转向节主销与转向轮间转向运动及转角误差分析＊

王成志 王云超

（集美大学，厦门 361021）

主题词：转向梯形 定位角参数 运动分析 转角误差 转角计算误差

1 前言

转向机构运动设计与车轮实际转角和理想转角的计算有关，这两者的计算误差必然影响车辆转向机构的设计。车轮实际转角涉及左、右主销之间和主销与车轮之间2类运动传递。前者的相关研究文献较多，计算模型有近似的平面模型[1-3]和精确的空间模型[4-5]；后者与车辆转向轮的主销内倾角、主销后倾角、车轮外倾角与前束角这4 个定位角参数有关，严格来说，目前还缺乏其运动的精确计算模型。对断开式车桥的转向梯形进行运动分析时，一般直接用转向轮车轮轴在水平面内的转角变化作为车轮转角[6-7]。而整体式车桥的转向梯形运动分析则分为多种情况：许多文献[1-5]并不考虑主销与车轮之间的运动差异；文献[8]、文献[9]等将主销转角按水平角速度分量分解获得车轮转角，但只考虑主销内倾与主销后倾的影响；文献[10]等提出的球面三角学计算模型由于考虑了外倾角对转动的影响，计算精度明显提高，但依然忽略了车轮前束角对转向的影响。另外，用球面三角学建立的模型没有解析的反解，也未考虑初始前束角影响。如果使用存在误差的计算模型进行优化设计，会影响设计精度或影响对车辆运动性能的判断[11]。

理想转角采用阿克曼理想转向条件计算时，主销中心距或轮距K和车辆轴距L有多种不同定义，有些定义会给理想转角自身带来计算误差[12-13]。

本文重点建立考虑4个定位角参数的车轮转角计算数学模型，以此为基础，分析用各种模型计算转角时转向机构中各部分计算误差，并分析误差对机构总转角误差的影响，根据获得的接地点坐标定义合理的K、L取值。

2 主销及车轮运动模型

2.1 几何分析原理

车辆转向轮的主销内倾角α0、主销后倾角β0、车轮外倾角λ0与前束角τ0等的定义如图1所示。图1中，DC为主销轴线，D点为主销轴线与车轮旋转轴线的交点，点M0为车轮轮心，D与M0的距离为m（DM0连线为车辆直行时的车轮轴线初始位置）。主销转动360°时，轮心M0则绕主销转动1周，形成的轨迹是圆心在主销轴线上以O为圆心，半径为mr的空间圆ζ；而车轮轴线形成一个以DM0为母线，底圆为ζ，半顶角为φ的虚拟正圆锥体。

图1 定位参数及车轮轮心轨迹

在图1的D点建立如图所示的DxLyLzL坐标系，将空间圆ζ沿zL负方向拉伸或投影到水平地面H上，得到图2所示的椭圆柱体。以ζ的圆心O为原点建立坐标系OXLYLZL，ZL轴与左主销重合，YL轴为圆锥底圆ζ所在斜面与W面（通过主销的竖直垂面，即YLZL平面）的交线OE（E点为底圆ζ的最高点），斜向上为正。YL轴线和车轮轴线DM0在水平面H上的投影分别为若左主销转动角度为θL，即在圆锥底圆ζ上从OM0转过角度θL到达OM（设车辆右转），则左车轮轴线位置DM0转到新位置DM，而在水平投影面上，左车轮轴线的投影从初始位置D′M0′转过角度δL到达D′M′、OM0的投影从转到O′M′。δL即为车轮绕垂直轴zL转过的角度，相当于θL的水平分量。这时OM与YL轴的夹角为θ，D′M′与D′O′的夹角为δ（δ相当于θ的水平分量，以点D在水平面的投影点D′为角的顶点），两者的对应关系可通过θ的投影角σ来关联。YL轴正向、D′O′（D′指向O′为正）是角度θ、δ的测量起始标示线，都位于通过左主销的竖直垂面W上。分别为θL、δL的测量起始标示线。

图2 左主销转角与左转向车轮转角投影关系

图3所示为右主销的几何投影关系。同理，假设右主销转动角度为θR，即在圆锥底圆上ORN0转过角度θR到达ORN（设车辆右转），则右车轮轴线从AN0转到AN，而在水平投影面上，右车轮轴线的投影从A′N0′转过δR到达A′N′，ORN0的投影从转到。这时ORN与YR轴、A′N′与的夹角分别为θ′、δ′，它们的测量起始标示线YR轴都位于通过右主销的竖直垂面W′上。

图3 右主销转角与右转向车轮转角的投影关系

显然，先要确定θ（θ′）与δ（δ′）的关系。

2.2 斜面角度投影及主销转角水平分量

在图1的DxLyLzL坐标系中，DO与DM0上的单位向量分别为：

式中，αβ=arctan(cosα0tanβ0)为主销轴线与其在yLzL平面上的投影间的夹角；λτ=arctan(cosλ0tanτ0)为车轮轴线与其在yLzL平面上的投影间的夹角。

依据式（1）和式（2），根据空间向量的夹角公式，圆锥的半顶角为：

式 中，χ=sinαβsinλτ+sinα0cosαβcosλ0cosλτ+cosα0cosαβsinλ0cosλτ为由4 个定位参数决定的半顶角的余弦。

从图2 中切出如图4a 所示的计算模型。为便于观察分析，将图2 中的圆锥体和椭圆柱体投影到W平面、XLYL平面和水平面H上，结果如图4b～图4d所示。

图4 左主销转角与左转向轮转角的几何关系

借助图4b可以求出图4a中的四边形EE1M1M（其中EE1和M1M都与E1M1垂直）中EE1、MM1的长度和。再由图4c求出----EM后，有：

式中，ε=arccos(cosα0cosαβ)为主销轴线与铅垂线的夹角。

在△OE1M1（即△O′E′M′）中，可以求出边长和，所以又有：

式中，ρ=sinεcosθ。

联合式（4）和式（5），整理可得：

式（6）为斜面角度沿垂直方向投影到水平面的投影方程。设λ1为任意位置车轮轴线与水平面的夹角，则=mcosλ1。所以，根据水平面的△OD1M1（即△O′D′M′），由余弦定理可得：

λ1也是文献[14]中定义的外倾角，考虑了转向过程中外倾角的变化。由于车轮轮心M与D点的高度差为所以也有：

根据△OD1M1各线段长度，有：

式（9）即为相对主销垂直面W的主销转角水平分量方程，水平分量的角度顶点D′是车轮轴线与主销轴线共点D在水平面的投影点。由式（9）反求θ：

式（10）有2 个解，互为补角，统一取“+”号。式（9）和式（10）即为斜面角度θ与其水平分量δ的相互映射关系式。对图3所示的右主销，用同样的方法可推导出同样的式（9）与式（10），只需将θ、δ分别用θ′、δ′代替即可。

显然，δ=f1(θ)、θ=f2(δ)均为变量θ或δ的偶函数，且δ=f1(θ)=f1(360˚+θ)=f1(360˚-θ)，θ=f2(δ)=f2(360˚+δ)=f2(360˚-δ)。

利用上述函数特性，可以求出车轮转角与主销转角，即δL和θL、δR和θR的相互映射运动关系式。

2.3 左转向轮转角与左主销转角的关系

为了考虑主销后倾及车轮前束对YL轴正向方位的影响，引入2个符号常数：

车轮轴线在初始位置（车辆直行）时，从图4中可以看出，其在水平面的投影D′M0′与W面的夹角为(δ0-sbτ0)（δ0为主销轴线在水平面投影与yL轴所夹锐角），按式（10）求出初始位置的θ记为θ0。以(δ0-sbτ0)和θ0为角度参考位置，即可求出δL和θL的关系。

由θL求δL时（称为左侧“销-轮”转角计算），先按θ=|sbstθ0-θL|用式（9）求得δ，则：

由δL求θL时（称为左侧“轮-销”转角计算），先按δ=|-sbδ0+τ0+δL|用式（10）求θ（如果δ＞180°，则θ取反再加360°，即360°-θ)，则：

2.4 右转向轮转角与右主销转角的关系

同理，先以(δ0-sbτ0)替换式（10）的δ求出θ0（左、右轮θ0相等）。以θ′=|sbstθ0+θR|替换式（9）的θ求得δ′。则右侧“销-轮”转角计算公式为：

以δ′=|sbδ0-τ0+δR|替换式（10）的δ求出θ′，则右侧“轮-销”转角计算公式为：

以上公式中，规定δL、θL、δR、θR右转为正，左转为负，4 个定位参数按图1 所示的偏斜方向为正。另外，求得的θL与θR、δL与δR均关于原点对称。

目前的文献中“轮-销”和“销-轮”的计算模型有3种：多数文献假设车轮转角等于主销转角（以下称“等同法”）；文献[8]、文献[9]等采用公式，实际就是按主销单位矢量的垂直分量分解，即θL=δL/(cosα0cosαβ），它是按将角速度分解为水平分量的思路分解的，并不是真正的角度水平分量（以下称“角速度分量法”）；文献[10]采用“球面法”。“球面法”被认为是根据主销转角计算转向轮转角最精确的计算模型。但须注意：文献[10]中主销后倾角的定义实际是本文的αβ，与国家标准[14]中的定义不同。

假设车辆4 个定位参数α0、β0、λ0、τ0如表1 所示，其中，δRdmax、δLdmax分别为内、外轮理想最大转角，分别用“球面法”模型与用本文“销-轮”模型计算转向轮转角值，以比较两者的差别。

表1 车辆基本特性参数

因左、右侧模型计算结果关于原点对称，这里仅讨论右“销-轮”计算模型。以右主销转角θR=-40˚～36˚为自变量，用各模型计算的右轮转角用δRi表示（用下标i区分各模型的计算值，i=0 表示本文计算模型，i=1 表示等同法，i=2表示角速度分量法，下同），其他方法与本文模型的差值曲线如图5所示（其中“球面法”表示左转的负转角公式原文献未提供，为本文增加的）。

图5 右侧“销-轮”各计算模型的计算误差

从图5 中可以看出，用“球面法”与用式（15）计算的转向轮转角的差值接近零（按实际数据查出，在θR=-40°～36°的转角范围内，两者最大差值为0.000 316°）。如果将τ0=0（“球面法”模型没有考虑前束的影响）代入式（15）中，则两者没有差值。

假设各杆件是刚体，不考虑各种力、变形或间隙影响，则车辆的主销与转向轮之间的运动转换关系理论上仅与4 个定位参数有关。本文计算公式中完全考虑了这4个因素，获得的车轮转角（δL、δR）是主销转角（θL、θR）真正的理论水平分量。

2.5 接地点相对坐标

对左轮（见图2），当车轮轴位于DM位置时，车轮与地面的接触点P（假设车轮是刚性的）显然位于垂直平面DMM′D′与地面水平面的交线D′M′上，且在该面上DM⊥MP。D′M′与轴（与yL平行）的夹角为(δL+τ0)（动态左前束角），故在图2 的坐标系DxLyLzL中，左车轮接地点P（相对于点D）的坐标为：

式中，r为车轮的轮辋半径或取轮胎半径；λ1的余弦和正弦见式（7）和式（8）。

求解时，左轮以δ=|-sbδ0+τ0+δL|代入式（10）求得θ，再带入式（7）或式（8）中求出λ1随车轮转角的变化规律，然后按式（17）求出P点相对坐标。

用同样方式可求出右车轮接地点Q相对于点A的坐标（图3右轮中取yR′∥yR，则A′N′与yR′轴夹角为(δR-τ0)）。

3 转角误差及转角计算误差

3.1 单侧转向轮转角误差计算模型

在优化设计转向机构时，一般是车辆一侧（如左主销或左车轮）按理想运动输入，将另一侧（如右主销或右车轮）机构输出的转角与理想转角比较获得转角误差。即：

式中，δLd=-δRdmax～δLdmax、δRd分别为左、右轮理想转角。

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3.2 转角的计算误差

式（18）中的机构转角δR和理想转角δRd与计算模型有关，都存在计算误差的问题。

3.2.1 理想转角及合理的L、K取值

转向系统的优化目标是保证左、右轮转向时的纯滚动关系，即δL、δR必须满足阿克曼理想转向条件：

本文同时考虑车辆的左、右转向，右转为正，左转为负，故不再区分内轮、外轮。

式（19）本身是精确的，但其中的L、K有多种定义[12-13]。不合理的定义会造成理想转角δRd出现计算误差。

如图6 所示，要保证转向轮纯滚动，按速度瞬心，左、右主销轴线与车轮旋转轴线的交点A、D点在水平地面的投影点与车轮接地点Q、P连线的延长线相交于后轴延长线的O点（水平地面投影点），故有：

图6 理想的内、外转向轮转角关系

根据式（17），左车轮轴线在水平地面上的投影与横向（AD线）的夹角为(δLd+τ0)。同样，右车轮轴线在水平地面上的投影与横向的夹角为(δRd-τ0)。因此，式（20）可改为：

车轮存在外倾导致其产生圆锥滚动，使车轮有向外滚动的趋势[15-16]。理想情况下，这一趋势要抵消前束产生的向内滚动，加上考虑到左、右车轮的相互牵制作用，可以消除式（21）中的前束角τ0。对比式（19）与式（21），可得到如下定义：K是两侧转向车轮轴线与对应主销的交点之间的距离，即；L是转向车轮轴线与主销的交点到过后轴竖直铅垂面的距离，即

另外，如果假设车轮转角（δL、δR）等于主销转角（θL、θR），从式（17）可知，上述定义依然成立。本文通过转向车轮接地点分析得到了K和L的理论值，以实现对理想转角较高精度的计算，而文献[12]、文献[13]则用图形分析或速度分析等方法得到了类似的结果。

3.2.2 转向机构转角的计算误差

单轴转向机构总转角计算误差ηT由3个部分组成：转向车轮与对应主销之间转角模型的计算误差（分别为“轮-销”和“销-轮”计算模型的转角计算误差ηL、ηR）和左、右主销之间的转角计算模型的计算误差ηM。

前文已经用“球面法”验证了本文主销与转向轮转角互算模型的正确性，因此，用前面3 种计算方法获得的转角值，减去用本文模型计算得到的转角值，得到的差值即可认为是各计算模型的转角计算误差。因球面法没有“轮-销”模型，后文将不再涉及。

第3部分计算误差ηM与具体机构有关，而且正确的空间模型理论上没有计算误差，平面模型与空间模型的差值就是平面模型的计算误差ηM。

转向梯形机构设计中，多数文献采用比较简单的平面模型[2-3]。而空间模型因推导较为复杂，目前的文献中没有明晰的空间梯形机构解析关系式。为便于分析及对比，以下直接列出图7 所示的空间RSSR（R 表示转动副，S表示球面副）转向梯形机构A1BCD1左、右主销转向运动关系式：

式中，T=(-1+2 sin2α0sin2αβ)sin(γ1+θL)-sin 2α0sinαβcos(γ1+θL)+d1/b1sinα0sinαβ；U=cos 2α0cos(γ1+θL)-sin 2α0sinαβsin(γ1+θL)-d1/b1cosα0；V=1-2(1-sin2α0cos2αβ)sin2γ1-2 cos2α0cos 2γ1+sin 2α0sinαβsin 2γ1+d1/b1cosα0(2 cosγ1-cos(γ1+θL))+d1/b1sinα0sinαβ(-2 sinγ1+sin(γ1+θL))；γ1为转向梯形底角；b1为球铰中心到主销的垂直距离（A1、D1为垂足），即梯形臂长；为梯形底边长；为转向节臂沿主销轴向偏移的长度。

式（22）有如下的通用解：

图7 车辆转向梯形机构

对于图7的安装方式和式（22）中的系数公式，根号前取“-”号。

3.3 实例及讨论

假设某型载货汽车的转向梯形机构如图7所示，各参数见表1，分析转角误差及转角计算误差变化情况。

先观察转向轮与主销互算时的计算误差ηLi、ηRi。以左车轮转角δL=-δRdmax～δLdmax为自变量，用各计算模型计算左主销转角θLi，差值(θLi-θL0)就是用各模型计算左“轮-销”转角的计算误差ηLi，其随δL的变化曲线如图8所示。同样，用各模型计算的右“销-轮”转角计算误差ηRi随θR的变化曲线见图5。表2列出了在整个转角范围内ηLi、ηRi的平均值以及最大绝对值。对轻型车辆，一般希望转向机构的转角误差控制在1°范围以内，相比这个数值，单独计算的ηLi、ηRi较大。

图8 左侧“轮-销”各计算模型的计算误差

表2 各模型的转角计算误差

以δLd求θLi，按转向机构计算模型式（23）求右主销转角θRi，由θRi计算δRi，ηTi=δRi-δR0即为用各计算模型计算的转向机构总的转角误差，其随δLd的变化情况如图9 所示，相关值见表2。最后由式（18）求出整个转向系统的转角误差随车轮转角变化情况ΔRi，如图10 所示。实际上，ηM=0时，图10中ΔR1-ΔR2即可得到图9的对应曲线。

图9 各计算模型的转向机构总转角计算误差

图10 各计算模型的梯形机构转角误差

若主销之间的转角计算采用理论上无误差的空间运动模型式（23），则ηM=0。图9 及表2 的总转角计算误差ηTi（ηM=0）就是左、右两侧主销与转向轮之间的计算误差带来的。对比图5 和图8 可见，将各部分串联在一起计算后，一般会使总计算误差ηTi比单独的转向轮与主销互算的计算误差ηLi、ηRi小。例如，在本例参数及γ1=78.2°下（3 种方法的最大绝对转角误差分别为0.442 7°、0.578 0°、0.522 6°，数值较小，表明机构参数比较合理，见图10），总转角计算误差ηTi（ηM=0）平均值及最大绝对值都明显比左、右侧的计算误差ηLi、ηRi小，特别是“等同法”的误差平均值反而较“角速度分量法”小。

若将γ1改为71.0°（3种方法的最大绝对转角误差分别为12.722 2°、13.782 5°、13.940 0°，数值较大，表明机构参数不合理），左、右侧的转角计算误差不受影响，总转角计算误差平均值虽有变化，但仍比左、右侧的计算误差明显减小（见表2中γ1=71.0°一行）；这时“等同法”的平均值反而大于“角速度分量法”，而且两种方法的总转角计算误差最大值也反而都大于左、右侧的计算误差最大值。设车辆允许的转角工作范围为Ω，总转角计算平均值减小，表明在Ω的大部分区域，左、右侧的转角计算误差相互抵消，而最大总转角计算误差增大，表明在Ω的小部分工作范围内，总转角计算误差增大。而且该区域一般位于车辆最大转角附近，这时转角误差曲线随车轮转角增大而急剧增大。从图10可以看出，若曲线急剧变化，各模型转角误差曲线虽然很接近，但它们之间可能存在较大的转角差。当然，车辆很少在大转角区域附近工作，加权优化时一般会弱化该区域计算误差的影响。

如果将θL=-40°～36°代入有关梯形机构平面模型[2-3]，得到有关ηM值如表3 所示，总的转角计算误差见表2中ηTi(ηM≠0)一行。对比表2、表3 可知，计算误差ηM会不同程度地增大总的转角计算误差，但ηM并不是直接叠加在ηTi上。

表3 梯形机构平面模型的转角计算误差

可见，由于转向机构计算误差函数的特殊性，机构各部分的计算误差并不是简单地相互累积增大或相互抵消，它们的变化与机构参数密切相关，但变化规律不明显。将不精确的计算模型用于设计，其设计精度难以保证。所以，必须慎重使用有计算误差的运动模型对转向机构进行优化设计。对重型车辆，若综合考虑运动副间隙和零件受力变形等因素，直接用主销之间机构转角误差进行优化设计（即“等同法”）可能具有合适的设计精度，但针对轻型和中型车辆设计，建议采用更精确的转角计算模型进行优化设计或检验。

4 结束语

本文采用水平投影方法，获得了考虑4个定位角参数的主销转角与转向轮转角相互精确计算的解析式，解决了由车轮转角计算主销转角的问题，得到以下结论：

a.转向机构设计时，必须考虑转向轮转角与主销转角的差异，应该使用只有单侧转向轮有转角误差的计算方法。在轻、中型车辆的优化设计中尤应考虑采用转角精确计算模型。

b.机构运动模型带来的计算误差对总的转角计算误差产生的影响与转向机构的参数有关。在车辆转角的很大一部分工作范围内，当最大转角误差较小时，左、右侧转向轮与其主销之间的转角计算误差一般会相互抵消一部分；两主销之间的计算误差会增大计算误差，但也不是简单地累加到总转角计算误差上。

c.按接地点分析，阿克曼定理中的K值、轴距L值应以车轮轴线与主销轴线的交点为计算或测量起始点。