解压轴题：见微知著 大胆设想

许银伙 杨苍洲

(1.福建省泉州外国语学校 362000;2.福建省泉州第五中学 362000)

作为高考函数压轴题，通常都是情境较新颖、难度较大的数学问题，因此问题的解答，除了必须综合运用各种数学思想、方法和知识外，还需要细心观察，见微知著，调动自身的解题经验，大胆设想，创新解法，才有可能突破问题的解答瓶颈，提升自己的解题能力.

(1) 试讨论函数f(x)的单调性;

(2)证明：f(x)≥g(x).

观察到：h(1)=0，h′(1)=0，思考：h(1)应该是函数h(x)的最小值，预测当x∈(1,+)时，h′(x)≥0；当x∈(0,1)时，h′(x)≤0.下证明之：

综上得：h(x)≥0对x>0恒成立，即f(x)≥g(x)恒成立.

反思与评注问题(2)的解决主要靠观察与猜想，见微知著.

1.令h(x)=f(x)-g(x)，观察到：h(1)=0，h′(1)=0，思考：h(1)应该是函数h(x)的最小值.

3．当x∈(0,1)时和当x∈(1,+)时，在h′(x)中分别把ex-1用1代入放缩和用消去ex-1是本题解答的最大“亮点”.

例题2(2016年东北三省四市联合体试题理科)已知函数f(x)=e1-xcosx.

2.针对含多个超越函数的不等式的证明，通常有两种方法：(1)通过放缩减少超越函数式的个数，如例1.(2)引入切线，转化成两个不等式加以证明.

反思与评注1.本题的解决有两个难点：

例题4 (2018全国卷(Ⅲ)理科21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，证明:当-10时，f(x)>0.

(2) 若x=0是f(x)的极大值点,求a.

分析与解(1)略.