在数学“规矩”下解题

2020-06-05 02:16张羽于世章
中学数学杂志(高中版) 2020年3期
关键词:实数单调规矩

张羽 于世章

高考数学的考试时间是两个小时,规定时间内,考生要完成22个必做题(8个单选,4个多选,4个填空,其中一个是一题2空,6个解答题)的解答,这对每一位考生来说都是不小的挑战.面对满分150分,平均每4分钟对应分值为5分的高考试卷,仅有“速算竞赛”一样的心态是远远不够的,面对突然出现的“熟题”与“生题”,必须有解决数学问题的“硬功夫”,“硬功夫”指什么呢?就是数学“规矩”.如认真审题、规范书写、清晰表述、卷面整洁、叙述条理、格式完整等都是数学“规矩”.笔者据多年教学经验,就数学的“硬功夫”怎么炼成,怎么在数学“规矩”下解题,谈谈自己的看法.

规矩1 解题过程要讲“规矩”

数学和语文一样,应在规矩下讲话.数学解题过程,其实就是数学“规矩”的呈现过程,也就是数学解题过程要求的格式.如:例1 函数f(x)=x2-32xemx在区间(1,+∞)上是增函数,求实数m的取值范围.分析 按数学“规矩”来说,解决此类问题,就这样几句话几个步骤:因为函数f(x)=x2-32xemx在区间(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=mx2-32m-2x-32emx≥0在区间(1,+∞)上恒成立,即mx2-32m-2x-32≥0在区间(1,+∞)上恒成立,然后按部就班的求解即可,这就是数学“规矩”,该要的步骤,该讲的“规矩”是不能省略的.

解 因为函数f(x)=x2-32xemx在区间(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=mx2-32m-2x-32emx≥0在区间(1,+∞)上恒成立,

即mx2-32m-2x-32≥0在区间(1,+∞)上恒成立.

当m=0时,f(x)=x2-32x=x-342-916,显然在区间(1,+∞)上单调增,所以m=0适合题意.

当m≠0时,m>0,m-32m+2-32≥0,

所以m>0,m≤1,所以0

综合以上两种情况,实数m的取值范围为0≤m≤1.

这是高考常涉及的题型.常用的解题方法:一是分离参数,二是转化成常见的二次函数.无论采用什么方法求解,解题的规范性时刻不能忘记,该讲的“规矩”还是要讲.

规矩2 胸中有“数”,“形”中化难

高中数学《课程标准》中提到的核心素养就有数形结合,解题过程中怎样才能做到“数”和“形”的结合呢?想明白之后你会顿悟,就是两种语言的相互翻译,把符号语言用图形语言直观表现出来,然后再把图形语言翻译后用符合语言表述出来,从而完成解题的整个过程,这就是数学“规矩”.举例来说:

例2 m取何值时,方程x2-32xex+x2-2x-m=0有两个根?一个根?无根?

分析 咋看上去题目有一定难度,让人一下无从下手,找不到问题解决的突破口在哪里.若将原方程变形为x2-32xex=-x2+2x+m,问题就简单了许多.本是方程问题,转化一下,就成为函数问题.

在一同坐标系中,画出函数y=x2-32xex和y=-x2+2x+m的图象,根据图象不难得出结论.

解 f′(x)=x2+12x-32ex,令f′(x)=0,解得x1=-32,x2=1,当x变化时,f′(x)和f(x)变化状态如下:

在同一坐标系中画出函数y=-x2+2x+m的图象(略),得到结论:

当m+1>-e2,即m>-1-e2时,方程有两个实数根;

当m+1=-e2,即m=-1-e2时,方程有1个实数根;

当m+1<-e2,即m<-1-e2时,方程没有实数根.

由此可见,问题的解决过程,就是数学“规矩”的再次呈现过程,因为讲了数学“规矩”,才能把看似有难度的题目解决掉.规矩3 难化易 大化小 生化熟

数学中讲究等价转化,实际上就是把难题转化为容易题,大题转化为小题,生分的题目转化为熟悉的题目来解决,这就是数学的“规矩”,许多看似一筹莫展的题目,在数学的“规矩”下就能迎刃而解.如例2就是把不熟悉的问题,转化成两个熟悉的函数问题得以解决,下面再举一例:

例3 设函数f(x)=alnx+x-1x+1,其中a为常数,讨论函数f(x)的单调性.

分析 这是导数中常见问题,也是高考中常考题型,解决起来有一定难度.但若讲数学“规矩”,在“规矩”下把难化易、大化小、生化熟,求解起来就方便很多.不仿先求导函数,然后寻求突破:

f′(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2,考虑到函数的定义域,导函数的分母是恒正的,只需围绕分子上的函数

g(x)=ax2+(2a+2)x+a来解答问题即可.就是在这样的数学“规矩”下,完成了难化易、大化小、生化熟的转化过程,从而使问题得解.

解 函数f(x)定义域是(0,+∞),f′(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2.当a≥0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).

①当a=-12时,Δ=0,f′(x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函数在(0,+∞)上單调递减;

②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f′(x)<0,函数在(0,+∞)上单调递减;

③当-120,设x1,x2(x1

由x1=a+1-2a+1-a =a2+2a+1-2a+1-a>0,所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可知,当a≥0时,f′(x)>0,函数在(0,+∞)上单调递增;

当a≤-12时,函数在(0,+∞)上单调递减;

当-12

高考中的导数问题,往往就是通过这种途径解决.所以,讲数学“规矩”对解题是很有帮助的.

规矩4 由抽象到具体

有时,数学问题解决起来颇感不易,主要是数学的抽象性所致,若能把抽象的问题变成具体的问题,解决起来会容易很多. 这就是数学“规矩”.

例4 已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导数f′(x)>12,则不等式f(x2)

A.(-∞,-1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪[1,+∞)D.(-1,1)

分析 题目属于抽象函数问题.而与抽象函数有关的不等式,又是高三学生比较头疼的问题.关键在于如何把抽象问题具体化,让学生切实看得见摸得着,从而化解难点解决问题.这就需要讲“规矩”:已知条件f′(x)>12是怎么来的呢?能找满足条件的具体函数吗?

解 设F(x)=f(x)-12x,F′(x)=f′(x)-12,

因為f′(x)>12,所以F′(x)=f′(x)-12>0,所以F(x)在R上单调递增,因为f(x2)

解决数学问题,确实需要讲数学“规矩”,把抽象问题具体化,是数学“规矩”下重要的解题策略.

数学的“规矩”还有很多,真心希望同学们能在数学的“规矩”下,锻造成“出色的解题者”.

作者简介 于世章(1962—),男,山东定陶人,中学数学正高级教师.全国模范教师,山东省特级教师,山东省首批正高级教师,省优秀教师,省教师出版基金杯2013年度创新人物(教师系列)提名奖,省课程团队专家;青岛市专业技术拔尖人才,青岛市名师主持人,“国培计划”专家库成员,全国数学科学方法论数学哲学研究委员会副秘书长,青岛市中小学教师培训专家讲师团成员,青岛大学数学与统计学院专业学位研究生校外导师,第一届全国全日制教育硕士学科教学(数学)专业技能大赛(决赛)评委,发表论文40余篇,专著《在学生的心灵中旅行》第一辑由中国书籍出版社出版,第二辑由中国海洋大学出版社出版.

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