MATLAB仿真技术在电路暂态分析中的应用

李 强

（运城学院机电工程系，山西运城 044000）

直流电路的暂态分析是“电工技术”的重要内容，是机电类专业学生需要掌握的重点知识。由于该类电路含有储能元件，在分析过程中涉及到常微分方程的求解过程，使得学生对电路分析感到困难。因此，针对教学内容，利用现代电子仿真技术探索新的教学方法和手段势在必行[1]。

MATLAB是MathWorks开发的科学与工程计算软件，它以矩阵运算和符号运算为基础，内含丰富的算法，把绘图及动态系统系统仿真等功能有机融合在一起[2]。目前已有学者对进行了MATLAB在暂态电路中的应用研究。主要是进行二阶电路的频率特性研究以及响应的Simulink仿真，但不适合非电类专业学生学习。还有学者进对一阶RC的电路进行Simulink仿真并绘制出电路的响应曲线，而对一阶RL电路的暂态研究较少。

本文在上述文献的基础上，以直流电机的励磁绕组为例，研究感性负载在直流电路中的响应过程。首先在对电路进行建模的基础上，利用符号常微分方程求解的方法，来求解系统的一阶零状态响应和零输入响应。最后给出了一阶RL电路模型对应的响应曲线，在此基础上，对系统的参数进行分析。

1 一阶RL系统模型

直流电机中，励磁绕组通以直流电来建立主磁场，工作时它分为建立磁场和关闭磁场两个阶段[3]。图1 为一个参数为L、R 的电机励磁绕组。整个电路由电源Us、开关K、电阻R、R1和电感L组成，将流过电感的电流iL及电感两端的电压UL作为电路的输出。

建立磁场电路模型，流过电感电流由零变为稳定值。该过程包括开关K断开时的初始稳定状态1(t＜0)，开关K接至位置1后的暂态过程(t≥0)以及新的稳定状态1。等效电路如图2所示。分析如下：

初始稳定状态1 为iL=0；新的稳定状态1 为

由于初始稳定状态1电感无储能，电路处于零状态。根据基尔霍夫电压定律和电感元件的时域伏安特性可得方程组(1)。

求解微分方程iL1、uL1便可求出开关K 接至位置1后的零状态响应。

关闭磁场电路模型，流过电感电流由稳定值变为零。该过程包括开关K接至1时初始稳定状态2，开关K 接至位置2 的暂态过程(t≥0)以及新的稳定状态2。等效电路如图3所示。电阻R1是为了加快绕组中电流的下降过程而设置的耗能电阻[4]。分析如下：

由于换路后电路无输入激励，电路处于零输入。此时电路响应特性通过方程组2来描述。

求解微分方程iL2、uL2便可求出开关K 接至位置2后的零输入响应。

图2 建立磁场电路模型

图3 关闭磁场电路模型

2 系统模型的仿真与实现

2.1 符号常微分方程的求解

MATLAB内部集成符号运算工具箱，提供符号运算功能。应用符号计算，可以直接对抽象的符号对象进行各种计算，并获得问题的解析结果。desolve函数实现以符号方式对常微分方程进行求解，得出其解析解[5]。

零状态响应对应的方程组1的求解语句如下：

整理后即可得到电路2中电感元件的零状态响应方程组（3）如下：

零输入响应对应的方程组2的求解语句如下：

代码运行结果为：

整理后即可得到电路3中电感元件的零输入响应方程组（4）如下：

某台直流电机的励磁绕组参数如下：US=40 V,L=1 H,R=5 Ω,R1=10 Ω 。将其带入方程组3 可得此台直流电机绕组的零状态响应，计算结果为方程组5所示。将其带入方程组4可得它的零输入响应，计算结构为方程6所示。

2.2 暂态曲线绘制

采用MATLAB中提供的二维绘图函数plot来绘制电路2与电路3的暂态变化过程。

基于公式5 来绘制图2 对应的零状态响应图形。时间区间为[0,2]，步长为0.01 s，程序段1为电感电流的响应过程，程序段2 为电感电压的响应过程。

程序段1：

程序段2：

绘图结果如图4 所示。图中uLs 线条表示电路零状态响应过程中，励磁绕组电压的变化情况；线条iLs 表示该过程时励磁绕组电流变化情况。

图4 零状态响应曲线

基于公式6 来绘制图3 对应的零输入响应图形。程序段3 为电感电流的响应过程，程序段4 为电感电压的响应过程。

程序段3：

程序段4：

绘图结果如图5 所示。图中线条uLs 表示电路在零输入响应过程中，励磁绕组电压的变化情况；线条iLs 表示该过程时励磁绕组电流变化情况。

图5 零输入响应曲线

3 系统仿真结果分析

由图4 可知，对于零状态响应而言，流过电感的电流不会发生突变，电流方向与电感两端的电压方向一致，电感电压由最初的40 V 衰减为0 V。最终电路达到新的稳定状态，此时uL=0 V，iL=8 A。由图5 可知，对于零输入响应而言，流过电感的电流也不会突变，其电流大小从8 A减小为0 A，电感两端的电压方向与电流方向相反，其电压从-40 V衰减为为0 V。最终电路达到新的稳定状态。此时，uL=0 V,iL=0 A。在电路的两种响应图中，储能元件电感两端的电压和流过它的电流，总是以指数形式变化。

时间常数τ对电路暂态过程的影响。如图6所示，当耗能电阻为R1=10 Ω 时，该电路的时间常数为≈0.067，此时电感元件响应过程为曲线uL(10),iL(10)；当耗能电阻为R1=0 Ω 时，该电路的时间常数为=0.2，电感元件响应过程为曲线uL(0),iL(0)。由图可知，R1越大，时间常数越小，电感元件越容易释放能量，暂态过程越短，但对电感元件的耐压有更高的要求。相反，时间常数大，电感不容易释放能量，暂态过程较长。

图6 时间常数τ 对电路暂态过程的影响

4 结语

本文以给定参数的直流电机励磁绕组为例，分析了其建立磁场和关闭磁场的两种电路模型，通过MATLAB 软件计算出该电路下的零状态响应和零输入响应，并以图形的形式反映响应结果，从而得出一阶RL 电路中的电感元件的电流变化规律以及时间常数对电路暂态过程的影响。

在直流暂态电路教学中引入MATLAB 虚拟仿真软件，利用其强大的运算和可视化功能，通过现场简单编程计算、曲线绘制，使原本抽象的内容变得生动，复杂的数学计算变得容易，这将增强学生对RL 一阶电路工作过程的理解，激发学生对自然科学工程技术的好奇心和学习兴趣。