意义。这样的意义与“相同加数求和”，从感官上找不到任何关系，头脑中也无法使二者建立联系，学生自然会产生难以接受或疑惑的感觉。这反映出感知中的意义相离或相悖的现象，也就是所感与所知相互冲突的现象，可以叫作“认知冲突（Cognitive Conflict）”。

以上三个案例分别归纳出感知过程中的三类现象：有感无知、意义模糊和认知冲突。这些现象都是负面的，都具有“不明白”的特征。对这些现象的挖掘与分析，可以从反面提升对于感知过程的理解。因此需要进一步研究的问题（Research Question）是：

·如何能够使得感知过程自然而然地生成意义？换言之，意义生成需要什么样的条件？

（二）意义生成

图1 日元纸币示意图

面对孤立的汉字“円”，人们会出现有感无知的现象。如果以日元纸币（如图1）加以呈现，那么视觉中出现的不再是孤立的汉字“円”，而是一张日元纸币，纸币中不仅包含汉字“円”，还包含许多其他内容，这些内容提供的信息相互关联，成为一个类似于上、下文关系的“背景（Context）”，对认知主体呈现出更丰富的“供给（Affordance）”。使得认知主体自然而然地、无意识地生成“円”的意义。比如：

·“円”是表达日元钱币的单位。

·“円”与中国钱币中“元”或“圆”的作用类似。

因此，将认知对象“嵌入（Embedding）”它所在的背景，就成为感知过程中意义生成的条件或方法之一。

在地铁车厢中听到的播音“下一站将开启右侧车门”这句话，如果增加一个“提示（Prompt）”：身体面向行驶方向。这时“下一站将开启右侧车门”这句话中的“右侧”，就与身体的姿态建立了联系，成为“我的右侧”，利用身体上“右臂、右手”的指向，生成了“右侧”的意义。

这个涉身的感知过程，未必一定要在地铁车厢中亲身经历，可以在头脑中想象，这种对真实状态想象的过程，叫作“思维模拟（Mind Simulation）”。

关于“乘”的认知冲突现象，如果增加一个提示：汉字通常具有象形的特点，“乘”最初的形状是“人在树上”[1]。人从地面爬到树上，隐含着“升高”的意义，因此可以想到“乘车”与“乘风破浪”中的“乘”，都有升高的意思，这或许也是通常语言中常说“上车”和“下车”的原因。自然数的乘法，表示相同加数求和，也就是成倍增加的意思，与升高意义接近。这样就使得“乘”的字义与数学术语的意义建立了联系。

“人在树上”体现的是人的身体与树的一种“空间关系（Spatial Relation）”，这样的关系让人头脑中呈现出“爬树”的过程，爬树的过程给出了人身体“升高”的信息，升高就是“增加高度”的意义。因此使得“人在树上”的状态，与作为语言文字的“乘”的字义建立了对应（Mapping），这样的对应在认知科学中叫作“隐喻（Metaphor）”。

（三）参照

综上可以总结出使得感知过程有意义的三种条件。第一是将感知对象“嵌入”背景，使得认知对象与相关对象之间的关系显现出来；第二是将认知对象“涉身”，也即使认知对象与认知主体的身体以及身体的活动建立联系，借助身体以及身体活动的经验使得意义生成；第三是“隐喻”，将认知对象与另外一个熟知领域的对象建立对应关系，利用熟知领域对象的意义，使得认知对象的意义得以生成。

更概括地说，使得认知对象的意义生成需要有关联的“参照（Referents）”。“嵌入”的参照是嵌入的背景以及其中的内容；“涉身”的参照是自身的身体；“隐喻”的参照是另外一个熟知领域以及其中的对象。

意义生成是感知的关键，是认知过程逐步深入不可逾越的阶段。教师的教学应当特别重视每一位学生感知过程中的意义生成。课程设计的一个重要维度，是对于每一位学生在感知过程中意义生成的活动进行设计。

二、意义生成类思维

意义生成之后，不是以静态的形式，孤立地存在于头脑之中，而是以动态的形式，与已有经验中的其他意义相互连接、相互影响，因此就形成了“类（Classification）”的思维形式。

（一）类思维

看见“白马”，会出现两个意义：第一是颜色“白”的意义；第二是动物“马”的意义。如果与经验中其他的白色动物、事物建立联系，就形成以颜色“白”的意义为主的类的思维；如果与经验中的动物“马”建立联系，就形成以“马”的意义为主的类的思维。

这里所说的“类”，并非一种客观存在的事物，人运用感觉器官是无法感知到类的存在的，看见马，只是个别的马，而不是马的类。因此“类”是在感知过程中，伴随着意义生成的同时，意识中出现的思维形式，是由多种思维活动交织而成的。接下来的问题是，“类”作为思维形式所蕴含的思维活动是什么样的？

对于汉字“円”，在日元纸币作为参照时，生成“日元单位”的意义，这样的意义生成与认知主体关于其他货币单位的经验直接相关，比如人民币单位、美元单位、英镑单位等。因此“円”作为日元单位的意义是与已有经验中其他货币单位并存与互动的。类的思维形式可以进一步细化为如下的思维活动：求同（Identification）、辨别（Discrimination）、提取（Abstraction）、泛化（Generalization）。

（二）“类”的思维活动

求同的思维活动，指的是从差异中意识到相同属性的思维活动，也叫作“异中求同”，“类”作为一种思维形式，隐含着异中求同的思维活动。看见白马、黑马、黄马，自然想到其共同意义，都是“马”。

日元、人民币、美元、英镑等，在纸币形式、图案、内容、价值等许多方面都有差异，但无论哪个国家的货币，其共同意义都是“钱”，作用是相同的，都是交易的媒介、价值的象征。“円”意义生成的过程，其实伴随着与经验中其他货币共同属性相互联系的思维活动，也就是异中求同的思维活动。这样的思维活动往往是自然而然、无意识地发生的。

“辨别”作为思维活动，实质是“求异”，就像从一箱苹果中挑拣出烂苹果的过程。看见白马和黑马，知道虽然都是马，但颜色不同。日元纸币对于感知主体，给出许多信息，包括形状、大小、颜色、图案等；除了“円”，还有诸如“日本银行”“1000”等汉字和数。从诸多信息中辨别出“円”有“日元单位”的意义，关键是“千円”的表达方式，“千”作为表达数的汉字，与“円”并列相邻成为一个词汇，使得“円”作为单位的意义得以体现。

像这样，在诸多信息以及信息之间的关联中，生成满足自身需求的意义的思维活动，就是辨别。就像面对一对双胞胎同学，大家会不由自主地去关注他们的差异，因此“辨别”也可以叫作“同中求异”。

“提取”作为思维活动，也叫作“抽象”，是在求同与辨别的基础上，依据个人需求或偏好（Preference），忽略一些意义，专注于个别意义的思维活动。看见白马，既可以提取“白”的意义，也可以提取“马”的意义。对于日元纸币，忽略形状、样式、颜色、大小、汉字、数、人物等，仅关注“日元单位”这个意义，这样的关注实质是与经验中其他货币单位的意义求同，所以抽象从字面上可以理解为“抽取相像”。

“泛化”也可以叫作“一般化”或“推广”，是将较小范围的意义扩充为更大范围意义的思维活动，是前面求同、辨别和提取活动的综合。如果从白马提取出“白”的意义，自然就会泛化到“白猫、白熊”等一切具有白色的动物、事物。

从日元单位联想到人民币单位、美元单位、英镑单位，这样的联想是求同的思维活动；忽略国别的意义，是辨别和提取的思维活动。在此基础上，思维中形成了更大的、具有相同属性的意义，这个更大的意义可以涵盖所有国家的货币单位。日元单位、人民币单位、美元单位、英镑单位等等，都成为“货币单位”这一意义下的个案。像这样把“日元单位”拓展为“货币单位”的思维活动，就是泛化的思维活动。

（三）整体与部分

“类”作为思维形式，概括来说，就是感知与经验中“多”与“一”相互关联、相互转化的思维。“一”是一个“整体（Whole）”，“多”中的每一个都是整体中的一个“局部（Part）”。“白马、黑马、黄马”等很多马，都是“马”这个整体的局部；“日元、人民币、美元、英镑”等很多国家的钱，都是“货币”这个整体的局部。

地铁中听到的“右侧”，从涉身的角度，身体有“右”，自然还有“左”。更进一步还有：上、下、前、后。这些以身体为参照的“方位（Orientation）”，自然就归为一个整体，上、下、前、后、左、右分别成为“方位”这个整体的局部，其共同意义在于确定涉身的方向与位置，成为以“我”的身体为中心的空间关系。

前面所说的“乘”，有“人在树上”的意义，由此联想到爬树的动作，进一步联想到身体和物体的“运动（Movement）”或“变换（Transformation）”。诸如方向、时间、位置、距离、速度、平移、旋转、对称等，都与运动与变换有关，都可以归为“运动”和“变换”的整体之中。

凡此，都反映出类的思维形式，可以概括出四点认识：第一，类的思维源于感知对象的意义生成；第二，类的思维是感知与经验中意义的关联与互动；第三，类的思维是诸如“求同、辨别、提取、泛化”等多种思维活动的交互；第四，类的思维实质是整体与局部的关系的思维。

三、类思维生成概念

（一）概念

人通过感知，对于感知对象生成意义，进而通过意义之间的关联，形成“类”的思维。这种头脑中类的思维逐渐稳定、确定下来，就形成了“概念（Concept）”，也就是“概括的观念”。因此可以说：概念就是聚焦于某种意义的类的思维形式。

如果给这样的概念赋予语言或符号的名称，就形成了外在于头脑，具有语言意义的概念，可以通过语言意义的传递，成为所有人思维中共同的概念。因此，通常所说的“概念”这一词汇，有两方面的含义：第一，是头脑中类的思维形式；第二，是语言或符号所指称对象的意义（以下简称“语义”）。

数学教学与数学的发生与发展不同，学生是从教科书或教师提供的语言、符号的感知开始，而且感知过程往往脱离了语义本身的认知来源，造成的结果是认知停留在语义和语义间的转换，并没有通过亲身的感知过程形成思维形式的概念。

语义概念的来源，大致有两种：具体的（Grounding）和抽象的（Abstract）。概念属性的差异导致其形成方式也是不同的。

（二）具体

如果概念的语义指称的对象可见（Visible）、可触（Touchable），也就是“可感知（Sensible）”的，这样的概念就叫作“具体的”。

比如饮水是人日常反复出现、非常熟悉的涉身活动，提及“水杯”，即便面前没有实物，也会不知不觉、无意识地（Unconsciously）在头脑中浮现出类似于“”的影像。因此“水杯”这一词汇所表达的概念，对于具有饮水经验的人来说，就是具体的。

面对表达具体概念的词汇，头脑中所产生的影像，也叫作“意象（Image）”。需要指出的是，概念指称的对象不是一个，而是一类。由于不同的人饮水的经验会有差异，熟悉的饮水工具也有不同，因此意象具有主观性和差异性，同样的“水杯”，不同的人产生的意象也会有差异。

还有一类词汇指称的对象，不是像水杯那样“静态（Static）”的对象，而是“动态（Dynamic）”的一系列“动作（Action）”。比如“喝水”，其中就会包括“拿水杯―举水杯—水入嘴”等动作，这样一系列的动作反映在头脑中的影像，不是一个孤立存在的意象，而是若干意象的动态连接。

这样一系列意象动态连接的影像，可以叫作“意境（Imagery）”，即意念中的情境。与意象类似，同样具有可感知、具体的特点。具体概念的特点是具有涉身性，直接与人在具体环境中的感知活动相关，因此相对比较易于理解。

（三）建构

除了具体的概念，还有一种概念，其语义所指对象不具备具体、可感知的特征，是人依据需求或偏好，在已有概念基础上，人为规定出来的，是从概念生成出来的新概念，也叫作“建构（Construction）”。

比如人用餐时用到“碗”，因此有碗的概念，同时还会用到“筷子、勺子”等，类似于“碗、筷子、勺子”这样的概念所指称的对象，从感知的角度说，颜色、形状、材料等都不相同，但用餐活动中都会使用，都隶属于“用餐”活动，其共性为“用餐工具”，这种求同的思维活动就建构出新的概念，可以命名为“餐具”，将所有用餐中使用的工具统一为一个更大的类。

逻辑学中把这个表达更大类的概念叫作“属概念（Genus）”，产生这个属概念的概念叫作“种概念（Species）”。二者指称的对象具有包含与被包含的关系，也就是前面论及的整体与局部的关系。就像由碗、筷子、勺子这些概念产生了餐具的概念，餐具就是属概念，碗、筷子、勺子就是相应的种概念。种概念与属概念构成了局部与整体的关系。

建构概念的过程是“人为的（Artificial）”，往往脱离客观世界的感知，更多依赖人的情感、思维、习惯、需求、偏好等人文因素。对于此类概念的深入理解，实质是对“人文性（Humanity）”的理解。

比如英文词汇“Breakfast”是人建构出来的概念，表达中文词汇“早餐”的意思，这样的理解仅仅是停留在语义转换上，并没有生成人文性的意义。如果把“Breakfast”变形为两个词汇的组合：“Break-Fast”，其中“Break”有“打破”的意思，“Fast”作为名词有“斋戒”的意思，此时“Breakfast”就是“结束斋戒”的意思。宗教文化中，斋戒期间禁食，斋戒结束自然是开始进食的意思，因此用“Breakfast”指称每天第一餐，也就顺理成章了。中文一日三餐是用“早、午、晚”的时间进行区分，而英文并非如此。这也反映出建构概念的人文性差异，也可以叫作文化差异。

数学课程内容中建构的概念极其普遍，比如在自然数概念的基础上，古希腊时期的人，希望找到制约无限多自然数最少、最微小的元素，就把像“2，3，5”这样不能分解为两个因数乘积的数（1除外），视为最微小的元素，从全体自然数中提取出来成为一个类，命名为“质数（Primary Number）”，建构出了质数的概念。不是质数的数，也就是可以再分的数，成为与之相对的另外一个概念，叫作“合数（Composite Number）”，历史上并没有“1 既不是质数，也不是合数”的说法，起初人们是把“1”当作质数的。[2]类似这样的概念，与人的感知活动没有直接关系，是人为的建构，这样的建构源于人的心理愿望，这样的愿望体现了建构过程的人文性，也就是概念的参照。

（四）思想与概念

还有一些概念也是人为建构的，指称最原始的范畴。这些概念不是在已有概念基础上建构的，而是源于人的“思想（Thought）”，是最原始的“意识（Idea）”，几乎没有任何“参照”与之直接相关。比如空间（Space）、时间（Time）、数（Number）。

英国18 世纪科学史学家胡威立（William Whewell，1794-1866）在《科学思想史》一书中专门论述，像“空间、时间、数”这些概念，在现实世界中全然感知不到，是思想中的意识所形成的概念，叫作“先验的（Transcendental/Priori）”。书中将人的认知对象分为“思想（Thought）”和“东 西（Thing）”，“东西”指的是可感知的对象，而思想是“……属于自己的；是在自身中发生的；是自己思考的；是头脑中的行动”。［3］这样的思想既可以看作结果，也可以看作过程。美国20世纪哲学家约翰·杜威（John Dewey，1859-1952），把“数”这样先验的概念叫作“理性过程（Rational Process）”，而非“事实感知（Sense Fact）”。［4］

·如果问：什么是数？

·可能的回答：“6”是数。

事实上，6是表达某数的符号，是数的一种“表征（Representation）”形式，本身并不是数，类似的表征形式还可以是“六、Six”等。数作为先验的概念，是存在于人意识中的思想，也可以视为思想的产物。约翰·杜威专门写了一本名为《数的心理学及其教学应用》的书，讨论数这一概念作为思想，其产生的心理基础。

类似的例子在社会科学中极其普遍，比如“Life”，可以知道对应的中文是“生活”或“生命”等，但头脑中很难出现相对确定的意象或意境与之对应。同样也很难找到比较明确的种概念或属概念与之构成种属关系，这样的概念都是先验的，同时也是空无的，就像“天空”一词，因为“天”是一个先验的概念，所以“天”的意义是“空”。关于“空间”一词，人们对自己周围的认识只能通过对象与对象“间”的关系进行描述，其他都为“空”。

《2011 课标》前言第一句话是：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”这也就意味着，数学学习需要学习如何研究数量关系和空间形式。鉴于其中的“数”和“空间”都是原始的、思想的概念，究竟应当如何理解，其实是需要认真研究的问题。

综上，概念一词具有双重含义，一种是思维形式的概念，另一种是语义的概念。《2011 课标》中出现的38 个概念，并不是认知过程中思维形式的概念，而是语义的概念。对于语义的概念，仅依赖“被教”获得语义是不够的，需要通过认知过程的亲历，成为思维中的生成，真正成为思维形式的概念。

概念教学设计的基本思路是感知生成意义，意义关联生成类，固化命名建构概念。通过这样的过程，将概念的双重含义统一起来，让概念成为学生头脑中的生成，成为思维形式的概念，这样就可理解为：概念认知过程同时也是思维发展过程。