例说机械振动与机械波问题的解法

■江苏省沐阳高级中学

机械振动和机械波是高考选考模板《选修3—4》中的一个常考知识点，可能设置以对机械振动和机械波相关知识定性分析为主的选择题，也可能设置以对振动图像和波的图像定量计算为主的解答题。下面结合实例归纳求解机械振动与机械波问题的方法和技巧，帮助同学们厘清思路，提高复习效率。

一、根据简谐运动的特征求解

从运动学角度看，简谐运动的特征有往复性、周期性和对称性；从动力学角度看，简谐运动的特征表现在做简谐运动的质点所受回复力F的方向总与质点偏离平衡位置的位移x的方向相反（总是指向平衡位置），其大小总与质点偏离平衡位置的位移x的大小成正比（F=-kx）。利用简谐运动的特征可以分析物体的运动过程和受力情况。

例1如图1所示，一小球从竖直固定在地面上的轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩，在小球压缩弹簧的全过程中，弹簧始终处在弹性限度内。当弹簧的压缩量最大时，下列说法中正确的是（ ）。

A.小球所受合外力最大，但不一定大于重力

B.小球的加速度最大，且一定大于重力加速度

C.小球的加速度最大，有可能小于重力加速度

D.小球所受弹簧弹力最大，但不一定大于重力

解析：选取小球压缩弹簧过程中的四个特殊位置，如图2 所示。设小球刚接触弹簧时的速度为v，方向向下，此时小球的加速度大小a=g，方向向下。设小球向下运动将弹簧压缩距离x到达平衡位置时（小球所受向上的弹簧弹力与向下的重力大小相等）有最大速度vmax，此时小球的加速度a=0。根据简谐运动的对称性可知，小球从平衡位置继续向下运动距离x时的速度大小仍为v，方向向下，此时小球的加速度大小a=g，方向向上。小球继续向下做减速运动到达最低点时的速度为0，此时小球向上的加速度应大于重力加速度g的值，小球所受合外力大于重力。

答案：B

二、利用振动图像所含信息求解

当质点做简谐运动时，其振动图像是形如图3所示的正弦曲线。简谐运动的振动图像反映的是某振动质点在各个时刻相对于平衡位置的位移的变化情况。由定量画出的简谐运动的振动图像可以得到振幅A，周期T，某时刻质点相对于平衡位置的位移x，某时刻质点的振动方向、速度、加速度、回复力，以及振动的能量形式等物理量。

例2如图4（a）（b）所示分别是甲、乙两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是（ ）。

A.甲、乙两单摆的摆长之比为1∶2

B.t=2s时刻，甲摆球的重力势能最小，乙单摆的动能最小

C.t=8s时刻，两摆球的速度方向相同

D.甲、乙两摆球在最低点时，向心加速度大小可能相等

解析：由甲、乙两个单摆的振动图像可知，甲、乙两单摆的周期之比T甲∶T乙=1∶2，由单摆的周期公式T=2π可知，甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙=∶=1∶4，选项A 错误。t=2s时刻，甲摆球在平衡位置处，其重力势能最小，乙摆球在最大位移处，其动能最小，选项B 正确。t=8s时刻，甲摆球从平衡位置向负方向最大位移处运动，乙摆球从平衡位置向正方向最大位移处运动，它们的速度方向相反，选项C 错误。设摆球摆动的最大偏角为θ，由mgl（1-cosθ）=mv2和a=可知，摆球在最低点时的向心加速度a=2g（1-cosθ），因两摆球的最大偏角θ满足sinθ=，故θ甲＞θ乙，即a甲＞a乙，选项D 错误。

答案：B

三、利用波的图像所含信息求解

当存在做机械振动的物体作为波源并有能够传播机械振动的介质时，波源的振动将会引起相邻质点的振动，从而在介质中形成机械波，波的图像是形如图5 所示的正弦曲线。波的图像反映的是一系列质点在某一时刻相对于其平衡位置的位移随质点的平衡位置变化的关系。由定量画出的波的图像可以确定波长λ、振幅A、波峰和波谷的位置、各个质点的位置和速度的方向（结合传播方向）。

例3图6中的实线是一列简谐波在某一时刻的波形图，虚线是0.2s后它的波形图，求这列波可能的传播速度。

四、根据振动图像和波的图像的异同点求解

振动是做机械振动的一个质点随时间的推移而呈现的现象，波是在波源带动下做机械振动的全部质点共同呈现的现象。求解振动图像和波的图像综合问题需要明确二者的异同点。

1.相同点：二者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；二者纵坐标均表示质点相对于平衡位置的位移，位移的最大值均表示质点的振幅。

2.不同点：振动图像的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图像的横坐标表示质点距离振源的位移，箭头的方向可以表示波的传播方向（振动在介质中的传播方向），也可以表示波的传播方向的反方向。振动图像随时间的延续将向着横坐标箭头所指方向延伸，原图像形状不变；波的图像随时间的延续，原图像的形状将沿横坐标向左或向右整体平移。

例4如图7（a）所示为一列简谐横波在t=0.1s时刻的波形图，P是平衡位置在x=1m 处的质点，Q是平衡位置在x=4 m处的质点。如图7（b）所示为质点Q的振动图像。下列说法中正确的是_____。

A.t=0.1s时刻，质点P向y轴正方向运动

B.t=0.1s时刻，质点P向y轴负方向运动

C.t=0.25s时刻，质点Q的加速度方向与y轴正方向相反

D.在0.1s～0.25s时间内，该波沿x轴负方向传播了12m

E.在0.1s～0.25s时间内，质点Q通过的路程为30cm

解析：由质点Q的振动图像可知，t=0.1s时刻，质点Q的速度方向与y轴负方向相同，结合波形图可知，质点Q跟着右侧相邻质点振动，故波源在右侧，波是从右向左传播的，质点P向y轴正方向运动，选项A正确，B 错误。由质点Q的振动图像可知，t=0.25s时刻，质点Q位于正向最大位移处，故其加速度方向与y轴正方向相反，选项C正确。由波形图可知，波长λ=8 m，由质点Q的振动图像可知，周期T=0.2s，解得波速v==40 m/s，因此在0.1s～0.25s时间内，该波沿x轴负方向传播的距离Δx=vΔt=6m，选项D 错误。由质点Q的振动图像可知，振幅A=10cm，在0.1s～0.25s时间内经过了T，因此质点Q通过的路程s=3A=30cm，选项E 正确。

答案：ACE

跟踪训练

1.如图8所示，光滑弧形槽的半径为R（R远大于弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点高度为h处，小球C放在M点。同时释放两小球，要使两小球正好在A点相碰，求小球B释放时的高度h。

2.如图9（a）所示为一列简谐波在沿x轴方向传播时的波形图，P、Q是位于平衡位置的两质点。若以图示情况为计时起点，则如图9（b）所示的振动图像表示的应是（ ）。

A.当这列波沿x轴正方向传播时，表示质点P的振动

B.当这列波沿x轴负方向传播时，表示质点P的振动

C.当这列波沿x轴正方向传播时，表示质点Q的振动

D.当这列波沿x轴负方向传播时，表示质点Q的振动

3.一列简谐波上两质点P、Q的振动图像分别如图10（a）（b）所示，两质点P、Q相距30m。

（1）若质点P距振源较近，求波速。

（2）若质点Q距振源较近，求波速。

参考答案：

1.h=（n=0，1，2，…）。

2.AD

3.（1）v=m/s（n=0，1，2，…）；（2）v=m/s（n=0，1，2，…）。