飞行器多学科耦合伴随体系的现状与发展趋势

黄江涛，刘刚，高正红，周铸，陈作斌，江雄

1.中国空气动力研究与发展中心，绵阳 621000 2.西北工业大学 航空学院， 西安 710072

伴随高性能计算机技术的发展，数值优化设计将在未来飞行器研发中扮演着越来越重要的角色，数值优化的基础科学研究和关键技术各项环节不断进展、突破，对民用飞机、作战飞机乃至航天类飞行器的研制过程起到积极的变革性的作用，各个学科的耦合程度将越来越高，学科级之间的协同优化、仿真技术作为重要角色登上了装备研发的历史舞台。国内外著名研发机构如美国国家航空航天局(NASA)、德国宇航局(DLR)、荷兰国家航空航天实验室(NLR)、日本宇宙航空研究开发机构(JAXA)等均在多学科协同数值优化、仿真分析方面投入了大量的人力物力，并在应用方面进行了大量尝试与验证。

多学科优化设计研究中采用的优化算法可以分为梯度[1-5]和非梯度类[6-12]两个方向，两类方法各有所长。基于伴随方法的梯度类是近年来较为热门的研究方向，基于伴随方程的梯度优化以其独有的优势，在气动设计等领域发挥了重要作用，也是国内外空气动力学研究机构一个重要的研究方向[13-17]，而基于交叉学科变分思想的多学科伴随优化方法也开始在工程领域发挥重要作用[18-24]。例如考虑气动弹性变形的柔性机翼设计，若采用基于差分的梯度优化以及进化算法开展多学科多目标优化，其计算量非常庞大，甚至难以忍受，设计效率极为低下。此时基于多学科耦合伴随灵敏度分析的优化方法在综合设计上具有更加突出的优势。不仅如此，在气动、结构、电磁、声学、红外、能量管理等与飞行器设计息息相关的学科，多学科耦合伴随方法也具有较大的发展潜力。由于多学科耦合伴随方法具有优化代价小，梯度计算量与各个学科设计变量个数基本无关等优点，且通过耦合伴随方程的求解能够快速计算出各个学科关心的各个目标函数对各学科设计变量的导数，倍受研究人员与工程师的关注与喜爱，该方法必将在未来多学科优化领域发挥重要作用。

本文对多学耦合伴随优化方法研究进展、应用现状进行详细总结、归纳，对飞行器气动外形综合设计涉及的典型学科变分/耦合变分/关键环节的变分推导、耦合伴随方程的求解以及应用存在的难点进行深入分析，并进一步提出了耦合伴随方程几项值得关注的技术方向及发展趋势。希望能够为多学科耦合伴随方法的研究人员提供有价值的参考，促进国内航空航天飞行器多学科协同数值优化设计技术的发展。

1 离散伴随方程求解梯度基本原理

对于任意学科，这里的学科可以是流体、结构、噪声、电磁、热力学分析等，其对应的设计目标函数的最小化优化问题[25]为

(1)

在学科残差R(W,X,D)=0约束条件下，引入拉格朗日算子可以构造以下目标函数：

L=I+ΛTR

(2)

对式(2)进行求导可得

(3)

(4)

式(4)就是各个学科对应的伴随方程，通过求解Λ之后，则可进行各个学科对设计变量的梯度信息快速求解，即

(5)

(6)

可以看出，伴随方程实质是对学科分析及其对应的物理场进行变分，通过链式求导进行灵敏度求解，其根本目的是避免学科分析大规模迭代、直接求解问题带来的灵敏度分析计算量，消除灵敏度分析计算量与设计变量个数的关系，其计算量最终仅与目标函数个数相关。

实际上，上述伴随算子既可以是单学科伴随算子，也可以是多学科伴随算子，对应的残差同样也可以是多学科约束，采用相同方式进行伴随方程推导，可以得到多学科耦合伴随方程。

2 学科离散伴随方法研究现状

从目前的研究成果来看，在飞行器气动外形综合设计领域，基于流场伴随方程的优化是最活跃的一个分支，而对于结构、电磁、噪声等学科伴随研究较少，这里面的一个重要原因是某些特殊学科独立伴随优化在飞行器设计领域工程应用中价值不大，例如结构伴随方程单独优化无法兼顾气动结构一体化设计要求。

2.1 流场伴随优化在内外流动优化问题中的应用

伴随优化在外部流动优化问题中的应用较多，主要应用于机翼、增升装置、整流罩等气动外形优化。由于该项技术求解梯度信息的工作量几乎与设计变量个数无关，因此，倍受CFD研究人员以及气动优化设计研究人员的重视。其中，离散伴随方程与Navier-Stokes方程清晰的导数关系，具有实现起来比较方便、梯度信息更为准确等优点。流场伴随方法的核心工作是组装流场残差对守恒变量的雅克比矩阵：

(7)

依赖于伴随方程的求解方式，该矩阵的处理主要有两种形式，直接全矩阵组装存储、结合伴随变量乘积形式存储；雅克比矩阵处理完毕后，对于不同目标函数的优化问题，仅需改动右端项目标函数对状态变量的变分表达式：

(8)

该项一般作为源项形式加入通量表达式或方程组右端。

边界条件处理方式也分为源项形式[1]以及边界雅克比矩阵形式[25]。对于内外流问题，矩阵形式的流场伴随方程只需要改变边界条件变分雅克比矩阵表达式, 即

(9)

式中:E、MBC分别对应单位矩阵以及边界条件矩阵。可以看出，离散伴随无黏项的不同边界条件变分，只需替换对应边界条件矩阵MBC，对于实现不同边界类型以及内外流伴随之间的转换、匹配以及模块化编程十分有利。由于离散伴随无黏项的主导作用，该项边界条件处理很大程度直接影响梯度的计算精度。

离散伴随方法在梯度优化研究领域最受关注，也是国内外空气动力学研究机构重点发展的研究方向。世界上大多数知名空气动力学研究机构均基于自身研发的大型并行CFD计算代码发展了离散伴随优化平台，例如NASA Langley研究中心采用手工推导方式建立了非结构化求解器FUN3D的离散伴随优化平台[14]；德国宇航局基于结构化求解器Flower、非结构化求解器TAU发展了离散伴随优化平台[15]，法国宇航院基于CFD代码elsA开发了离散伴随优化[16],英国谢菲尔德大学[17]开展了基于结构化网格的并行离散伴随优化。实际推广应用方面也开展了系列研究，NASA的 Liou和Kim[26]使用伴随方法在考虑动力条件下开展了飞翼布局一体化优化工作，取得了明显的减阻效果；Vincent和Siva[27]基于离散伴随方法开展了B747机翼气动设计；密歇根大学的Lyu等[28]基于离散伴随方法，针对CRM宽体飞机标模机翼气动优化开展了大量研究，取得了较好的优化结果；如图1～图3所示。

国外在内流伴随优化方向也取得了长足的进展，尤其在进气道、压气机叶片优化方面成绩斐然。NASA的 Lee和Liu[29]基于伴随方法开展了BLI(Boundary-Layer-Ingestion)进气道优化，减小了50%流场畸变特性，提高了3%的总压恢复系数；首尔国立大学的Yi和Kim[30]基于伴随方法开展了S弯进气道涡流发生器优化，在保持总压恢复性能的同时，降低了流场畸变；斯坦福大学Heather和Francisco[31]基于伴随方法对高超声速进气道进行了优化设计，表现出较高的优化设计效率；Heath和Gray[32]基于伴随方法与自由变形技术开展了喷管优化；麦吉尔大学Benjamin和Siva[33]基于离散伴随方法进行了多级压气机优化，在保证总压比的条件下提高了等熵效率；图4～图8给出了内流伴随优化的典型应用。

图1 飞翼布局带动力一体化设计[29]Fig.1 Integrated design of flying wing configuration with power[29]

图2 波音747机翼优化设计前后对比[30]Fig.2 Comparison of initial and optimized configurations of Boeing 747 wing [30]

国内在离散伴随方程求解器自主研发方面也取得了一定的进展，尤其在外流优化设计方面，已应用于实际工程型号。西北工业大学左英桃等基于结构化网格求解器开展了M6机翼离散伴随优化[34]；熊俊涛等[35]基于显式时间推进实现了离散伴随方程的求解；屈崑等利用Tapenade自动微分工具进行通量变分，按照矩阵模式组装到全局稀疏矩阵，实现了稳态CFD的伴随方程求解[36]；南京航空航天大学高宜胜等基于非结构求解器进行了翼型离散伴随无黏优化[37]；中国空气动力研究与发展中心李彬等基于非结构求解器实现了离散伴随优化平台的开发[38]；本文作者基于并行化结构网格求解器实现了全机离散伴随优化[39]；图9～图12给出了国内外流伴随优化在典型飞行器气动设计方面的应用。

内流优化方面，基于伴随方程的气动外形灵敏度分析优化主要集中在进气道、尾喷管、压气机叶片设计等领域，也是近年来十分活跃、应用潜力较大的研究方向。本文作者[25,40]基于边界变分形式实现了超声速无附面层隔道进气道总压恢复系数对设计变量的灵敏度分析与验证，并分析了动力效应对设计变量灵敏度的影响，进一步开展了BLI进气道DC60稳态畸变伴随优化；北京理工大学宋红超等[41]基于离散伴随方法进行了单边膨胀喷管的优化，提高了喷管推力系数；西安交通大学张朝磊等基于离散伴随理论和自动微分技术构建离散伴随优化平台，应用于透平叶栅的气动优化[42]，优化后透平叶栅进出口熵增率减少8.82%；航空工业集团航空动力机械研究所唐方明等[43]进行了排间界面静压约束伴随方法的多级压气机叶片优化，解决了伴随优化应用在多级压气机中出现的优化工况点漂移问题，提高了5级压气机效率；吉林大学刘浩等[44]基于伴随方法进行了叶片三维气动外形优化设计，清华大学马灿等[45]采用谐波平衡法高效求解非定常流场和非定常伴随场，开展了单级压气机非定常伴随优化；西北工业大学刘峰等[46]基于黏性伴随方法开展了低展弦比涡轮压气机叶片多点优化设计；图13～图20给出了国内内流伴随优化、内外流一体化伴随优化的典型应用。

图3 CRM标准模型单点、多点优化设计对比[31]Fig.3 Comparison of single-point and multi-point optimization design of CRM standard model [31]

图4 BLI进气道优化[32]Fig.4 BLI inlet optimization [32]

图5 基于伴随方法进气道涡流发生器优化[33]Fig.5 Inlet vortex generator optimization based on adjoint method [33]

图6 基于伴随方法的高超声速进气道设计[34]Fig.6 Hypersonic inlet design based on adjoint method [34]

图7 基于伴随方法的超声速喷管设计[35]Fig.7 Supersonic nozzle design based on adjoint method[35]

图8 基于伴随方法的多级压气机设计[37]Fig.8 Multistage compressor design based on adjoint method [37]

图9 基于非结构网格翼身组合体离散伴随气动优化[26]Fig.9 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body assembly based on unstructured grid [26]

图10 全机第一伴随变量云图[25]Fig.10 First adjoint variable contour of aircraft[25]

图11 FFD参数化[39]Fig.11 FFD parameterization [39]

图12 机翼机身平尾立尾离散伴随气动优化Fig.12 Discrete adjoint aerodynamic optimization of wing-body-tail configuration

图13 进气道参数化[25]Fig.13 Inlet parameterization [25]

图14 进气道总压恢复灵敏度验证[25]Fig.14 Validation of total pressure recovery sensitivity of inlet [25]

图15 BLI进气道DC60伴随优化Fig.15 Adjoint optimization for BLI inlet DC60

图16 机体-推进系统一体化参数化 [40]Fig.16 Integrated parameterization of airframe-propulsion system [40]

图17 机体-推进系统一体化伴随方程求解与灵敏度验证[40]Fig.17 Verification of sensitivity of adjoint equation for airframe-propulsion system [40]

图18 尾喷管伴随优化云图[41]Fig.18 Tail nozzle contour based on adjoint optimization [41]

图19 压气机伴随优化前后马赫数云图[43]Fig.19 Mach number contour of compressor before and after concomitant optimization[43]

图20 低展弦比涡轮压气机叶片多点优化设计[46]Fig.20 Multi-point optimization design of low aspect ratio turbine compressor blades [46]

2.2 电磁散射伴随方程

雷达散射截面(Radar Cross Section, RCS)反映了物体在给定方向上对入射雷达波散射的强弱，是衡量飞机隐身性能的重要指标。考虑隐身的飞行器设计常以减小RCS作为隐身设计的主要目标,现有飞行器气动外形隐身设计研究中多采用几何光学法(GO)、物理光学法(PO)、几何绕射理论(GTD)、物理绕射理论(PDT)等高频近似算法评估散射体的RCS,高频算法根据高频场的局部性原理，仅根据入射场独立地近似确定表面感应电流[47]，计算速度快，所需内存小。但高频算法的理论模型粗糙，近似过程中会忽略一些关键部件间的重要电磁耦合关系，在处理电大尺寸和细节上电小尺寸并存的复杂结构时精度较低[48-49]。

飞行器隐身性能与其外形密切相关，设计中需解决隐身与气动之间的矛盾。基于梯度的优化算法效率较高，其关键在于如何高效、精确地取得梯度信息。矩量法从电磁积分方程(Stratton-Chu方程)出发，将感应电流展开成基函数的有限级数，形成线性方程组，通过求解表面感应电流分布获得散射场。矩量法可以精确求解三维复杂外形目标的电磁散射，随着高性能计算技术的发展，矩量法逐渐成为飞行器隐身设计中重要的电磁分析手段。伴随方法可以通过求解伴随方程，由两次线性方程组求解得到目标关于所有设计变量的梯度，显著减小计算量，为矩量法在飞行器隐身设计的应用创造了条件。Natalia[50-51]将伴随方法引入矩量法，推导了矩量法伴随方程的形式，并对天线阵列的输入阻抗进行了优化，取得了显著的效果。

然而，从公开发表文献上看，国内外在飞行器气动隐身一体化优化设计方面应用较少，国内周琳和本文作者[52]将该方法应用于飞行器隐身特性灵敏度分析，为气动隐身综合优化设计奠定了技术基础。

矩量法[53]的本质为求解线性方程组ZI=V，在伽略金法条件下，采用RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函数检测电场积分方程，即

(10)

整理成矩阵形式为

ZI=V

式中：阻抗元素和激励项的表达式为

采用第1部分推导方法可得矩量法方程的伴随方程：

(11)

则基于伴随方法的目标梯度的求解方法为

(12)

图21和图22分别给出了基于矩量法(MoM)的电流分布数值模拟以及基于矩量法伴随方程的灵敏度求解校核，精度满足工程需求，相对于有限差分计算，电磁伴随求解将灵敏度计算效率提高了100倍以上，且随着入射电磁波频率的增加，这种加速效果更加明显。

图21 1024核心并行电磁散射数值模拟Fig.21 Numerical simulation of 1024 core parallel electromagnetic scattering

图22 某外形0°～180°照射角灵敏度验证Fig.22 Verification of sensitivity at different incident angles 0°-180°

然而，从目前计算机条件来看，尽管基于矩量法电磁伴随求解灵敏度相对于有限差分效率有了大幅度提升，仍然面临两个问题。与正问题一样，基于矩量法的电磁伴随方程求解面临存储瓶颈；不仅如此，即便是伴随方程求解完毕，利用式(12)进行梯度信息求解时，电流分布保持不变不需要再迭代，仍然需要针对几何扰动进行阻抗矩阵装配。本文作者曾做过测试，对于C波段电磁散射问题(飞行器展长16 m量级)，256核并行条件下，阻抗矩阵组装仍耗时30 s，也就是说，基于式(12)进行梯度求解单个耗时30 s，对于200个设计变量设计问题，除去伴随方程求解时间，灵敏度求解也要耗掉1.66 h，这也是计算效率值得关注的问题。该两方面因素对计算机配置要求较高，一定程度限制了矩量法电磁伴随优化在电大尺寸问题中的应用。

针对该问题本文基于多层快速多极子算法(MLFMA)开展了伴随方程构造以及梯度计算研究，大幅度降低了内存需求，提高了梯度求解效率，取得了较好的加速效果，并通过典型导弹外形进行验证，如图23及表1所示，为进一步开展基于高可信度雷达隐身优化提供高效的灵敏度分析平台。

图23 MLFMA的梯度校核Fig.23 Gradient validation of MLFMA

表1 矩量法与MLFMA效率对比Table 1 Comparison of efficiency of MoM and MLFMA

2.3 噪声伴随方程

噪声问题是飞行器气动设计解决的主要问题之一，对于民用飞机的适航认证、作战飞机的战场隐蔽性起到关键作用，鉴于计算量庞大，当前工程中的噪声分析优化大多数基于近场/辐射传播模型混合计算方法[54-56]进行。

目前噪声伴随方程的研究工作主要针对低速流动问题以及超声速声爆问题开展，面向对象主要是直升机旋翼噪声、低速构型流动噪声、超声速客机声爆抑制等问题。主控方程主要是FWH(Ffowcs Williams-Hawkings)方程以及声爆预测增广Burgers方程,对于数值模拟来讲，无论是FWH伴随方程还是声爆预测增广Burgers方程，几乎都无法脱离流场分析、伴随而独立有效地使用，一般与流场进行耦合使用。

2.4 伴随方程在其他领域的应用

在航空航天领域，伴随方法不仅在涉及上述几个学科方面得到了充分应用，同样在热传导、化学反应等方面也得到了一定应用。再入飞行器表面热流通过反演方法确定飞行器再入的热环境，伴随方程可以为该类热传导逆问题提供高效的灵敏度计算，钱炜祺和何开锋[57]基于三维热传导方程及其伴随方程，进行了三维非稳态热传导逆问题反演研究，取得了与试验数据较为一致的结果，如图24所示，图中:t为时间，T为温度，P1和P2代表两个测温点。Kouhi和Houzeaux[58]基于离散伴随方法开展了与化学反应流动相关的参数灵敏度分析，获得了与差分较为一致的结果。

图24 反演结果与试验数据对比[57]Fig.24 Comparison of inversion results with experimental data [57]

3 多学科耦合伴随体系发展现状

国内在流场伴随方程求解器自主研发方面取得了系列的进展。然而，大多研究工作局限于单学科伴随方法，在多学科耦合伴随方法自主研发方面较为欠缺，研究基础比较薄弱。

在涉及复杂耦合系统综合优化方面，传统的优化手段、灵敏度分析手段，由于学科强耦合因素，往往表现得力不从心，多学科耦合伴随理论的出现，使得高效计算多学科耦合灵敏度成为可能。在飞行器气动外形多学科优化领域，最活跃的是气动、结构、电磁、噪声等学科，由于目标函数个数、学科交叉耦合变分推导难度以及交叉变分雅克比矩阵存储的限制，从目前发表的文献来看，大部分研究工作针对两个学科耦合伴随优化展开。耦合伴随方法中交叉学科导数项的具体推导方法，各类雅克比矩阵组装的大型稀疏矩阵求解，变分简化处理方式以及学科之间物理场信息、伴随变量交换、存储方式直接影响了多学科变分的简捷性、多学科耦合系统计算效率以及梯度信息的计算精度，因此，下面将对典型多学耦合伴随方法的关键环节进行论述和总结。

3.1 气动结构耦合伴随方程

考虑气动弹性变形的柔性机翼若采用传统差分的梯度优化以及进化算法开展灵敏度分析以及多学科多目标优化，其计算量非常庞大，当前计算条件难以忍受，设计效率极为低下。未来飞机发展的一个重要方向是重量较轻的复合材料结构柔性机翼设计(如B787、B747-8等宽体客机)，此时气动、结构耦合效应将更加明显，基于气动/结构多学科耦合伴随方法的耦合灵敏度分析在综合设计上将具有更加突出的优势，为多学科优化提供有力技术支持。

气动/结构优化中有4种原因引起耦合灵敏度效应。第一，气动外形设计变量变化引起气动力的变化；第二，气动外形设计变量变化引起气动力载荷、结构属性的变化，导致弹性变形变化，从而引起结构应力变化；第三，有限元结构设计变量变化引起结构属性的变化，导致弹性变形变化，从而引起气动力变化；第四，有限元结构设计变量变化引起结构属性的变化，导致弹性变形变化，从而引起结构应力变化。以上4点是气动结构耦合复杂程度的最直观体现，也是气动/结构综合优化成为最为复杂、困难问题的原因之一。将式(4)中的残差、状态变量直接展开为气动、结构对应的残差、状态变量，可以得到气动结构耦合伴随方程为

(13)

(14)

(15)

尽管如此，仍然带来交叉导数项反复计算的问题，即解决了空间存储问题，又带来时间需求问题。对各项进行进一步展开：

(16)

针对该问题，国外开展了系列研究，密歇根大学Martins等基于结构网格CFD求解器以及有限元方法发展了气动/结构延迟耦合伴随LCA(Lagged Coupled Adjoint)方法，实现了板壳单元条件下气动结构一体化设计[18-19]；德国宇航局Abu-Zurayk等基于非结构化求解器TAU[59-60]，斯坦福大学Kasidit和Antony基于耦合伴随方法进行了机翼平面形状与剖面的气动结构多学科优化[20]，法国宇航院Marcelet等基于CFD代码elsA发展了LCA优化方法[61]，伦敦玛丽女王大学Mülle和Verstraete[62]基于多学科耦合伴随方法开展了叶片气动结构综合优化，保证应力约束条件下提高了叶片气动效率，怀俄明大学Mishra和Mani[63]基于气动结构伴随方程开展了直升机四桨叶旋翼非定常气动优化等；典型应用如图25～图27所示。

中国空气动力研究与发展中心立足自主研发，建立了气动结构耦合伴随优化平台[64-65]，基于延迟耦合处理方式实现了CRM机翼气动结构多学科优化，图28给出了气动结构耦合伴随(Coupled Aero-Structrual Adjoint，CASA)优化平台的装配关系流程图，图29和图30给出了气动力、结构应力von Mises对应的耦合伴随方程收敛历程；图31 给出了不同设计约束的优化结果。

图25 气动结构耦合伴随优化[19]Fig.25 Aero-structural coupled adjoint optimization[19]

图27 基于气动结构伴随方程的旋翼非定常气动优化[63]Fig.27 Rotor unsteady aerodynamic optimization based on aero-structural coupled adjoint equation[63]

图28 CASA优化平台组装关系Fig.28 Relationship of CASA optimization platform assembly

图29 气动力耦合伴随方程收敛历程[64]Fig.29 Convergence history of aerodynamic coupled adjoint equation [64]

图30 结构应力耦合伴随方程收敛历程[65]Fig.30 Convergence history of structural stress coupled adjoint equation [65]

图31 不同方法设计结果[65]Fig.31 Design results of different methods [65]

3.2 气动电磁伴随方程

气动隐身一体化始终是作战飞机研制的关键环节，两个学科在一定程度上是矛盾体。现有的气动隐身一体化设计多采用粒子群算法、遗传算法、神经网络算法等搜索算法。进化搜索算法开发难度较低，具有收敛到全局最优的能力，但优化效率较低，调用CFD、RCS求解程序的次数随设计变量的增加而增加，同时电磁散射较高的计算要求对进化类算法提出了较大挑战。采用式(4)展开形式推导气动电磁“耦合”伴随方程，即

(17)

式中：Ra、RE分别代表流场残差与电磁数值计算残差；wi、Ai分别代表流场变量与电流分布，显然上式交叉导数雅克比矩阵为0，即

(18)

“耦合”伴随方程退化为

(19)

从式(19)可以看出，气动电磁多学科伴随方程完全解耦，不存在耦合，这对研发体系来讲难度大大降低，两个伴随方程完全独立求解。基于高可信度流场电磁伴随优化方面的研究从发表文献上看几乎是空白的主要原因是学科跨度较大，变分困难，计算量庞大。在流场伴随与电磁伴随优化基础上，本文作者构建了气动隐身高可信度优化平台，为气动隐身综合优化设计奠定了技术基础[52]。

3.3 流场噪声耦合伴随方程

流动控制方程与声学预测方程组合求解是当前评估飞行器噪声的一个重要途径。该方面的研究主要集中在直升机旋翼噪声、发动机喷流噪声、低速构型流动噪声、超声速客机声爆抑制等方向上。

对于亚声速流动噪声问题，例如增升构型、旋翼噪声，大多数研究工作基于FW-H方程以及LEE方程进行，对FW-H声辐射方程前向模式转置可以很方便得到FW-H伴随方程[66]：

进一步与流场伴随方程进行耦合求解，最终获得设计变量对远场噪声的梯度。国外针对该方向开展了一系列研究工作，例如怀俄明大学Fabiano等[66]基于流场与噪声耦合伴随方法进行了直升机旋翼噪声降噪研究，显著降低了观测点噪声水平，如图32和图33所示。基于LEE方程的伴随方程构造略微复杂，邱昇[67]基于流场数值模拟以及多模态线化欧拉方程进行了多模态伴随优化方法研究，图34和图35给出了初始外形以及最优外形近场传播模态。

噪声优化的另一个重要方向就是超声速民机的声爆抑制，该方向目前是一个研究热点。超声速民机面临的最大挑战之一就是民航对其超声速飞行时声爆水平的严格限制，目前用于预测远场声爆信号的方法主要包含波形参数法与Burgers方程，两者在声爆预测中具有良好的表现。波形参数法[68-69]存在无法预测激波上升阶段、预测解存在间断导致声爆信号不可微等问题，无法进行快速傅里叶变换(FFT)，且在梯度优化体系中应用受限。

基于伴随方程的声爆优化进而也分为两个方向：近场声压变分伴随与流场/声爆伴随方程，即可以对地面声爆信号进行变分，也可以对近场进行变分。近场变分[70]实现方式更为简单，但无法直接设计地面声爆信号。单独声爆伴随方程推导比较简单，详细过程可以参考文献[71]。

图32 直升机噪声观测点[66]Fig.32 Helicopter noise observation point [66]

图33 优化前后声压级对比[66]Fig.33 Comparison of sound pressure levels of initial and optimized configurations[66]

图34 初始外形近场传播模态[67]Fig.34 Near-field propagation mode of initial shape [67]

图35 最优外形近场传播模态[67]Fig.35 Near-field propagation mode of optimized shape [67]

声爆伴随求解过程是声传播的一个反向过程，利用最终的伴随变量可以很方便的获取远场目标信号对近场信号的梯度：

详细推导及变量定义可参考文献[71]。

流场声爆耦合伴随方程的推导思路与上述方法一致，在声爆目标函数中引入流场以及声爆拉格朗日算子λf、λb：

(20)

进行变分展开后，变分表达式为

(21)

(22)

可以看出，与气动结构耦合伴随方程不同，流场/声爆耦合伴随方程在求解当前代优化问题上，只需要耦合一次即可。国外在该方面开展了一系列具有代表性的研究工作，例如，Jameson等基于近场变分形式进行了气动力/声爆优化[70]，如图36 所示，Rallabhandi采用 FUN3D求解器自适应网格进行了超声速飞机流场声爆耦合伴随方法的声爆反设计与压力敏感性分析[71]，如图37 和图38所示。

国内在声爆预测、优化设计方面也开展了一定的研究，取得了一定的进展，大多研究工作基于进化算法以及波形参数方法等进行[72-74]，在基于伴随方法的可导型声爆优化上的研究非常少。本文作者开展了基于广义Burgers方程的声爆预测、流场/声爆耦合伴随优化研究[75-76]，在伴随方程推导中，引入网格划分规则、不同坐标系之间插值准则大幅简化了耦合变分的难度，并对中型公务机开展了优化，验证了耦合伴随方法的有效性与高效率，图39和图40给出了超声速飞机流场/声爆耦合伴随变量云图以及优化设计对比。

图36 近场伴随优化[70]Fig.36 Near-field adjoint optimization[70]

图37 NASA超声速民机布局[71]Fig.37 NASA supersonic civil aircraft configuration[71]

图38 压力敏感度云图[71]Fig.38 Pressure sensitivity contour[71]

图39 第一伴随变量云图(Y=0)[76]Fig.39 First adjoint variable contour (Y=0 )[76]

图40 耦合伴随优化设计历程[76]Fig.40 Coupled adjoint optimization design history[76]

4 多学科耦合伴随方程的发展趋势与应用前景

结合伴随方程求解灵敏度工作量与设计变量无关、与目标函数相关的特征，以及多学科伴随方法高效求解耦合灵敏度的优势，可以预测，耦合伴随方法将在更高维多学科优化、不确定度分析、学科对系统影响定量评估方面发挥重要作用。

4.1 多学科耦合伴随方程发展趋势

从现有文献上来看，多学科耦合伴随方法的研究工作主要集中在两个学科范围内，两个以上学科耦合伴随方法研究较少。实际上，工程型号中两个学科以上的耦合现象并不少见，尽管在实际应用中两个学科以上的耦合分析较少，也通常采用解耦的形式，但对于复杂系统耦合灵敏度分析这一基础科学问题来说，该方向具有重要的研究价值，能够为高维度多学科耦合灵敏度分析、设计提供重要技术支撑。

以超声速飞机低声爆设计为例，流场、声爆传播进行耦合伴随能够为气动力、声爆一体化设计提供技术支持，若考虑结构优化引起的弹性变形，又将产生一系列耦合现象，这是一个重要的基础科学问题。NASA Glenn 研究中心的Silva等分析了弹性变形对声爆信号的影响[77]，如图41和图42 所示，可以看出弹性外形和刚性外形对应的地面声爆信号有着较为明显的区别。因此，在详细设计阶段，必须考虑结构弹性变形的影响，才能充分挖掘设计潜力。若考虑结构优化引起的弹性变形，又将导致结构应力、载荷分布、气动力、声爆特性等发生变化等一系列耦合现象，这是当前一体化设计面临的难点，也是关键技术。

图41 超声速客机气动弹性变形[77]Fig.41 Aeroelastic deformation of supersonic passenger aircraft[77]

图42 弹性外形与刚性外形声爆信号对比[77]Fig.42 Comparisons of sonic boom signals of elastic and rigid shapes [77]

如果能够快速获取各个子系统灵敏度以及气动/结构/声爆耦合灵敏度，将为超声速民机气动外形多学科综合设计提供有力的技术支撑。不仅如此，对于复杂系统的耦合灵敏度计算本身，也是一个具有挑战性和重要研究意义的基础科学问题，多学科耦合伴随理论为之提供了一个有效的解决途径。

然而，考虑气动、结构、声爆耦合伴随方程的研究工作较少，本文针对该问题，结合不同学科的伴随算子进行了对应的耦合伴随方程推导：

(23)

式中：Rb=p0-T，对式(20)进行求导展开，

(24)

(25)

实际上，利用学科残差对状态变量进行变分的雅克比矩阵，也能够很方便组装出该三学科耦合伴随方程：

(26)

将式(26)展开可以得到与式(25)一致的结果。进一步进行高效耦合灵敏度计算，即

通过以上分析可以看出，不仅在流、固、声耦合灵敏度分析领域，在其他领域该思想也能够进行有效推广，例如，对于大展弦比隐身作战飞机来讲，气动、结构、电磁等多学科耦合伴随方法能够为综合设计提供高效的耦合灵敏度计算途径；对于尾喷管部件设计，气动/电磁/红外耦合伴随同样能够为综合设计提供高效的耦合灵敏度计算途径，为充分挖掘飞行器多学科综合设计潜力提供技术支撑。因此，高维度多学科耦合伴随体系是值得关注的研究方向。

多个学科耦合伴随方程的构建关键是进行学科交叉导数雅克比的推导与组装，其推导工作量、存储量与学科数目以及学科类型紧密相关，没有显式变分关系的学科之间交叉雅克比将自动为零。多个学科耦合伴随方法同样也带来庞大的存储问题，这点可以参照延迟处理方式来缓解该方面压力；对于不同的目标函数产生不同的右端项，将对应不同的耦合伴随方程，计算量随学科个数增加而线性增长，实际工程中大多数问题是目标函数个数远远小于设计变量，因此对耦合伴随来讲，学科耦合数目带来的计算量基本可以承受。可以预见，随着多学科分析(MDA)方法与高性能计算机设备的发展，高维度多学科耦合伴随方法将在飞行器气动外形多学科优化(MDO)设计领域发挥重要作用。

4.2 多学科耦合伴随在不确定性分析中的应用

如前面所述，耦合伴随方法在多学科优化中起到了举足轻重的作用，不仅如此，在不确定分析中同样也正在发挥重要作用。例如基于不确定性的气动结构耦合设计中，基于气动结构耦合伴随方程的敏感性分析将会大大减少计算花费[78]，尤其面对高维不确定性问题。Beran等[79]阐述了气弹系统不确定分析的方法以及目前他们的进展和难点，如维度灾难问题，并强调了基于耦合伴随敏感性分析构建梯度加强随机代理模型将会有效缓解不确定分析维度灾难问题[80]。Allen[81-82]、Stanford[83]、Mani[84]、Nikbay[85]等早期开展了基于一阶可靠性分析的气动结构耦合可靠性优化设计，他们使用基于气动结构耦合伴随方法快速求解关于耦合系统的可靠性指标的敏感性，如极限环振荡和抖振速度的可靠性分析等。设计结果证明了他们的方法相对于确定性设计兼顾了效率和工程实用性。图43给出了Stanford和Beran[86]给出的金属薄板抖振速度的物理和正规空间分布，其中最大概率点采用一阶可靠性分析给出。他们对比了抖振速度在物理和正规空间的分布，其最大概率点采用一阶可靠性分析给出。然而一阶可靠性分析用于近似复杂失败概率空间时，分析精度往往难以满足。因此，Verhoosel等[87]使用二阶可靠性近似以提高抖振问题可靠性分析精度，Manan[88]、Scarth[89]、Hosder[90]和Missoum[91]等使用多项式混沌展开的方法来直接积分获得可靠性指标，以提供更为准确的结果[92]。图44给出了蒙特卡罗方法与多项式展开方法近似临界速度的对比。结合伴随敏感性分析，文献[93]基于多项式混沌展开提出了稳健性和可靠性指标梯度计算准则。目前基于多项式展开不确定分析方法结合气动结构耦合伴随敏感性分析正得到更多的关注，尤其对于复杂气动结构耦合问题。虽然大量的气动结构耦合系统不确定优化应用正在开展研究，但其难点仍然集中在高维设计变量与高维不确定变量带来的巨大计算花费问题，即维度灾难问题[94]。通过前述研究可以发现，目前有希望的解决途径是基于气动结构耦合伴随敏感性分析以提高高维不确定分析的效率和精度，和基于气动结构耦合伴随敏感性的不确定优化过程。

图43 考虑前后缘扭转刚度不确定性的薄板抖振速度物理和正规空间分布(*指示最大概率点)[86]Fig.43 Physical and normal spatial distribution of buffeting velocity of thin plate considering uncertainty of torsional stiffness of front and rear edges (* indicates the maximum probability point) [86]

图44 考虑不确定参数的某一范围内的临界不稳定速度及概率密度函数(PDF)分布[94]Fig.44 Critical instability velocity and probability density function (PDF) distribution in a range of uncertain parameters [94]

5 结论和展望

面向飞行器气动外形综合设计，文中首先系统回顾了各个学科的伴随方法发展及其在优化设计领域的应用现状。系统梳理了多学科耦合伴随方法发展现状及其关键技术，总结了多学科伴随优化方法在气动/结构、气动/隐身、流场/噪声等方面的耦合优化应用。

结合多学科耦合伴随方程构建以及在工程应用中面临的实际问题，并基于现有研究工作提出了解决途径。基于耦合伴随方程高效求解耦合灵敏度的优势，展望了多学科耦合伴随方法将在高维多学科伴随、不确定度分析、学科对系统影响定量评估等几个方向的发展趋势。

多学科耦合伴随能够快速获取各个子系统的灵敏度以及复杂问题耦合系统的灵敏度，将为未来先进飞行器气动外形多学科一体化综合设计提供有力的技术支撑。不仅如此，对于复杂系统的耦合灵敏度计算本身，无论是对基础科学问题还是工程应用，尤其对于新一代先进飞行器研制来讲，该方向具有重要研究意义。

致 谢

在本文的研究工作中，周琳、刘沛、赵欢、张绎典等给予了数据和技术支持， 大连理工大学陈飙松教授、张盛副教授等在结构有限元建模、有限元分析方面给予了建议，在此表示感谢！