也谈通法求“(A/an)+B/bn)”型结构的最小值

2020-06-05 02:16林国红
中学数学杂志(高中版) 2020年3期
关键词:证法正数中学数学

1 研究的源由

貴刊2019年第9期《通法求“Aan+Bbn”型结构的最小值》(文[1])一文中,作者利用二项式定理与均值不等式,对下列5个结构一致的问题进行研究.

题目 若正数a,b满足a+b=1,求:

(1)1a+2b的最小值;(2)1a2+2b2的最小值;(3)1a3+2b3的最小值;(4)1a4+2b4的最小值;(5)1a5+2b5的最小值.

并从中得到一个结论:

结论1 若正数a,b满足a+b=1,则Aan+Bbn (A>0,B>0,n≥1,n∈N*)的最小值为(n+1A+n+1B)n+1,当且仅当Ban+1=Abn+1时取到.

在结论1的基础上,文[1]再给出型如“Aan+Bbn”结构的更一般形式(结论2)及一个变形问题:

结论2 若正数a,b满足pa+qb=d,则Aan+Bbn (p>0,q>0,d>0,A>0,B>0,n≥1,n∈N*)的最小值为1dn(pn+1A+qn+1B)n+1,当且仅当Bpan+1=Aqbn+1时取到.

变形问题 若正数a,b满足Aa+Bb=d,则pan+qbn (p>0,q>0,d>0,A>0,B>0,n≥1,n∈N*)的最小值为何?

文[1]中的上述问题与各个结论的形式优美,引起笔者的兴趣,也对此进行探究,得到一个简洁的统一证法,并发现文[1]的结论2所得的最小值有误.特意成文,与读者分享.

2 两种证法的比较

为了比较不同证法之间的差异,将文[1]中结论1的证明摘录如下:

参考文献

[1] 金霞,杜文发.通法求“Aan+Bbn”型结构的最小值[J].中学数学杂志,2019(9):41-43.

[2] 林国红.一道“希望杯”赛题的七种解法[J].数理天地(高中版),2020(1):26-27.

作者简介

林国红(1977—),男,广东佛山人.中学数学一级教师,大学本科学历,研究方向:数学教育.发表教学论文60余篇.

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