基于破产模型的高等教育资源Shapley值分配研究——以高考招生计划分配为例

魏 针，李登峰，余高锋

(1.福州大学经济与管理学院，福建福州 350108； 2.福建省教育考试院，福建福州 350003)

招生计划编制工作对高等教育综合改革和国家人才战略部署具有深远的影响。当前，社会高速发展对招生计划分配的合理性和有效性提出了新挑战：第一，生源总体规模下降和高校招生规模扩大的冲突，增加招生计划分配的难度；第二，为了追求利益最大化，高校与省级教育行政部门博弈时可能夸大对自己有利的信息，从而影响招生计划分配的公平性，影响高校的长远发展；第三，政策、综合评价等因素的复杂性将降低招生计划分配的效率，可能影响招生录取工作。

针对上述问题，国内学者开展了一系列相关研究，主要包括：一是采用定量方法研究全国或高校层面的招生计划分配，如模糊指标评价方法[1]、层次分析法[2]、数据包络分析[3]、基于合作博弈的APL规则[4]。二是研究特殊类型计划的分配，如高校专项计划[5]、协作计划[6]。三是对招生计划分配的评价和理论研究，有王光荣等针对优质高等教育招生计划属地化倾向突出的问题，提出各省优质教育招生录取率应大体一致的目标[7]；杨艳飞从法理层面提出实现招生计划分配制度公平的措施[8]；廖素娴等提出加强招生计划分配顶层设计、动态调整和寻求与培养计划适应的内涵发展等政策建议[9]。以往研究主要集中在全国层面和高校层面的计划分配或特殊类型的计划分配(如协作计划、专项计划等)，而较少从省级教育行政部门层面研究招生计划分配。作为教育部与省属高校的桥梁，省级教育行政部门对协调省属高校的高考招生计划分配具有决策作用。从省级教育行政部门层面，采用合作博弈框架下的破产理论研究省属高校高考招生计划分配破产模型和Shapley值分配算法，可为省级教育行政部门的决策提供参考依据。

一、破产问题及破产博弈

1.破产问题

破产问题是研究总资源无法满足所有参与人需求时，如何寻找一种合理的规则进行资源分配的问题。类似于公司破产“资不抵债”时的清算资产分配问题，资源不足的分配问题被形象地称作破产问题。1982年，O’Neill首次将破产问题纳入合作博弈领域，提出与破产问题相关联的合作博弈模型，论证递归完成规则(RC)与合作博弈的Shapley值一致[10]。之后，学者们引入各种解概念(如核仁[11]、τ值[12]等)对分配解进行公理化刻画，并应用于解决实际问题，如博物馆通票收益分配[13]、税收分配[14]、稀缺水资源分配[15]和出租车合乘费用分摊[16]等。

定义破产问题(N,c,E)，带影响因子的破产问题(N,c,a,E)，要求满足[10]：

(1)

(2)

2.破产博弈

对于任意的破产问题(N,c,E)都有一个与之相应的合作博弈模型(破产博弈)[10]表示为υ。N={1,2,…,n}表示局中人集合，即债权人集合。n表示局中人的个数，S∈2N表示集合N的子集，称为局中人的联盟，即S⊆N。当S=N时，称为大联盟。υ(S)是联盟的特征函数，即联盟S的价值。破产博弈的特征函数υ(S)表示为[10]：

(3)

二、省属高校高考招生计划分配破产模型

1.招生计划分配破产问题的描述

省级教育行政部门根据国家核定的属地招生计划总量，指导和协调本地高等学校编制招生计划。在进行招生计划分配前，省级教育行政部门要求省属高校如实申报招生计划的需求量，但每年高校申报计划量之和超过核定的计划总量，即国家核定的招生计划总规模无法满足所有高校的需求。因此，当招生计划总规模不足时，省级教育行政部门如何进行招生计划分配就是一个破产问题。

省级教育行政部门从高校办学水平、区域经济发展需要和社会评价等方面对省属高校进行综合评价，结合综合评价结果和高校申报计划量进行计划分配。魏针等构建了3个一级指标和10个二级指标的高校综合评价指标体系，并采用相对比值法进行综合评价[17]，计算的相对比值ξi≤0作为综合评价结果，ξi越大，即越接近0，表示高校的综合评价结果越优，因此，笔者将综合评价结果作为已知量使用。招生计划分配的破产问题引入高校综合评价结果这一重要的影响因子向量，由此，招生计划分配问题是带影响因子的破产问题。

2.招生计划分配破产模型的构建

(4)

3.招生计划分配破产模型Shapley值分配算法

选择Shapley值作为分配规则是因为凸博弈的Shapley值位于核心，处于核心的分配解是稳定的，也就是说，联盟中的参与人都认为自己被公平对待，得到应得的那一部分联盟剩余，因此体现所有联盟对当前的分配收益都比较满意。计划分配结果能使所有联盟整体满意很重要，体现招生计划分配的合理性，有利于决策主体与高校的和谐发展。因此，研究招生计划Shapley值分配算法。

(5)

招生计划破产模型的特征函数υ(S)定义为:

定义S∈2N表示集合N的子集，N为大联盟,Ni表示不包含高校i的子集，s表示集合S的高校个数，省属高校的Shapley值为：

i∈N

(7)

招生计划分配的破产模型Shapley值的分配结果是实数，而招生计划以人为单位，分配结果要求为非负整数，根据魏针等提出的方法[17]对Shapley值的分配结果进行整数处理。整数处理目的在于高校分配到的招生计划为整数，由于高校的招生计划均有一定规模，增加或减少一个计划不影响整体分配结果，适用于招生计划分配的实际问题。

4.Shapley值分配解的性质及现实意义

研究特征函数为式(6)的招生计划破产博弈υ是凸博弈。

定理2：特征函数定义式(6)的带影响因子ξ招生计划分配的破产博弈υ是凸博弈。

证明：带影响因子ξ的招生计划分配的破产模型(N,c,ξ,E)满足条件：

那么

由于h和μ是常量，可得，

因此，招生计划分配的破产问题(N,c′,E)的特征函数就是带影响因子ξ的招生计划分配的破产模型(N,c,ξ,E)的特征函数。那么，破产模型(N,c,ξ,E)可转化为破产模型(N,c′,E)。破产问题(N,c′,E)对应的破产博弈是凸博弈，因此带影响因子ξ的招生计划破产博弈υ是凸博弈。定理2得证。

Shapley值满足存在性、唯一性、有效性、匿名性、可加性和虚拟局中人性，因此招生计划破产博弈模型的Shapley值具有这些性质。由于招生计划破产博弈是凸博弈，凸博弈具有超可加性，若合作博弈具有超可加性，那么Shapley值分配解具有个体理性。因此，招生计划破产模型的Shapley值还满足个体理性。招生计划破产模型的Shapley值分配解具有以下的现实意义。

一是分配解的存在性和唯一性，说明分配方案是可行和合理的，招生计划分配具有可操作性。

二是分配解的个体理性说明局中人参与联盟后得到的盈利不比个人单干少，保证了大联盟的稳定，局中人偏离大联盟的可能性小。对于参与招生计划分配的高校来说，他们参与其中的所得不低于单干，反映高校对分配结果是认可和满意的。

表1 2017—2019年某省份省属高校招生计划分配的已知量 单位：人

三是分配解的有效性，说明分配方案是稳定的，即大联盟的所有财富可以完全分配给所有局中人，保证核定的计划总量完全分配给省属高校。若高校分配的计划之和大于核定的计划总量是不现实的，但若小于核定的计划总量，将造成招生计划的浪费，可能引起高校和社会的不满和冲突，这样的方案是不稳定的。

四是分配解的匿名性，说明博弈中若任意两个局中人的地位或起的作用相同，他们将得到一样的盈利。公平性和客观性是招生计划分配工作的重点，匿名性体现招生计划分配中任意两所地位相同或角色相同的高校，即招生计划分配考虑的各项指标相同，按照Shapley值规则将分配到同等份额的计划量，体现Shapley分配解的公平性。

五是分配解的虚拟局中人性，表明没有做出贡献的局中人将得不到任何收益，不论它是否参与联盟，都不影响联盟的收益和分配结果。招生计划分配中，被暂停招生的高校，不论是否参与招生计划分配,都不能获得任何计划量，且不影响其他高校的分配结果。

三、实例分析

2017—2019年某省份参与招生计划分配的省属本科高校有20所，已知综合评价结果ξi、申报计划量ci、毕业生数bi、招生计划实际分配结果和院校类型(其中，类型5为正常招生高校、类型4为限制招生高校、类型3为暂停招生高校)。招生计划实际分配结果用于与Shapley值分配结果比较，验证模型的合理性和可行性(表1～2)。

下面，以2017年为例介绍破产模型构建和Shapley值分配的具体步骤。

1.建立招生计划分配的破产模型

表2 2017—2019年招生计划实际分配结果和Shapley值分配结果比较 单位：人

2.采用Shapley值分配招生计划

采用visual foxpro软件编程计算220个联盟的特征函数及Shapley值，程序建立两个数组：第一个数组存储220对应的二进制数，每个二进制数表示一个联盟，二进制的0或1表示对应位置的局中人不参与或参与联盟，例如00000000000000000111，表示联盟{1,2,3}；将第一个数组映射到另一个长度为220的数组，该数组存储对应联盟的特征函数υ(S)。计算υ(S∪i)-υ(S)时，提取局中人i对应位置为1的数组值，即υ(S∪i)，υ(S)为局中人i对应位置为0的数组值，根据式(7)计算Shapley值。采用整数处理方法，得到Shapley值的分配结果。

同理可得，2018年和2019年的Shapley值分配结果和残差分布(表2、图1～2)。

图1 2017—2019年实际分配结果和Shapley值分配结果比较

图2 2017—2019年实际分配结果和Shapley值分配结果的残差分布

根据表2和图1可知，采用Shapley值的分配结果与实际分配结果的趋势总体一致，2017—2019年的残差绝对值之和分别为2 778、2 336和3 038，分别占核定计划总量的3.84%、3.12%和4.09%，平均误差分别为138.9、116.8和151.9，说明本文模型在实际应用中具有合理性和可操作性。

从图2可知，误差总体集中分布在横坐标上下，院校20为暂停招生院校，Shapley值分配结果为0，符合政策要求，根据Shapley值的虚拟局中人性，剔除院校20进行重新分配，其他19所院校的分配结果不变；院校5、院校7和院校14为限制招生院校，Shapley值分配结果符合政策要求，即均低于毕业生数。同时，综合评价结果作为分配的重要因子，对综合评价结果好的院校起到激励作用，而对综合评价结果较差的院校起到惩罚作用，例如院校10和院校2的综合评价结果最优，Shapley值的分配结果非常接近高校的申报计划量，尽管院校2误差值较大，如2017年为419，但这正是体现模型对综合评价优的高校有激励作用；院校17作为综合评价较差的院校应有一定惩罚，但2017—2019年实际分配结果均等于申报计划量，而Shapley值分配结果均低于申报计划量，显然比实际分配结果更加合理。另外，由于决策者的主观偏好和知识水平限制、多方利益博弈等因素影响，可能造成Shapley值分配结果与实际分配结果的偏差。综合所述，采用Shapley值分配方法不仅有效避免分配过程中主观因素影响，更加便捷地分配招生计划，提高工作的准确性和效率，对决策者的实际分配具有重要的指导意义。

基于实例分析结果，提出以下政策建议：第一，通过招生计划分配的手段，激励高校调整和优化学科结构，加强内涵建设。省级教育行政部门应加强政策引导和宣传，强化高校基本办学条件、毕业生就业等因素对招生计划分配的影响和作用，引导高校优化学科结构，激励高校加强硬件设施建设和内涵建设。第二，制定招生计划分配的奖惩机制。省级教育行政部门在招生计划分配时，对综合评价结果较好的高校应给予一定的奖励措施，如增加招生计划；反之，综合评价结果较差的高校应给予一定的惩罚措施，如扣减招生计划。通过建立的奖惩机制，进一步引导高校加强内涵建设，合理获得更多的招生计划。第三，加强综合评估，引导高校诚信申报招生计划。省级教育行政部门应加强对高校的综合评估工作，真实掌握高校对招生计划的实际需求，制定相应的政策和惩罚措施，引导高校诚实、合理地申报招生计划，确保招生计划分配的公平性和合理性。