2020年台湾地区学测(数学)选择题赏析

2020-06-05 02:16钟劲松
中学数学杂志(高中版) 2020年3期
关键词:就业人口点数骰子

钟劲松

1 前言

台湾地区学科能力测试(简称“学测”)包括国文、英文、数学、社会、自然五科,旨在测验考生是否具有接受大学教育的基本学科能力,是大学校系初步筛选学生的门槛. 2020年台湾地区数学测试考试共20道题,其中单选题7道(试题1-7),多选题6道(试题8-13),选填题7道.考试时间共100分钟,满分100分.本文对台湾地区学测考试(数学)的选择题进行解析和点评,并对其特点进行总结,旨在让读者大致了解台湾地区学测考试的主要内容和特点.

2 试题赏析

试题1 已知两个直角三角形三边长分别为3、4、5,5、12、13,α,β分别为它们的一角,如图1所示. 试选出正确的选项().

解析 根据图形可知,sinα=35,sinβ=513,因为sin30°=12,又因为513<12<35,所以sinβ

点评 本题考查了正弦在直角三角形中的定义,

根据正弦函数y=sinx,x∈0,π2的单调性

比较数值大小即可得到答案,属于一道较容易题.

试题2 空间中有相异四点A,B,C,D,已知内积AB·AC=AB·AD.试选出正确的选项.

(1)AB·CD=0;(2)AC=AD;(3)AB与CD平行;(4)AD·BC=0;(5)A,B,C,D四点在同一平面上.

解析 根据题意可知AB·AC=AB·AD,所以

AB·AC-AB·AD=0AB·AC-AD=0AB·CD=0,所以选项(1)正确,故选(1).

点评 本题无需计算出数量积的具体数值,只需要稍作变形即可得到答案.实际上,根据AB·AC=AB·AD可知AC,AD在AB上的投影相等,且C,D是不同的两点,所以有AB·CD=0.

试题3 如图2所示,O为正六边形之中心.试问下列哪个向量的终点P落在△ODE内部(不含边界)?

解析 要使终点P在△ODE内(不含边界),不仅要结果向量的方向在边界内,而且还要使结果向量的终点落在△ODE区域内.据向量加法的几何意义,选项(1)对应的点P在射线OD上,且OP=OD=OC+OE,

同理,根据向量加法的几何意义知

选项(3)(4)(5)对应的点P(OP的方向)均不在△ODE区域内,所以选项(2)正确.

点评 本题考查了向量的有关运算(向量的加法和数乘),本题不需要设坐标进行代数运算,只需要了解和理解向量加法的几何意义即可.本题以特殊的平面图形——正六边形为载体,从形的方面考查对向量加法几何意义本质的理解.

试题4 令I=1001,A=1134,B=I+A+A-1,试选出代表BA的选项.

(1)1001;(2)6006;(3)4-1-31;(4)1134;(5)661824.

解析 因为B=I+A+A-1,等式两边同乘以矩阵A可得.

因为BA=IA+A2+A-1A=10011134+11342+1001=661824,所以BA=661824,故选(5).

点评 本题考查了矩阵的加法和乘法运算,特别注意的是运算技巧,不要首先将矩陣B算出来,再与矩阵A相乘,这样比较复杂. 同样也不要将计算矩阵BA的值算成计算矩阵AB的值.一般情况下,矩阵的乘法不满足交换律.实际上,上面的计算过程还可以简化为BA=IA+A2+A-1A=IA+A2+I=(I+A)A+I,同样可以得到正确的结果.

试题5 试问数线上有多少个整数点与101的距离小于5,但与点38的距离大于3?

(1)1个;(2)4个;(3)6个;(4)8个;(5)10个.

解析 因为10<101<11,所以数线上与101小于5的整数点有x=6,7,8,9,10,11,12,14,15,共10个;又因为6<38<7,所以数线上到38的距离大于3的整数点满足x10或x≤3. 所以,满足与101的距离小于5,且与点38的距离大于3的整数点有x=10,11,12,13,14,15,共6个,故选(3).

点评 本题考查了绝对值不等式的解法,将同时满足两个条件的整数点在数线(即数轴)上表示出来,不难得出共6个整数点满足条件.实质上,本题考查了数形结合的思想和估算的能力,考生若能运用数形结合的思想,并在估算方面能力较强,不需要运算就可以又快又准地得出答案.

试题6 连续投掷一公正骰子两次,设出现的点数依序为a,b.试问发生log(a2)+logb>1的概率为多少?

(1)13;(2)12;(3)23;(4)34;(5)56.

解析 投掷一公正骰子两次,共有6×6=36种可能结果.

又因为loga2+logb>1,所以a2b>10.

我们先考虑a2b≤10的情况:

当a=1时,b=1,2,3,4,5,6,共6种结果;

当a=2时,b=1,2,共2种结果;

当a=3时,b=1,共1种结果.

所以,发生log(a2)+logb>1的概率p=36-(6+2+1)36=2736=34,故选(4).

点评 本题为一道求古典概率题,从正面求满足a2b>10的整数对(a,b)的个数较多,所以从反面求a2b≤10的整数对(a,b)的个数(共6+2+1=9(个)),体现了处理数学问题时正难则反的思想.本题将求古典概率与对数函数的变形交汇,在知识的交汇处命题.值得注意的是这里loga表示以10为底a的对数,等同于大陆教材中常用符号lga.

试题7 坐标平面上,函数图形y=-3x3上有两点P,Q到原点距离皆为1.已知点P坐标为cosθ,sinθ,试问点Q坐标为?

(1)(cos(-θ),sin(-θ));(2)(-cosθ,sinθ);(3)(cos(-θ),-sinθ);(4)(-cosθ,sin(-θ));(5)(cosθ,-sinθ).

解析 因为y=-3x3是奇函数,其图形关于原点成中心对称,P,Q到原点距离皆为1,所以P,Q两点关于原点成中心对称,因为Pcosθ,sinθ,所以Q(-cosθ,-sinθ),即Q(-cosθ,sin(-θ)),所以选(4).

点评 本题考查的知识点有幂函数和三角函数的性质,关键是根据P,Q两点到原点距离皆为1推导出P,Q关于原点成中心对称.

试题8 有一个游戏的规则如下:丢三颗公正的骰子,若所得的点数恰满足下列(A)或(B)两个条件之一,可得到奖金100元;若两个条件都满足,则共得200元奖金;若两个条件都不满足,则无奖金.

(A)三个点数皆为奇数或者皆为偶数

(B)三个点数由小排到大为等差数列

若已知有两颗骰子的点数分别为1,3,且所得的奖金为100元,则未知的骰子点数可能为何?

(1)2;(2)3;(3)4;(4)5;(5)6.

解析 因为所得奖金为100元,则三个点数满足条件(A)(B)之一.

当未知的骰子的点数为2时,符合条件(B),但不符合条件(A),所以选项(1)正确;

当未知的骰子的点数为3时,符合条件(A),但不符合条件(B),所以选项(2)正确;

当未知的骰子的点数为4时,条件(A)(B)均不满足,选项(3)错误;

当未知的骰子的点数为5时,条件(A)(B)均满足,选项(4)错误;

当未知的骰子的点数为6时,条件(A)(B)均不满足,选项(5)错误.

故选(1)(2).

点评 本题是多项选择题,较为容易,认真审题即可得到正确答案.

试题9 在坐标平面上,有一通过原点O的直线L,以及一半径为2、圆心为原点O的圆Γ.P,Q为Γ上相异两点,且OP,OQ分别与L所夹的锐角皆为30°,试选出内积OP·OQ之值可能发生的选项.

(1)23;(2)-23;(3)0;(4)-2;(5)-4.

解析 根据题意可知,OP,OQ的夹角可能为60°,120°,180°,所以OP·OQ=|OP||OQ|cos〈OP,OQ〉.

当〈OP,OQ〉=60°时,OP·OQ=22cos60°=2;

当〈OP,OQ〉=120°时,OP·OQ=22cos120°=-2;

当〈OP,OQ〉=180°时,OP·OQ=22cos180°=-4;

所以,正确的选项为(4)(5).

点评 本题考查了考生的分类讨论的思想和向量的数量积等知识的运用,注意到直线和向量的区别. 根据题意,OP,OQ的夹角有3种情形,如图3所示,即〈OP,OQ〉=180°,〈OP,OQ1〉=60°,〈OP,OQ2〉=120°.值得一提的是,選项中并没有答案为“2”这一选项,也就是说,在多项选择题的命制中,选项不一定要覆盖所有可能值.

试题10 已知多项式f(x)=3x4+11x2-4,试选出正确的选项.

(1)y=f(x)的图形与y轴交点的y坐标小于0;

(2)f(x)=0有4个实根;

(3)f(x)=0至少有一个有理根;

(4)f(x)=0有一根介于0与1之间;

(5)f(x)=0有一根介于1与2之间.

解析 对于选项(1)来说,y=f(x)的图形与y轴交点的y坐标,即当x=0时y的值,显然有y=f(0)=-4<0,选项(1)正确;

对于选项(2),因为f(x)=3x4+11x2-4=(3x2-1)(x2+4),当f(x)=0时,有3x2-1=0或x2+4=0,显然,f(x)=0只有两个不同的实根x1,2=±33,其余两个根为虚根x3,4=±2i(i为虚数单位,即i2=-1),故选项(2)错误;

对于选项(3),由选项(2)可知,f(x)=0没有一个有理根,4个根分别为两个无理根,两个虚根,故选项(3)错误;

对于选项(4),因为0<33<1,故f(x)=0有一根介于0与1之间,选项(4)正确,选项(5)错误.

点评 本题从多个方面考查了多项式函数(次数为4)的图形和性质,如图形与y轴交点的纵坐标的正负,根的类型和根的范围等等. 首先,遇到与多项式函数有关的问题时,因式分解是关键,将高次降为低次进行问题解决. 其次,若不能够因式分解,则运用多形式函数的有关定理,如余数定理、综合除法、虚根成对定理、代数基本定理和插值公式来解决问题.

试题11 设a,b,c为实数且满足loga=1.1,logb=2.2,logc=3.3.试选出正确的选项.

(1)a+c=2b;(2)1

解析 对于选项(1),因为loga+logc=2logb,所以有b2=ac,并不能推导出a+c=2b,故选项(1)错误;实际上,因为c=a3,b=a2,若a+c=2b,则有a+a3=2a2,又因为a>10,所以a+a3=2a2无解,所以a+c=2b错误;

对于选项(2),因为a=101.1>10,与1

对于选项(3),因为c=103.3=103·100.3,显然有100.3>1,若100.3>2,则有0.3>log2,而log2≈0.3010,与0.3>log2矛盾,所以1<100.3<2,因此1000

对于选项(4),因为logbloga=2,所以b=a2,不能推导出b=2a,若b=2a,则两边取以10为底的对数,则有logb=log2a=log2+loga,所以log2=logb-loga=1.1,与log2≈0.3010矛盾,故选项(4)错误;

对于选项(5),因为2logb=loga+logc=4.4,所以有b2=ac,所以a,b,c成等比数列,故选项(5)正确.

点评 本题以对数函数为载体,考查了对数函数、指数函数和等比数列的有关知识.解决问题的过程中,换底公式是关键,特别是第(3)小问,需要利用的知识较为综合,在试卷末的“参考公式及可能用到的数值”中给出了“log2≈0.3010”,在解题的过程中需要用到.当然,如果考生能够记住该数值则更好.特别要注意的是,选项(1)(4)不能轻易否定,需要推理论证.

试题12 下表示2011年至2018年某国总就业人口与农业就业人口的部分相关数据,各年度的人口以人数计,有些是以千人计,有些以万人计,例如 2011年总就业人口为1070.9万人,65岁以上男性农业就业人口为69.1千人.试根据表格资料选出正确的选项.

(1)从2013年至2018年,65岁以上的男性农业就业人口逐年递增;

(2)从2013年至2018年,50岁至64岁之男性农业就业人口逐年递增;

(3)上表中,每一年的男性农业就业人口占总就业人口的比率都小于百分之五;

(4)上表中,每一年50岁至64岁之男性农业就业人口都少于49岁以下之男性农业就业人口;

(5)就65岁以上至男性农业就业人口而言,2018年比2011年增加了不到一万人.

解析 对于选项(1),从表格的最右一列可以看出,从2013年至2018年,65岁以上的男性农业就业人口逐年递增,故选项(1)正确;

对于选项(2),观察表格的第7列可知,2016年50岁至64岁男性农业就业人口为176.4万,而2015年为181.3万,2016年相当于2015年的男性农业就业人口减少了,故选项(2)错误;

对于选项(3),观察表格第2、4列可以发现,将每年第4列对应的数据分别除以第2列对应的数据发现,比值均小于百分之五,故选项(3)正确;

对于选项(4),观察表格发现,每年的第5、6列的数据之和均大于第7列对应的数据,也即是说每一年50岁至64岁之男性农业就业人口都大于49岁以下之男性农业就业人口,故选项(4)错误;

对于选项(5),65岁以上的男性农业人口,2018年为79.4千人,2011年为69.1千人,所以2018年比2011年增加了79.4-69.1=10.3(千人),即增加的人数超过了一万人,故选项(5)错误.

点评 本题主要考查了考生的读图、识表的能力,此题题干看上去文字很多,表格的数据也很多,但并不复杂. 实际上,认真阅读选项,根据选项从表格中寻找有用的信息(数据),稍加推理和估算即可得出正确答案.

试题13 如图4所示,四面体OABC中,△OAB和△OAC均为正三角形,∠BOC=30°.试选出正确的选项.

(1)BC>OC;

(2)△OBC是等腰三角形;

(3)△OBC的面积大于△OAB的面积;

(4)∠CAB=30°;

(5)平面OAB与平面OAC的夹角(以锐角计)小于30°.

解析 不妨设两个正△OAB,△OAC的边长为a,显然有△OBC为等腰三角形,其中顶角∠BOC=30°,两底角∠OBC=∠OCB=180°-30°2=75°,所以有BC

对于选项(2),△OBC为等腰三角形,故选项(2)正确;

对于选项(3),△OBC和△OAB共一条边OB,△OAB的边OB边上高的长为h1=a·sin60°=32a,而△OBC的OB边上高的长为h2=a·sin30°=a2,因为h1>h2,S△OBC=12ah1,S△OAB=12ah2,所以S△OBC

对于选项(4),由已知条件容易判断△COB和△CAB全等,根据全等三角形的对应角相等,所以∠CAB=∠COB=30°,故选项(4)正确;

对于选项(5),过点B,C分别作OA的垂线,两个垂足分别为D,F,实为同一点(可以证明),不妨设为点D,所以平面OAB与平面OAC的夹角为∠BDC.

在三角形OCB中,由余弦定理可得BC2=a2+a2-2a·acos30°=2a21-32.

在三角形CDB中,有BC2=CD2+BD2-2CD·BDcos∠CDB,

又因為BD=CD=32a,所以2a21-32=232a2-232a2cos∠CDB,

解得cos∠CDB=23-13.因为cos∠CDB=23-13<32,且∠CDB<90°,所以∠CDB>30°,即平面OAB与平面OAC的夹角大于30°,故选项(5)错误.

点评 本题是一道立体几何题,考查了平面几何中的有关长度、面积、全等、等腰三角形,二面角的平面角等知识,5个选项分别从不同的方面考查考生解决问题的能力,较为综合.

3 试题特色

2020年台湾地区学测考试(数学)的选填题(解答题)也很有特色,限于篇幅,本文不再赘述.选择题的试题特色已在点评中叙述,从13道选择题可以看出,2020年台湾地区学测考试总体的主要特色如下:

1.注重对基础知识和核心能力的考查.重点考查的内容有函数(三角函数、幂指对函数、多项式函数),向量(平面向量和空间向量),概率统计,矩阵,平面解析几何和空间立体几何、圆锥曲线等等.考查考生分析问题和解决问题的能力,以及对基本概念及其本质的掌握、理解和运用的能力,阅读理解(读图识表)的能力,逻辑推理、运算求解和估算的能力等等.特别重视阅读理解(如试题8和试题12)能力和数学思想的考查,比如分类讨论的思想、数形结合的思想等等.

2.在知识的交汇处命题.大部分试题均不止考查一个知识点,而是对多个知识点进行交汇考查,将不同内容的知识联系起来.如试题6综合考查了概率和对数函数内容,试题7综合考查了幂函数和三角函数内容,试题11综合考查了对数函数和等比数列内容等等.

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