追求“四主”的数学教学

2020-06-05 02:16余业兵张晓斌李忠如
中学数学杂志(高中版) 2020年3期
关键词:等价化简正确率

余业兵 张晓斌 李忠如

1 从一次课堂上的尴尬谈起

事情发生在2010年,笔者在高三(高2011级)一轮复习习题讲评课上.

例题 (2009年湖北黄冈中学模拟题) 已知不等式a-2x>x-1对任意x∈0,2恒成立,则实数a的取值范围是().

A.(-∞,1)∪(5,+∞)B.(-∞,2)∪(5,+∞)

C.(2,5) D.(1,5)

选A选B选C选D合计

频数68人31人7人6人112人

频率60.7%27.6%6.3%5.3%100%

当时学生做的情况很糟糕,只有31人选B,正确率27.6%,很多人选了A.

讲评如下:

师:x∈[0,1)时,不等式显然恒成立,故问题等价于不等式对于x∈[1,2]恒成立.

所以有a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[1,2]恒成立,即:a>3x-1或a<1+x对x∈[1,2]恒成立,

所以:a>5或a<2.(对自己讲解的答案很自信,完全没有料到好些个学生不服气,生1直接站了起来).

生1:老师,问题是我觉得我选A没错啊.

师:你说说看(不大相信).

生1:你不是说“f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”吗!

所以问题等价于a-2x>x-1或a-2x<1-x对x∈[0,2]恒成立啊!

即:a>3x-1或a<1+x对x∈[1,2]恒成立,所以a>5或a<1, 这样就该选A(对自己的解答很自信).

师:……好像也没有什么问题啊……(心里发慌了,后悔备课时没有考虑全面,只有出绝招了)有知道的吗?(看没有人出声)留作课后思考,想到的有奖哈……

教后反思 尴尬造成的原因是“f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”虽是正确的,但却不一定是化简后的最终结果.比如:不等式“|x|>-x”虽等价于“x>-x或xa(a∈R)”的解集有三类:①a>0时,不等式的解集为xx>a或x<-a;②a=0时,不等式的解集为xx≠0;③a<0时,不等式的解集为R.简单地讲不等式“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”并进一步把它推广到 “f(x)>g(x)f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”显然容易让学生产生混淆,归根结底还是教师自己理解不到位,讲解不到位造成的.

2 讲清楚后仍然困惑

有了这次失败的讲解后,新的一届(高2015级)讲解新课和一轮复习时我特别注意这个知识的讲解,一轮复习教学片段如下:

问题 “|x|>a(a>0)x>a或x<-a”,如果把“a>0”改为“a∈R”还等价吗?

生:是等价的,因为当a=0时,“|x|>0” 和“x>0或x<-0”都表示的是“x≠0”;当a<0时,“|x|>a”的解集是R, 而从数轴上看“x>a或x<-a”的范围也是R啊!

师:非常好,那在a<0时,它是最简形式吗?

生:不是,应该是R.

师:非常好,那不等式x-1>a的解集是{xx>1+a或x<1-a}吗?

生:不对吧,应该要分三种情况写吧.

师:很好,最终的答案必须是化简后的结果.

追问 “f(x)>g(x)”与“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”等价吗?

生:等價吧,因为“|x|>a”与“x>a或x<-a”对于a∈R都是等价的,这当然是等价的.

师:很好,你能解不等式1-2x>x-1吗?到黑板上把它写下来.

生:原不等式等价于1-2x>x-1或1-2x<1-x,故解集为-∞,23∪0,+∞.

例1 解下列不等式

(1)3x-1x+1;(3)x-1

讲解略.

改进后的效果:学生的作业我也布置了同样的一道题,满以为效果会很不错,正确率虽有一定提高(正确率35.6%),却还是不理想.具体如下:

教后反思 虽然这次在新课和一轮复习时都把这个知识讲清楚了,学生也在老师精心设置的问题引导下,认识到了知识的本质,但由于知识本身有一定的难度和深度,教师的启发式讲解虽层层递进、逻辑严密,却显得平淡而常规,学生的思维活动虽然到达,却不够深刻,尤其是对于“虽然等价却不是最简”的体会仅限于知道而未形成能力,更谈不上在充分掌握的基础上迁移应用了.

3 追求“四主”的数学课堂教学

毫无疑问,积极主动的学习状况下,学生的潜力更能得到充分发挥,能够更好地获得知识,具有更高的学习效率.笔者以为数学课堂应追求“四主”,即 “主动参与数学活动、主动发展高级数学思维、主动感悟数学文化、主动积累数学思考的经验”.这样的数学教学需要教师通过巧设合理的数学情景,激发学生自觉地参与到数学活动中,积极思考、主动感悟、有效积累,高效地获取数学知识.既然如此,如何激发就成为了教学成功与否的关键.笔者在反思的基础上,基于如何激发学生“四主”的前提下,对前面文中的教学重新设计,取得了不错的教学效果,现将教学过程记录如下(高2018级):

案例 一个绝对值不等式的推广

环节1 设置巧合,激发学生主动探究

师:上堂课我们学习了绝对值不等式的解法,谁能告诉我下列不等式的解集吗?

(1)|3x-1|<-1;(2)|-2x|>1;(3)|x-1|<0;(4)|2x|>-2.

问题1 不等式|x|>a和|x|

生:“|x|>a”的解集有三类:①a>0时,不等式的解集为{xx>a或x<-a};②a=0时,不等式的解集为{xx≠0};③a<0时,不等式的解集为R,同样,“|x|

师:这样在a>0时就有以下两个等价式子:

(1)|x|>a(a>0)x>a或x<-a;(2)|x|0)-a

学生纷纷点头,表示赞同.

追问1 解不等式3x-1>1-x,并把解答过程写在草稿纸上.

(教师巡视,寻找到产生巧合的解答后利用希沃助手在一体机上进行展示)

解答1 略.(分x>1、x<1、x=1三种情况讨论得解集为{x|x>12或x<0})

解答2 略.(分x≥13、x<13两种情况讨论得

解集为{x|x>12或x<0})

解答3 不等式等价于3x-1>1-x或3x-112,

所以解集{x|x>12或x<0}.

师:这三种解答答案,它们的过程都是对的吗?

生1:解答1、2都沒问题,3错了.

师:为什么呢?

生1:不是“|x|>a(a>0)x>a或x<-a”需要a>0吗?

师:也就是解答3是认为“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”算出了同样的答案,难道只是巧合……

生1:不会可以推广吧?

师:要不咱们再来算一个2x-1>2-x,1~5组用解答1的方法,6~9组用解答3的方法.

生:答案一样啊,应该是必然.(很惊喜自己的发现)

师:有谁可以告诉我为啥吗?

生2: a=0时,|x|>a是{xx≠0},x>a或x<-a也是{xx≠0}啊; a<0时,等价符号两边也都是R.

师:你的发现很有价值,“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”仍然是成立的,解答三也是正确的,也就是 “f(x)>g(x)”与“f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)”是等价的,这为我们解决这样的不等式带来了方便.

设计意图 在复习已有知识的基础上,在学生对知识的记忆还不是很到位时,利用学生未正确使用所学知识解不等式“3x-1>1-x”时产生答案上的巧合,制造悬疑“巧合还是必然”,使知识呈现出明显的悬而未决的状态,瞬间激起了学生探究的欲望,从而达到促使学生主动参与、主动思考的目的,使得等价不等式被学生轻松地予以推广.

环节2 制造矛盾,激发学生主动深入

例2 解下列不等式

(1)3x-1x+1;(3)x-1>a2-a.

对于(3),部分学生会因为利用推广轻松解答(1)(2)产生的思维惯性而犯错,而部分学生因为对推广前的分类讨论很熟练而得到正确的答案,教师即时将两种解答展示在希沃一体机上.

解答1 由于x-1>a2-ax-1>a2-a或x-1

所以原不等式的解集是x∈(a2-a+1,+∞)∪(-∞,a-a2+1).

解答2 按a2-a与0的关系分三种情况讨论,结果如下:

①a>1或a<0时,不等式的解集是x∈(a2-a+1,+∞)∪(-∞,a-a2+1);②a=0或a=1时,不等式的解集为

{xx≠1};③0

师:这是什么状况(故作神秘状),刚才不是说用两种方法解3x-1>1-x都可以吗?这儿为啥答案会不一样呢?“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”不是正确的吗?

生:我知道了,解答1结果不是最简的!比如当0a2-a+1或x

师:一般地讲呢?对于“|x|>a(a∈R)x>a或x<-a”你有什么看法

生:是等价的,但不是最简的.“x>a或x<-a”化简后应该分三种情况:①a>0时,不等式的解集为{xx>a或x<-a};②a=0时,不等式的解集为{xx≠0};③a<0时,不等式的解集为R.

师:他道出了使用这个等价条件需要特别小心的地方,一定要检验是不是最简的.

设计意图 在学生充分体会利用推广后的等价条件带来便利的同时,思维的惯性与定势也就在学生脑海里产生了,不同思维层次的学生在解不等式(3)时也就产生了完全不同的答案,这样,学生的现有认知和即时情境的结果就产生了不一致,在其心理上就会产生认知冲突,就会产生一种急切地想要知道结果的强烈欲望,从而有效激发学生的主动深入思考,使其主动探究得到 “虽等价却不是最简”这一高级知识成果也就顺理成章了.

环节3 错解展示,激发学生主动巩固

例3 已知不等式m-3x<2x-4对任意x∈[1,3]恒成立,求实数a的取值范围.

选一个错解展示在希沃一体机上,如下:

解 m-3x<2x-44-2x

所以(4+x)max

师:这位同学的解答正确吗?

生1:不对,这儿有隐含条件x∈(2,3],所以m=6.

师:我感觉他使用的等价条件没有错啊,算出的答案应该对呀!

生2:我知道了,“4+x

①当4+x<5x-4即x>2时,有(4+x)max

②当4+x≥5x-4即x≤2时,不等式不成立,m∈.

综上所述:m=6.

设计意图 教师利用了学生初学时“虽知道却不能灵活应用”的特点,设置一个易错题目,题目的隐藏条件使得“答案的错误”很容易被发现,从而有效激发学生主动探究“知识运用的错误”,既巩固了所学知识,又发展了学生的高级数学思维,使学生对知识的认识更加深刻.

环节4 设问顺化,激发学生主动积累

問题 “|x|>a(a∈R)”与“x>a或x<-a”等价吗? “|x|>a(a∈R)”的解集是“{xx>a或x<-a}”吗?

生1:“|x|>a(a∈R)”与“x>a或x<-a”是等价的,但不等式“|x|>a(a∈R)”的解集却不一定是“{xx>a或x<-a}”,因为它不是最简的形式,应该分三种情况:(略).

设计意图 通过两个隐含“知识发现过程”的问题引起学生主动回顾,既是对新知识的巩固,也是对旧知识更为深刻的反思与认识,从而达到“新知纳入旧知”后的顺化,使得学生在回味精彩发现过程的同时,思考和探究的经验在其头脑中也就深深地扎根了.

“四主”教学后的效果:学生的作业我也布置了同样的一道题,虽然还是有部分学生选了A,正确率却明显提高(正确率78.9%).教学取得前所未有的成功.具体如下:

3 对 “四主”数学教学的思考

前面所述的教学实践表明,教学的效果跟学生学习的方式有很大的相关性.如果学生的学习是被动接受式的,学生获取知识的效率是相对较低的,学生思考的深度是相对不够的,思维得到的锻炼是相对有限的,数学活动经验的借鉴性是不大的.这就要求我们转变教学观念,追求“四主”,通过精心的教学设计,化学生的被动参与为主动参与、被动思考为主动思考、被动感悟为主动感悟、被动积累为主动积累,提高学生学习的效率,发展高级数学思维与感悟数学文化,帮助学生获取高质量的数学知识.

学生是否达到“四主”的关键在于如何激发学生参与思考的兴趣,激发的关键在于设置怎样的教学情境,以此来获取学生对数学活动积极的意识倾向与情绪反应.就笔者看来,大家不妨从以下四个方面进行思考:一是可以通过实物展示、生活再现、表演体会、语言描述、音乐渲染等多种方式设置合理的数学知识情境;二是可以融入蕴含丰富的数学文化;三是设置悬疑,通过突出不同寻常的数学问题情境并延缓披露底细,使其呈现明显的悬而未决的状态;四是借助数学知识内部规律制造矛盾冲突,包括原有知识不能解释的一些新现象、原有性质定理在更宽泛的范围内不总是成立、学生知识结构中的盲点或易错点带来对同一问题结果的不一致等.当然影响学生“四主”的因素有很多,学生即时的情绪与思维活动也相当复杂,要想做到更好,唯有不断地学习、实践与反思.追求“四主”的数学教学实践永远在路上.

参考文献

[1] 章建跃,陈建兰.数学教学之取势、明道、优术[J].数学通报,2014,54(02):1-3.

[2] 程华.数学课堂思维教学若干问题的思考[J].数学通报,2018,57(03):26-29.

[3] 方飞.顺应学生的心理特征,培养学生学习兴趣[M].北京:基础教育理论研究成果荟萃,505.

作者简介

余业兵(1979— ),男,重庆北碚人,中学数学高级教师,西南大学附属中学高中数学教研组长,西南大学卓越中学教师培养计划师元班硕士研究生校外实践导师,重庆市高中数学市级骨干教师,主要从事高中数学教学研究和解题研究,多篇论文发表.

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