探讨两个基本计数原理易错题辨析

摘 要：本文通过两个计数原理的应用习题，从分清对象，理清思路、分清步骤，明确方法、正确分析，明确考查知识点、认清原理，掌握关键、不重不漏，正确解题几个方面进行辨析和探讨，教师要强调计数原理应该注意问题。

关键词：两个基本计数原理;易错题;辨析

学生正确理解两个计数原理，并在理解的基础上灵活运用两个原理，它是学生学好高中数学章节中的排列、组合内容的基础和保证，其应用贯穿于排列、组合本章始终，应引起同学们的重视。学好分类加法和分步乘法两个计数原理是学生推导和运用排列数、组合数公式的基础，也是教师为学生讲解解决排列、组合问习题的关键。

一、 数学教师讲解过程中注意正確运用两个计数原理

1. 让学生搞清楚完成某件事的是怎样的一件具体的事情，让学生搞清楚大家所要解决的题目涉及这件事的具体含义，正确理解运用分类和分步两个计数原理解题基本基础，因此教师们在讲解习题时要认真地审题，同时分析清楚这件事情的前因后果，学生分析具体问题才能做到对分析问题的不重复也不遗漏。

2. 讲解时分清完成“这件事”是“分类”还是“分步”两种情况中的具体哪一种，教师在讲解排列组合的习题时候，在使用分类加法计数原理时，让学生理解必须要各类的每一种方法或措施都能保证整件事情的完成，几者之间要具有自己的独立性;在应用分步加法计数原理时，教师要指出完成这件事有几个步骤执行，在具体步骤中处理上是否又相互依存，只有当每个事情都完成情况下才能算作完成这件事情，讲解习题时确保整件事情的问题不遗漏，独立性确保整件事情的问题不重复。

二、 在具体解答过程中遵循以下几个步骤

（一）分清对象，理清思路

【例1】 我们从迁西去唐山可以有2种方法去，其中第一种乘班车有4个不同时间点去唐山，第二种方法乘出租车有6个时间点去唐山，从中任选出1种方法去唐山，不同选法的种数是    。

错解：2种

错因分析：由于每种方法去唐山都是不同的个体，所以该题中不同的选法中实际是选坐车方式，不是选方法来计算这个问题。

正解：10种

（二）分清步骤，明确方法

【例2】 若有5封不同的信，分别投入3个不同的邮箱，则不同的投入方法种数有    种不同情况。（没有并列冠军）

错解：35

错因分析：事件是“三个不同的邮箱”，分为三个步骤，每个步骤确定每个邮箱的信可以投入共有5种方法，因此投入邮箱信的种数可能有的为53。

正解：53

（三）正确分析，明确考查知识点

【例3】 54000的正约数个数是多少？其中有多少个是奇约数？

错解：不理解题意的学生大多无从下手或胡乱编写答案。

错因分析：54000分解成质数积的形式54000=24×33×53，它的正约数为2a×3b×5c，a∈{0，1，2，3，4}，b∈{0，1，2，3}，c∈{0，1，2，3}，且a，b，c的取值个数分别为5、4、4，所以54000的正约数有5×4×4=80个。其中奇约数为3b×5c、又因为b，c的取值个数分别为4、4，所以其中奇约数有4×4=16个。

正解：正约数为80个，其中奇约数为16个。

（四）认清原理，掌握关键

【例4】 地道战是抗日战争时期八路军主要的战术之一。当时，某地区有这样一组地道网络。如图，从“李庄”到“鬼子的据点”共有4条地道，由于地形和环境不一，每条通道单位时间内可通过的人数不一致，具体如图所示，其中圆圈表示集结地点或转弯地，现八路军要从“张庄”偷袭“据点”，则单位时间内最多可有多少名八路军战士通过地道到达“据点”（  ）

A. 71B. 30C. 19D. 17

错解：A. 8+3+2+6+6+5+7+10+10+14=71;B. 8+3+2+6=19;C. 14+10+6=30

错因分析：解题关键点是确定完成这个问题，到底是加法分类还是乘法分步解决这个问题。从“李庄”到“鬼子据点”在同一个单位时间内有四条地道同时通过，每一条地道都可能从“张庄”到达“据点”，应采用分类计数原理。

沿最上面的地道单位时间通过的八路军战士的最大人数是6;

沿上面第二条地道单位时间通过的八路军战士的最大人数是3;

沿上面第三条地道单位时间通过的八路军战士的最大人数是2;

沿最下面的地道单位时间通过的八路军战士的最大人数是6。

正解：由加法原理，单位时间内通过地道到达“据点”的最大人数是6+3+2+6=17，应选D。

（五）不重不漏，正确解题

【例5】 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的比1000大的奇数共有    个。（  ）

A. 48B. 64C. 72D. 144

错解：第一步，从3个数选1个数放在个位上3种取法;

第二步，从剩下4个数选1个数放在十位上4种取法;

第三步，从剩下3个数选1个数放在百位上3种取法;

第四步，从剩下2个数选1个数放在千位上2种取法;

只有各步都完成，整个事情才完成，采用乘法原理共有=3×4×3×2=72个。

正解：任何一个5位的奇数都符合要求，共有72个;

整个事情由两种情况组成，分4位数和5位数两部分组成，每类之间分四步，由加法原理得两者之和共有72+72=144个，应选D。

教师在讲解的过程中，还要告诉学生，有些同学往往忽略对题设条件出现错误，教师在分析和解决问题时一定要告诉学生注意所列的题目中的每一个已知条件，不然的话学生很容易会产生多解或者有时产生漏解。此外还有理解题意出现偏差，解题方法选择不当导致解题出现错误，留心出错的地方，特别注意的地方特别强调，好多优秀的学生也容易出错，对于基础差的学生，多做习题加以引导，强化知识。

教师们在讲解计数原理时，教师要让每一个学生能够辨别使用加法计数原理和乘法计数原理中的具体使用哪一个原理，还是两个原理综合运用，学生们关键是辨别题目中是分类还是分步中的哪种情况。教师就对分类加法的每一件事都是独立的整体，能够完成整件事情，要让学生明白使用的技巧;在讲解分步乘法中所有的步骤都完成时，整个事情才能算完成。教师要分门别类地讲解，要让学生明白两个原理应用的范围，我相信经过对处理两个计数原理方法的引导多数学生会更进步，更优秀。对于学排列、组合知识会更轻松，更容易。

参考文献：

[1]李平.基于初中数学导学案课堂实施“学生讲解”的实践研究[D].成都：四川师范大学，2014.

作者简介：

李国礼，河北省唐山市，迁西县职业技术教育中心。